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wegung. Erfährt aber gleichzeitig g eine dem Drehwinkel von P proportionale Parallelverschiebung in einer zu g normalen Richtung, so beschreibt Q eine Sinuslinie.

Näheres über die Konstruktion der Sinuslinie ist bereits in 495 enthalten; es genügt daher an dieser Stelle die Aufzählung

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ihrer hauptsächlichen Eigenschaften. Die Kurve verläuft wellenförmig und bildet unendlich viele unter sich kongruente Gänge; die Länge eines solchen Ganges (in der Abscissenrichtung gemessen) ist dem Umfange 2 aл des Kreises k gleich. Die höchsten und tiefsten Kurvenpunkte, wie C, D, . . ., deren Ordinaten dem Radius b des Kreises gleich sind, sind Scheitelpunkte; die zwischen ihnen liegenden Schnittpunkte mit der x-Achse sind Wendepunkte der Sinuslinie. Durch die Scheitel- und Wendepunkte wird die Kurve in kongruente und symmetrische Viertelgänge zerlegt. Konstruiert man ein Rechteck (z. B. CEFG), dessen Seiten den Koordinatenachsen parallel und den Parametern a und b bezw. gleich sind, so ergeben seine Diagonalen die Richtungen der Wendetangenten. Zieht man noch aus der Ecke G des Rechteckes das Lot auf die Diagonale CF und schneidet es mit CE in K, so giebt KC den Krümmungsradius für die Scheitel an. Außer den besonderen Punkten und den zugehörigen Tangenten bezw. Krümmungskreisen braucht man nur wenige Kurvenpunkte zu bestimmen.

Die Schraubenlinie.

583. Die geodätische Linie auf dem geraden Kreiscylinder heißt Schraubenlinie. Der sie tragende Cylinder wird Schraubencylinder, seine Achse die Schraubenachse genannt.

Die Schraubenlinie geht also (461) bei der Abwickelung des Cylinders in eine Gerade über und umgekehrt entsteht bei der Aufwickelung einer Ebene auf einen Rotationscylinder aus jeder ihrer Geraden eine Schraubenlinie. Auf gegebenem

Cylinder ist unsere Kurve durch zwei Punkte bestimmt, wenn der Sinn und die Anzahl ihrer Windungen (585) zwischen den Punkten gegeben ist, weil deren Abwickelungen eine Gerade als ihre Verwandelte bestimmen.

Es sollen zuerst die Haupteigenschaften der Schraubenlinie aus ihrer Entstehungsweise erklärt werden.

B

Fig. 377.

Po

Ко

Man denke sich eine Tangentialebene E des Rotationscylinders; die Erzeugende, längs der sie berührt, sei durch AB dargestellt (Fig. 377). Die Normalebene zur Cylinderachse durch schneidet den Cylinder in dem Grundkreise k, die Ebene E in seiner Tangente ko, die bei der Aufwickelung von E in k übergeht. In E werde durch A eine Gerade So unter dem Winkel a gegen k gezogen; diese wird aufgewickelt die Schraubenlinie s ergeben. Der Strahl so schneidet alle Parallelen zu k unter dem Winkel a und alle Parallelen zu AB unter dem Winkel R а. Da letztere in die Erzeugenden des Cylinders, erstere in seine Kreisschnitte übergehen, so folgt: Die Schraubenlinie schneidet alle Erzeugenden des Schraubencylinders unter gleichen Winkeln und ebenso alle Kreisschnitte. Der Winkel a gegen einen Kreisschnitt (oder gegen die ihn enthaltende Normalebene) heißt die Neigung der Schraubenlinie.

584. Um den Punkt P der Schraubenlinie s zu bestimmen, der aus dem auf der Geraden s angenommenen Punkte P, hervorgeht, ziehe man durch P。 in E die Parallele e。 zu AB, die in eine Mantellinie e des Cylinders übergeht; e, treffe ko in Q. Ist nun auf dem Grundkreise k der Bogen AQ = AQ。 und auf der durch Q gezogenen Erzeugenden e die Strecke QP = QP。, so ist P der gesuchte Punkt und man hat:

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Ist ferner r der Radius des Kreises k, der zu seinem Bogen AQ gehörige Centriwinkel 40Q (also AQ= r.q), endlich z die Höhe QP des Punktes P über der Grundkreisebene, so ergiebt sich:

2= r.q.tanga.

Da diese Gleichung für alle zusammengehörigen Werte von z und gilt, so erkennt man den Satz:

Die Schraubenlinie wird von einem Punkte beschrieben, der sich um eine feste Achse (die Schraubenachse) dreht und gleichzeitig eine dem Drehwinkel proportionale Verschiebung z in der Richtung der Achse erfährt.

Eine solche Bewegung des Punktes heißt daher Schraubenbewegung.

585. Es giebt zwei Arten Schraubenlinien, rechts- und linksgängige. Um sie zu unterscheiden, denke man sich den Beschauer seiner Länge nach in die Schraubenachse gestellt (gleichviel ob aufrecht oder verkehrt); geht für ihn die Schraubenlinie nach rechts abwärts, so heißt sie rechtsgängig, anderenfalls linksgängig.

Offenbar schneidet eine Schraubenlinie jede Erzeugende des Schraubencylinders unendlich oft. Ein Teil der Kurve, der zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schnittpunkten mit der nämlichen Erzeugenden liegt, heißt Schraubengang (Schrauben windung). Die zwischen seinen Endpunkten liegende Strecke der Erzeugenden heißt die Ganghöhe h. Sie giebt die Größe der Verschiebung in der Achsenrichtung an, die zu einem vollen Umlaufe des beschreibenden Punktes um die Achse gehört; es ist also:

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bezeichnet, d. i. die Verschiebung in der Achsenrichtung, die einem Drehungsbogen gleich dem Radius r des Grundkreises entspricht.

Je zwei gleich lange Stücke einer Schraubenlinie sind kongruent, d. h. die Schraubenlinie ist in sich selbst verschiebbar. Diese Eigenschaft kommt außer ihr nur der geraden Linie und dem Kreise zu, die übrigens als Ausartungen der Schraubenho linie gelten können (nämlich für den Fall, daß tang a oder ullendlich groß wird, bezw. verschwindet).

r

586. Die Schmiegungsebene in einem Punkte P der Schraubenlinie liegt normal zur zugehörigen Tangentialebene des Schraubencylinders (461); die in ihr liegende Hauptnormale (454)

ist das von P auf die Achse gefällte Lot und trägt den Mittelpunkt des Krümmungskreises. Aus der Kongruenz gleicher Stücke der Kurve folgt, daß der Krümmungsradius o (455) in jedem Punkte gleich groß ist. Die Krümmungscentra der Schraubenlinie s erzeugen daher eine zweite gleichsinnig gewundene Schraubenlinie s mit derselben Achse und Ganghöhe und dem Grundkreisradius or; in je zwei entsprechenden Punkten haben beide Schraubenlinien die nämliche Hauptnormale. Da die Schmiegungsebene der Kurve

$1

s den Schraubencylinder in einer Ellipse mit den Halbachsen b = r schneidet und zugleich ihren Krümmungsradius

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r COS α

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die

Hiernach ist der Krümmungsradius leicht konstruierbar. Ist α1 Neigung der neuen Schraubenlinie s1 und o̟, ihr Krümmungsradius,

so folgt zuerst:

91

r.tanga h。 = (or).tang a1

=

ho

und mit Benutzung der vorigen Relation:

=

=

R,

tang a cotga1 oder a + a1 Zur Bestimmung von 0, hat man aber die Gleichung

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ergiebt. Die beiden Schraubenlinien s und s, sind daher insofern als reciprok zu bezeichnen, als jede die Krümmungscentra der anderen trägt.

587. Die Tangenten der Schraubenlinie haben sämtlich die gleiche Neigung a gegen die Grundkreisebene. Daher ist der Richtungskegel der von ihnen erzeugten abwickelbaren Fläche der Kurve (462) ein Rotationskegel. Läßt man seine Achse mit der Schraubenachse und seinen Grundkreis mit dem des Schraubencylinders zusammenfallen, so wird die Kegelhöhe der reduzierten Ganghöhe ho gleich.

Durch einen Punkt A der Schraubenlinie werde der Kreisschnitt k und die Tangentialebene E des Schraubencylinders gelegt (Fig. 378). Letztere bildet die rektifizierende Ebene der Kurve im Punkte A, weil sie auf seiner Hauptnormale senkrecht steht (454). Läßt man sie auf dem Cylinder ohne Gleiten wälzen, so beschreibt jeder ihrer Punkte eine gespitzte Kreisevolvente und der Cylinder

Der an

bildet umgekehrt von diesen allen die Evolutenfläche. fänglich mit vereinte Punkt beschreibt in der Ebene des des Kreises k diejenige Evolvente u desselben, welche A zum Ursprungs- und Rückkehrpunkte hat (579). Ist der beschreibende Punkt auf u nach T und zugleich der Berührungspunkt der wälzenden Ebene mit der Schraubenlinie s nach P gelangt, so bildet die gerade Verbindungslinie TP die Abwickelung des Bogens AP der Kurve und zugleich deren Tangente im Punkte P. Die Kurve u ist daher eine Evolvente jeder auf dem nämlichen Cylinder durch A gezogenen Schraubenlinie; sie bildet den Schnitt der abwickelbaren Flächen aller dieser Schraubenlinien mit der durch A gelegten Normalebene zur gemeinsamen Achse.

T

Fig. 378.

P

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a) Die senkrechte

588. Über die Abbildung der Schraubenlinie läßt sich folgendes im voraus feststellen:

Projektion auf eine Normalebene zur Achse ist der bezügliche Spurkreis des Schraubencylinders.

B) Die senkrechte Projektion auf eine zur Schraubenachse parallele Ebene ist eine Sinuslinie.

Letzteres schließt man direkt aus der in 583 resp. 585 angegebenen Erzeugungsweise der Sinuslinie und Schraubenlinie. Für Parallelprojektionen, bei denen die projizierenden Strahlen weder parallel, noch normal zur Schraubenachse liegen, gilt folgendes: 7) Die schiefe Parallelprojektion der Schraubenlinie (ihr Schlagschatten für parallele Lichtstrahlen) auf eine Normalebene zur Achse ist eine Cykloide, und zwar ist letztere verschlungen, gespitzt oder gestreckt, je nachdem die Neigung der projizierenden Strahlen gegen die Projektionsebene П größer als die Neigung a der Schraubenlinie, ihr gleich oder kleiner ist.

Man denke sich nämlich die Schraubenlinie von einem Punkte P beschrieben, der sich auf einem Kreise k um die Schraubenachse a dreht, während k selbst, beständig der Projektionsebene П parallel,

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