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ist das von P auf die Achse gefällte Lot und trägt den Mittelpunkt des Krümmungskreises. Aus der Kongruenz gleicher Stücke der Kurve folgt, daß der Krümmungsradius o (455) in jedem Punkte gleich groß ist. Die Krümmungscentra der Schraubenlinie s erzeugen daher eine zweite gleichsinnig gewundene Schraubenlinie s, mit derselben Achse und Ganghöhe und dem Grundkreisradius o – r; in je zwei entsprechenden Punkten haben beide Schraubenlinien die nämliche Hauptnormale. Da die Schmiegungsebene der Kurve

s den Schraubencylinder in einer Ellipse mit den Halbachsen po

% = F, b=r schneidet und o zugleich ihren Krümmungsradius im Scheitel P bildet, so folgt nach 409: - q9 * FT,

Hiernach ist der Krümmungsradius leicht konstruierbar. Ist da, die Neigung der neuen Schraubenlinie s, und o, ihr Krümmungsradius, so folgt zuerst:

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r-tanga =h, = (o – r)tanga, und mit Benutzung der vorigen Relation: tanga = cotga, oder az – a, = R, Zur Bestimmung von 0, hat man aber die Gleichung

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ergiebt. Die beiden Schraubenlinien s und s, sind daher insofern als reciprok zu bezeichnen, als jede die Krümmungscentra der anderen trägt. 587. Die Tangenten der Schraubenlinie haben sämtlich die gleiche Neigung am gegen die Grundkreisebene. Daher ist der Richtungskegel der von ihnen erzeugten abwickelbaren Fläche der Kurve (462) ein Rotationskegel. Läßt man seine Achse mit der Schraubenachse und seinen Grundkreis mit dem des Schraubencylinders zusammenfallen, so wird die Kegelhöhe der reduzierten Ganghöhe h, gleich. Durch einen Punkt A der Schraubenlinie werde der Kreisschnitt k und die Tangentialebene E des Schraubencylinders gelegt (Fig. 378). Letztere bildet die rektifizierende Ebene der Kurve im Punkte A, weil sie auf seiner Hauptnormale senkrecht steht (454). Läßt man sie auf dem Cylinder ohne Gleiten wälzen, so beschreibt jeder ihrer Punkte eine gespitzte Kreisevolvente und der Cylinder bildet umgekehrt von diesen allen die Evolutenfläche. Der anfänglich mit A vereinte Punkt beschreibt in der Ebene des

Fig. 378.

des Kreises k diejenige Evolvente u desselben, welche A zum Ursprungs- und Rückkehrpunkte hat (579). Ist der beschreibende Punkt auf u nach T' und zugleich der Berührungspunkt der wälzenden Ebene mit der Schraubenlinie s nach P gelangt, so bildet die gerade Verbindungslinie TP die Abwickelung des Bogens AP der Kurve und zugleich deren Tangente im Punkte P. Die Kurve u ist daher eine Evolvente jeder auf dem nämlichen Cylinder durch A gezogenen Schraubenlinie; sie bildet den Schnitt der abwickelbaren Flächen aller dieser Schraubenlinien mit der durch A gelegten Normalebene zur gemeinsamen Achse.

588. Über die Abbildung der Schraubenlinie läßt sich folgendes im voraus feststellen:

a) Die senkrechte Projektion auf eine Normalebene zur Achse ist der bezügliche Spurkreis des Schrauben

cylinders.

3) Die senkrechte Projektion auf eine zur Schraubenachse parallele Ebene ist eine Sinuslinie. Letzteres schließt man direkt aus der in 583 resp. 585 angegebenen Erzeugungsweise der Sinuslinie und Schraubenlinie. – Für Parallelprojektionen, bei denen die projizierenden Strahlen weder parallel, noch normal zur Schraubenachse liegen, gilt folgendes: 7) Die schiefe Parallelprojektion der Schraubenlinie (ihr Schlagschatten für parallele Lichtstrahlen) auf eine Normalebene zur Achse ist eine Cykloide, und zwar ist letztere verschlungen, gespitzt oder gestreckt, je nachdem die Neigung p der projizierenden Strahlen gegen die Projektionsebene TT größer als die Neigung an der Schraubenlinie, ihr gleich oder kleiner ist. Man denke sich nämlich die Schraubenlinie von einem Punkte P beschrieben, der sich auf einem Kreise k um die Schraubenachse a dreht, während k selbst, beständig der Projektionsebene TT parallel, in der Richtung von a eine Verschiebung, proportional dem Drehungsbogen, erfährt. Die Projektion P% des Punktes Po legt dann auf der Projektion von k., d. i. auf einem kongruenten Kreise k, denselben Bogen wie Paufk zurück, während k zugleich in TT längs der Projektion a, der Achse eine Parallelverschiebung erfährt, die wiederum dem Drehungsbogen proportional ist. Die Bahn des Punktes P, wird also nach früherem eine Cykloide. Je nachdem die einem Umlaufe von P% entsprechende Verschiebungsgröße (d. h. der Umfang des mit k koncentrischen, rollenden Kreises) kleiner als die Peripherie von k., ihr gleich oder größer ist, wird die Cykloide verschlungen, gespitzt oder gestreckt. Jene Verschiebungsgröße ist aber gleich der Projektion der Schraubenganghöhe h, also =h - cotgq. Die Peripherie von k ist dagegen 2r T =h - cotga, so daß die obigen Unterscheidungen den Annahmen:

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oder (da bei spitzen Winkeln dem größeren die kleinere Cotangente zugehört) den Annahmen:

q = Cz äquivalent sind. Ist p = a, so giebt es in jedem Schraubengange einen Punkt, dessen Tangente zugleich ein projizierender Strahl ist; seine Projektion liefert eine Spitze der Cykloide. Erteilt man schließlich der Projektionsebene TT eine beliebige Stellung, so folgt aus dem vorigen:

Ö) Die Parallelprojektion einer Schraubenlinie auf eine zur Achse beliebig geneigte Ebene ist eine affine Kurve einer Cykloide.

589. Wir geben jetzt die Darstellung einer Schraubenlinie in orthogonaler Projektion, wobei wir die Schraubenachse a senkrecht zur Grundrißebene TT, wählen wollen.

Die Schraubenlinie s sei rechtsgängig. Der in TT, liegende Grundkreis des Schraubencylinders sei s'; er bildet die erste Projektion der Kurve (Fig. 379). Die Achse sei in zweiter Projektion durch die Vertikale a”, die scheinbaren Umrißlinien des Cylinders durch l“ und m" dargestellt. Der Spurpunkt der Kurve s in TT, sei A auf s, A“E” =h die Ganghöhe. Teilt man den Grundkreis so von A anfangend in in gleiche Teile und ebenso die Ganghöhe, zieht durch den miten Teilpunkt P" die Vertikale

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aufwärts und giebt ihr von der x-Achse aus die Länge = m. - n ? so endigt sie in einem Punkte P" der zweiten Projektion s” der Schraubenlinie. l“ und m" auf der x-Achse, so ergiebt sich der Aufriß des über dem Grundkreise stehenden Richtungskegels der abwickelbaren Fläche und es ist z. S"M"A" = az die Neigung der Schraubenlinie. Den Umrißlinien M"S“ und L/S“ des Kegels sind die Tangenten der Sinuslinie so“ in ihren auf a” gelegenen Wendepunkten A“, C", E", . . . bezw. parallel. – Die Krümmungscentra der Sinuslinie in den auf l“ und m” liegenden Scheitelpunkten B“, D“, . . . findet man (582), indem man die aus S“ gezogene Normale zu M"S“

Da der Aufriß s“ eine Sinuslinie ist, so kann man die in 582 gegebenen Konstruktionen anwenden. Der Radius des dort benützten

----------- –d Fig. 379.

Parameterkreises ist hier die reduzierte Ganghöhe h. Dieselbe ist nach Rektifikation des Grundkreisumfanges gemäß der Proportion: 2rt: r =h: h, konstruiert (Nebenfigur).

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In die Figur ist die reciproke Schraubenlinie s, die den Ort der Krümmungscentra der gegebenen s bildet, eingetragen. Die Ganghöhe ist dieselbe, die Neigung a, durch z. S"N"A“ = R – a, der Grundkreisradius durch A"N" gegeben. Die Krümmungscentra für die Scheitel der Sinuslinie s,“ fallen mit denen der vorigen s” zusammen, weil der zugehörige Krümmungsradius als A"M" = r gefunden wird.

590. Die Tangente t der Schraubenlinie in einem ihrer Punkte P wird konstruiert (Fig. 379), indem man auf der Grundkreistangente t“ in P" im gehörigen Sinne PT" = BogP"A abträgt und T" auf - mit Po“ durch die Gerade t“ verbindet. T' ist ein Punkt der Grundkreisevolvente u mit dem Ursprunge A.

Um die zu einer gegebenen Ebene parallelen Tangenten der Schraubenlinie s zu finden, schneide man den über so stehenden Richtungskegel mit einer durch seine Spitze S gelegten Ebene E von der vorgeschriebenen Stellung; zu jeder der beiden Schnittlinien gehört in jedem Schraubengange eine Paralleltangente t. Ist z. B. Q ein Schnittpunkt der Spurlinien e, und s, so ist an den Kreis so diejenige Tangente t'S'0 zu ziehen, welche in dem Punkte T” von s“ die Tangente t“|S"Q“ liefert (Fig. 380).

Die Schmiegungsebenen der Schraubenlinie durch einen gegebenen Punkt R des Raumes (mit den Projektionen R, R") konstruiert man als gemeinsame Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche der Kurve und ihres aus R als Spitze konstruierten Richtungskegels. Die Spurlinie der abwickelbaren Fläche in TT, ist die Kreisevolvente u (Fig. 380) mit dem Ursprunge A, die Spurlinie des gedachten Kegels ist ein um R“ beschriebener Kreis v, der aus dem Kegelaufriß leicht bestimmt wird. Die gemeinsamen Tangenten der

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