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Mantellinien, die den wahren Umriß resp. die Grenze von Licht und Schatten bilden, sie treffen den Parallelkreis in den Punktepaaren, die dem Umriß resp. der Grenzkurve auf der Rotationsfläche angehören. In der That sind die Tangentialebenen in diesen Punkten der Rotationsfläche zugleich Tangentialebenen des genannten Kegels und enthalten projizierende, resp. Lichtstrahlen. Diese Methode heißt das Kegelverfahren. In ähnlicher Weise kann man der Bestimmung des Umrisses sowie der Lichtgrenze die Meridiankurven zu Grunde legen. Da alle Tangentialebenen in den Punkten der Meridiankurve einen Cylinder umhüllen, heißt diese Methode das Cylinderverfahren. Die Mantellinien des Umrisses und der Lichtgrenze auf dem geraden Cylinder, der die Meridiankurve zur Basiskurve hat, treffen diese in Punkten, die dem Umrisse resp. der Lichtgrenze auf der Rotationsfläche angehören. Diesen beiden Methoden reiht sich noch ein drittes, ebenfalls stets verwendbares Verfahren, das Kugelverfahren an, das wir später kennen lernen werden. Bei einzelnen Flächen werden sich noch besondere Methoden darbieten. Auch die Bestimmung des Schlagschattens auf eine Rotationsfläche, mag dieser von der Fläche selbst oder einem anderen Gegenstande herrühren, stützt sich auf die Parallelkreise. Die Schatten dieser Parallelkreise auf eine dazu parallele Ebene sind kongruente Kreise. Entwirft man nun den Schatten des Flächenteiles oder Körpers, dessen Schlagschatten auf der Rotationsfläche gesucht wird, auf die nämliche Ebene, so wird derselbe die Schatten der Parallelkreise teilweise überdecken; die entsprechenden Teile der Parallelkreise selbst werden dann in dem gesuchten Schlagschatten liegen. 528. Es soll hier noch das Verhalten des Eigen- und Schlagschattens in den Punkten untersucht werden, in denen beide aufeinander stoßen. Diese Untersuchung werden wir indessen nicht auf die Rotationsflächen beschränken, sondern ganz allgemein durchführen, die gefundenen Resultate haben dann für jede beliebige Fläche Gültigkeit. Zunächst gilt der Satz: Trifft die Kurve, die den auf eine Fläche fallenden Schlagschatten umschließt, die Kurve der Lichtgrenze, so sind in den Treffpunkten die Tangenten der Schlagschattenkurve dem Lichtstrahl parallel. Die Kurve des Schlagschattens erscheint nämlich als Schnitt der betreffenden Fläche mit einem Cylinder, dessen Mantellinien den Lichtstrahlen parallel sind. Die Tangente dieser Kurve in einem beliebigen Punkte liegt in den beiden Tangentialebenen, die daselbst die gegebene Fläche resp. den genannten Cylinder berühren. Die Tangentialebenen des Cylinders sind alle der Lichtrichtung parallel, und in den Punkten der Lichtgrenze thun dies auch die Tangentialebenen der gegebenen Fläche; es ist deshalb auch die gemeinte Tangente zur Lichtrichtung parallel. Hat die gegebene Fläche eine Randkurve, die von der Lichtgrenze in zwei oder mehr Punkten getroffen wird, so geht der Schlagschatten der Randkurve auf die Fläche ebenfalls von diesen Punkten aus; dabei liegen in jedem solchen Punkte die Tangenten der Randkurve und ihres Schattens harmonisch zur Tangente der Lichtgrenze und dem Lichtstrahle. Das Gleiche gilt dann natürlich auch für die gleichartigen Projektionen dieser Geraden. Sei c der Rand und c“ sein Schatten auf die Fläche, sei ferner u. die Lichtgrenze und P ein gemeinsamer Punkt von c und u, endlich bedeute l den durch P verlaufenden Lichtstrahl (Fig. 339a). Die Kurven c und c“ liegen auf einem Cylinder mit zu l parallelen Mantellinien; die Ebene, die den Cylinder längs l berührt, berührt auch die Fläche in P, " da sie l und die Tangente von c im Punkte P enthält und beide die Fläche tangieren. Hiernach geht also die Kurve c“ in der That durch P. Nun betrachten wir eine zu l benachbarte Mantellinie des CyFig. 339a. linders, die c und c“ in den Punkten Q und Q“ schneidet; die Strecken PQ, PQ)“, QQ“ seien unendlich klein von der 1. Ordnung. Ist R. der Mittelpunkt der Strecke QQ“, so liegen die Strahlen PQ, PQ“, l und PR harmonisch. Beim Grenzübergange werden aber PQ und PQ“ die Tangenten von c und c“, so daß unser Satz bewiesen ist, sobald hierbei der Strahl PR in die Tangente von u übergeht. Um dies zu zeigen legen wir durch QQ“ eine Ebene senkrecht zur Ebene PQQ“; in ihr befindet sich der unendlich kleine, unserer Fläche angehörige Kurvenbogen QQ“, und auf diesem liegt ein Punkt S, dessen Tangente zu QQ“ oder l parallel ist. In der Figur ist der Bogen QQ“ mit dem Punkt S umgelegt. Der Punkt S gehört der Kurve u an und der Strahl PS wird beim Grenzübergange zur Tangente von u; schließen also PS und PR einen unendlich kleinen Winkel ein, d. h. ist RS unendlich klein von der 2. Ordnung, so fällt beim Grenzprozeß auch PR mit der Tangente von u zusammen. Bei jedem unendlich kleinen Bogen hat aber der Punkt T' (Fig. 339b), der senkrecht über der Mitte der zugehörigen Sehne QQ“ liegt, eine Tangente t, die mit QQ“ einen unendlich kleinen Winkel zweiter Ordnung einschließt. Denn es ist TQ = TQ“, nach 447 bildet also t mit TQ und TQ * Winkel, die sich nur um eine unendlich kleine Größe

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2. Ordnung unterscheiden, während QQ“ 7,5 mit diesen Geraden gleiche Winkel bildet. Z + Da nun hiernach die Tangenten in 1 und Z S einen unendlich kleinen Winkel 2. Ordnung einschließen, so ist TS unendlich klein Fig. 339h.

von der 2. Ordnung, und da ferner TR von der 2. Ordnung unendlich klein ist, gilt Gleiches für RS (vergl. 480, 485 und 514). 529. Die Kurve der Lichtgrenze einer Fläche besitzt im allgemeinen einzelne Punkte, deren Tangenten Lichtstrahlen sind; von diesen Punkten geht tangential, d. h. in der Lichtstrahlrichtung, eine Schlagschattenkurve aus. Um die Richtigkeit des ersten Teiles dieses Satzes zu erweisen, lassen wir einen die Fläche berührenden Lichtstrahl l sich so parallel zu sich selbst bewegen, daß sein Berührungspunkt B die Kurve u der Lichtgrenze durchläuft, wobei er also die Fläche stets tangiert. Sei nun E irgend eine Ebene durch den Lichtstrahl l, die sich zugleich mit l parallel zu sich selbst fortbewegt; sie wird die Fläche in einer Kurve c schneiden. c berührt l in einem Punkte B und es kann der in B berührende Kurvenzweig den Strahl / Ul 1 l/ 7/ l noch in einem Punkte S 1. B SY schneiden, siehe Fig. 340. Es l A- --giebt dann zwischen S und B einen Punkt A auf c, dessen l Tangente AT" zu l parallel ist, der also ebenfalls der Licht- Fig. 340. grenze u angehört. Bei der Parallelverschiebung von E – nach der einen oder anderen Seite – wird sich S dem Punkte B nähern und es wird schließlich eine Lage von E geben, für die S mit B. in einem Punkte C zusammenfällt. In dieser Lage wird C zum Wendepunkte und l zur Wendetangente der Kurve c; hier hat l mit c und folglich auch mit der Fläche drei unendlich nahe Punkte gemein, d. h. l ist eine Haupttangente der Fläche im Punkte C. Auch A fällt in dem letzteren

C

Falle mit C zusammen, so daß l hier die Kurve zu der Lichtgrenze berührt. Der Punkt C gehört dem hyperbolisch gekrümmten Teile der Fläche an (vergl. 470). Während nun ein Punkt die Kurve zu von B über C bis A durchläuft, beschreibt der zugehörige Lichtstrahl einen Cylinder, für den die Mantellinie durch C eine Rückkehrkante ist (vergl. 464). Der Schatten zu, von u auf eine beliebige Ebene besitzt in C", eine Spitze, er bildet den Schnitt der Ebene mit jenem Cylinder. Der Cylinder berührt die gegebene Fläche längs zu und schneidet sie überdies in einer Kurve v, die von S über C nach T” verläuft. Die Kurve v berührt, ebenso wie u, die Rückkehrkante im Punkte C und sie geht hier, ebenso wie u, von dem einen Cylindermantel zu dem anderen über, der mit jenem in der Rückkehrkante zusammenhängt. Bei der in der Figur durch Pfeile markierten Lichtstrahlrichtung ist offenbar S. der Schlagschatten von B und entsprechend bildet das Kurvenstück CS von v, den Schlagschatten des Stückes CB der Lichtgrenze u. Spätere Beispiele lassen das noch besser erkennen. 530. Aus dem Gesagten lassen sich auch Schlüsse auf den wahren und den scheinbaren Umriß einer Fläche ziehen. Im allgemeinen giebt es auf dem wahren Umriß Punkte, deren Tangenten mit der Projektionsrichtung zusammenfallen, ihnen entsprechen Spitzen auf dem scheinbaren Umriß. Von den beiden Stücken des wahren Umrisses, die in einem solchen Punkte zusammenstoßen, ist in seiner nächsten Umgebung das eine unsichtbar und das andere sichtbar, falls nicht andere Hinderungsgründe auftreten. Es geht das unmittelbar aus der Fig. 340 hervor, denn wenn dort l die Projektionsrichtung bedeutet, so ist B sichtbar aber A unsichtbar. Deshalb ist auch beim scheinbaren Umriß von den beiden in einer Spitze zusammenstoßenden Kurvenzweigen einer unsichtbar, der andere sichtbar, wenn nicht andere Teile der Fläche das verhindern. Wir sehen also, daß sowohl beim wahren wie beim scheinbaren Umriß der sichtbare Teil in gewissen Punkten endigt;

für den wahren Umriß sind es die Punkte, deren Tangenten der

Projektionsrichtung parallel sind. Die Punkte der Fläche, deren Tangentialebenen sowohl der Licht- wie der Projektionsrichtung parallel sind, gehören zugleich dem wahren Umriß wie der Kurve der Lichtgrenze an. Für die Projektion will das besagen, daß die Projektion der Lichtgrenze den bezüglichen scheinbaren Umriß in den Stellen berührt, deren Tangenten der Projektion des Lichtstrahles parallel sind.

Allgemeine Rotationsflächen, Schnitte, Durchdringung, Eigen- und Schlagschatten.

531. Die Achse einer Rotationsfläche sei senkrecht zum Grundriß und ihre Meridiankurve bekannt; in einem Punkte P der Fläche soll die Tangentialebene und in ihr die Schnittkurve bestimmt werden (Fig. 341).

Seien A und a” die Projektionen der Achse und sei m die Meridiankurve in der zum Aufriß parallellen Ebene, die man kurz als Hauptmeridian bezeichnet, so ist m“ der scheinbare Umriß in TT, denn die Tangentialebenen in den Punkten von m sind zu TI, senkrecht. Der scheinbare Umriß in TT, wird von koncentrischen Kreisen um den Mittelpunkt A gebildet; in der Figur sind es die Kreise b’ und c“, die Kreise b und c auf der Fläche enthalten die Punkte der Meridiankurven, deren Tangenten zu a parallel sind. Ist P" gegeben, so ziehe man durch Po den Parallelkreisd, der in TT, als Kreis durch Po in TT, als Gerade erscheint und findet so P“. Die Tangentialebene in P enthält die horizontale Tangente an d und die Tangente an die Meridiankurve durch P, ihre erste Spur enthält also den Spurpunkt der letzteren und ist zur ersteren parallel.

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