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giebt sich folgende Entstehung. Dreht sich ein Strahl um einen seiner Punkte O, während auf ihm der Punkt M so fortschreitet, daß der Radiusvektor r = OM proportional dem Drehwinkel q wächst, so beschreibt M eine Archimedische Spirale. Setzt man r =p-p, so heißt p der Parameter der Spirale und diese kann als Evolvente eines um O mit dem Radius OL=p geschlagenen Kreises, des Parameterkreises, erhalten werden,

Fig. 374.

indem man den beschreibenden Punkt ursprünglich mit dem Centrum O zusammenfallen läßt. Die rollende Tangente liegt dem Radiusvector anfänglich parallel, ihr Berührungspunkt L, also auf der Normalen OL, zu dem Anfangsstrahle OA, von welchem aus die Drehwinkel p gemessen werden. Indem der Stützpunkt der Tangente den Bogen LL zurücklegt, wächst der Radius OM auf die gleiche Größe. Der zu M gehörige Krümmungsmittelpunkt P wird gefunden, indem man in L die Normale zu ML errichtet und mit der Parallelen zu OL durch M schneidet; die Verbindungslinie des Schnittpunktes Q mit O schneidet auf LM den Punkt P aus. Die Spirale berührt den Anfangsstrahl in dem Ursprungs- und Scheitelpunkte O. Den Krümmungsradius P.0 desselben findet man = p, indem man sich zwei unendlich kleine Bogenelemente OM = LL und P% als Schnittpunkt von OL, mit ML bestimmt denkt. 581. Im Zusammenhange mit den cyklischen Kurven ist die Sinuslinie zu besprechen. Die allgemeine Sinuslinie bildet die Abgewickelte der Schnittkurve eines Rotationscylinders mit einer Ebene (vergl. 495). Es sei (Fig. 375) AB = 2a ein Durchmesser des Grundkreises mit dem Centrum C“. Wir betrachten eine Ellipse, die aus dem Cylinder von einer durch AB gelegten Ebene ausgeschnitten wird. C sei ihr oberer Scheitel, E seine senkrechte Projektion auf die Grundkreisebene und EC = b. Ferner sei S ein beliebiger Ellipsenpunkt, R und S“ seine Projektionen auf den Grundkreis, bezw. auf AB und A AC“R = p. Man findet dann:

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b BogAR = aq, RS=-RS=bsing. / Nimmt man daher – wie es bei der Abwickelung des Cylindermantels geschieht – den Bogen AR als Abscisse x und die Strecke RS als Ordinate y eines rechtwinkligen Koordinatensystems in der Ebene, so ist: x = ap, y=b sinq.

Hieraus folgt die Gleichung:

= sin # nach welcher die Kurve den Namen Sinuslinie führt. Wählt man den Cylinderradius gleich der Längeneinheit und die Neigung der Schnittebene gegen die Grundkreisebene = 459 (also a =b = 1), so ergiebt sich die Sinuslinie im engeren Sinne

mit der Gleichung: y = sina.

Fig. 375.

582. Die Sinuslinie wird aus den gegebenen Parametern a und b folgendermaßen konstruiert. Die Lage des Koordinatensystemes sei durch den rechten Winkel XAX festgelegt und etwa a <b angenommen (Fig. 376). Man schlage um einen Punkt O der Abscissenachse AX (OA = b) zwei Kreise k und l mit den Radien a und b. Ein beliebiger Radius OP von l bilde mit der Abscissenachse den Winkel p, seine senkrechte Projektion auf diese Achse sei ON und LM der zum Centriwinkel q gehörige Bogen des Kreises k. Man findet:

BogLM = ap, NP= besin q. Trägt man daher auf der x-Achse die Strecke AR = Bog LM und parallel zur y-Achse die Strecke RS = NP auf, so ist S ein Punkt der Sinuslinie. Aus der Konstruktion folgt: Dreht sich der Punkt P auf dem Kreise l um das Centrum O, so ergiebt sich für seine senkrechte Projektion Q auf eine Gerade g derselben Ebene eine oscillierende Bewegung. Er fährt aber gleichzeitig g eine dem Drehwinkel q von P proportionale Parallelverschiebung in einer zu g normalen Richtung, so beschreibt Q eine Sinuslinie. Näheres über die Konstruktion der Sinuslinie ist bereits in 495 enthalten; es genügt daher an dieser Stelle die Aufzählung

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Fig. 376.

ihrer hauptsächlichen Eigenschaften. Die Kurve verläuft wellenförmig und bildet unendlich viele unter sich kongruente Gänge; die Länge eines solchen Ganges (in der Abscissenrichtung gemessen) ist dem Umfange 2a 7 des Kreises k gleich. Die höchsten und tiefsten Kurvenpunkte, wie C, D, . . . , deren Ordinaten dem Radius b des Kreises l gleich sind, sind Scheitelpunkte; die zwischen ihnen liegenden Schnittpunkte mit der x-Achse sind Wendepunkte der Sinuslinie. Durch die Scheitel- und Wendepunkte wird die Kurve in kongruente und symmetrische Viertelgänge zerlegt. Konstruiert man ein Rechteck (z. B. CEFG), dessen Seiten den Koordinatenachsen parallel und den Parametern a und b bezw. gleich sind, so ergeben seine Diagonalen die Richtungen der Wendetangenten. Zieht man noch aus der Ecke G des Rechteckes das Lot auf die Diagonale CF" und schneidet es mit CE in K, so giebt KC den Krümmungsradius für die Scheitel an. Außer den besonderen Punkten und den zugehörigen Tangenten bezw. Krümmungskreisen braucht man nur wenige Kurvenpunkte zu bestimmen.

Die Schraubenlinie.

583. Die geodätische Linie auf dem geraden Kreiscylinder heißt Schraubenlinie. Der sie tragende Cylinder wird Schraubencylinder, seine Achse die Schraubenachse genannt. Die Schraubenlinie geht also (461) bei der Abwickelung des Cylinders in eine Gerade über und umgekehrt entsteht bei der Aufwickelung einer Ebene auf einen Rotationscylinder aus jeder ihrer Geraden eine Schraubenlinie. Auf gegebenem Cylinder ist unsere Kurve durch zwei Punkte bestimmt, wenn der Sinn und die Anzahl ihrer Windungen (585) zwischen den Punkten gegeben ist, weil deren Abwickelungen eine Gerade als ihre Verwandelte bestimmen.

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Es sollen zuerst die Haupteigenschaften der Schraubenlinie aus ihrer Entstehungsweise erklärt werden.

Man denke sich eine Tangentialebene E des Rotationscylinders; die Erzeugende, längs der sie berührt, sei durch AB dargestellt (Fig. 377). Die Normalebene zur Cylinderachse durch A schneidet den Cylinder in dem Grundkreise k, die Ebene E in seiner Tangente ki, die bei der Aufwickelung von E in k übergeht. In E werde durch A eine Gerade so unter dem Winkel az gegen ki, gezogen; diese wird aufgewickelt die Schraubenlinie s ergeben. Der Strahl s, schneidet alle Parallelen zu k unter dem Winkel an und alle Parallelen zu AB unter dem Winkel R – oz. Da letztere in die Erzeugenden des Cylinders, erstere in seine Kreisschnitte übergehen, so folgt: Die Schraubenlinie schneidet alle Erzeugenden des Schraubencylinders unter gleichen Winkeln und ebenso alle Kreisschnitte. Der Winkel a gegen einen Kreisschnitt (oder gegen die ihn enthaltende Normalebene) heißt die Neigung der Schraubenlinie.

584. Um den Punkt P der Schraubenlinie s zu bestimmen, der aus dem auf der Geraden s, angenommenen Punkte P% hervorgeht, ziehe man durch P% in E die Parallele e, zu AB, die in eine Mantellinie e des Cylinders übergeht; e, treffe k in Q%. Ist nun auf dem Grundkreise k der Bogen AQ= AQ, und auf der durch Q gezogenen Erzeugenden e die Strecke QP = Q„P%, so ist Po der gesuchte Punkt und man hat:

QP = AQ-tanga.

Fig. 377.

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Ist ferner r der Radius des Kreises k, q, der zu seinem Bogen AQ gehörige Centriwinkel A0Q (also AQ= rq), endlich z die Höhe QP des Punktes Po über der Grundkreisebene, so ergiebt sich: z= rp-tanga.

Da diese Gleichung für alle zusammengehörigen Werte von z und q gilt, so erkennt man den Satz:

Die Schraubenlinie wird von einem Punkte beschrieben, der sich um eine feste Achse (die Schrauben achse) dreht und gleichzeitig eine dem Drehwinkel p proportionale Verschiebung z in der Richtung der Achse erfährt.

Eine solche Bewegung des Punktes heißt daher Schraubenbewegung.

585. Es giebt zwei Arten Schraubenlinien, rechts- und linksgängige. Um sie zu unterscheiden, denke man sich den Beschauer seiner Länge nach in die Schraubenachse gestellt (gleichviel ob aufrecht oder verkehrt); geht für ihn die Schraubenlinie nach rechts abwärts, so heißt sie rechtsgängig, anderenfalls linksgängig.

Offenbar schneidet eine Schraubenlinie jede Erzeugende des Schraubencylinders unendlich oft. Ein Teil der Kurve, der zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schnittpunkten mit der nämlichen Erzeugenden liegt, heißt Schraubengang (Schraubenwindung). Die zwischen seinen Endpunkten liegende Strecke der Erzeugenden heißt die Ganghöhe h. Sie giebt die Größe der Verschiebung in der Achsenrichtung an, die zu einem vollen Umlaufe des beschreibenden Punktes um die Achse gehört; es ist also:

h = 2r 7.tangoz. Als reduzierte Ganghöhe wird die Strecke h, = r-tangaz =

bezeichnet, d. i. die Verschiebung in der Achsenrichtung, die einem

Drehungsbogen gleich dem Radius r des Grundkreises entspricht.

Je zwei gleich lange Stücke einer Schraubenlinie sind kongruent, d. h. die Schraubenlinie ist in sich selbst verschiebbar. Diese Eigenschaft kommt außer ihr nur der geraden Linie und dem Kreise zu, die übrigens als Ausartungen der Schrauben

linie gelten können (nämlich für den Fall, daß tanga oder Ullendlich groß wird, bezw. verschwindet).

586. Die Schmiegungsebene in einem Punkte Po der Schraubenlinie liegt normal zur zugehörigen Tangentialebene des Schraubencylinders (461); die in ihr liegende Hauptnormale (454)

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