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wird durch genau dieselben Operationen konstruiert, wie vorhin die Epicykloide in 574. In der Fig. 371 sind daher die einzelnen Elemente mit den gleichen Buchstaben bezeichnet wie in Fig. 369. Es besteht namentlich aus analogen Gründen, wie dort, der Satz:

Die Evolute einer Hypocykloide ist eine ähnliche Hypocykloide. Die Spitzen der Hypocykloide bilden die Scheitel der Evolute und den Spitzen dieser entsprechen die Scheitel jener Kurve.

=

Um die Hypocykloide auf eine zweite Art zu erzeugen, hat man hier den rollenden Kreis k, mit dem Radius N1A OA - NA zu betrachten. Läßt man seinen Berührungspunkt mit 7 wieder zu Anfang nach A fallen und nimmt an, daß er im entgegengesetzten Sinne rollt, wie k, so folgt wie oben die Gleichheit der Winkel an den und M2, weiter hat man:

Scheiteln M, M

und

AM2 = AM1

ᎪᎷ АМ - AM = M'M'

Bog AM2 = Bog AM1 – Bog ДM = Bog AM2'.

Daher fällt im Laufe der rollenden Bewegung von k1 der Punkt M2 mit M und zugleich der beschreibende Punkt mit M' zusammen und es gilt der Satz:

Rollen zwei Kreise k und k1 in dem festen Kreise 7 und ist die Summe ihrer Radien dem Radius von gleich, so erzeugen sie die nämlichen Hypocykloiden.

578. Indem eine Gerade k als Tangente an einem Kreise 7 abrollt, beschreibt ein mit ihr verbundener Punkt M eine Kreisevolvente. Diese ist gespitzt, wenn sich M auf k selbst befindet, verschlungen wenn M mit dem Centrum O des Kreises auf derselben Seite von k liegt und gestreckt, wenn M und O auf entgegengesetzten Seiten liegen.

Wir betrachten zuerst die gespitzte Kreisevolvente näher. Der Ursprung A ist dadurch bestimmt, daß der beschreibende Punkt mit dem Berührungspunkte der rollenden Geraden zusammenfällt. Die Kurve, die man sich von A aus vor- und rückwärts beschrieben zu denken hat, bildet in A eine Spitze und verläuft mit sich erweiternden Spiralenwindungen von beiderlei Umlaufssinn ins Unendliche. Sie überschneidet sich selbst in unendlich vielen Doppelpunkten, wie z. B. in D (Fig. 372), die sämtlich auf dem verlängerten Durchmesser 40 des Kreises liegen. Für jeden Punkt M der gespitzten Kreisevolvente ist der zugehörige Stützpunkt L der rollenden Geraden der Krümmungsmittelpunkt und der Krümmungshalbmesser MP gleich dem vom Stützpunkte durch

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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laufenen Bogen AP des Kreises. Zur Konstruktion dient die Rektifikation des Kreises mittels einer Teilung in eine hinreichend große Anzahl gleicher, als geradlinig aufzufassender Teile, die auf den Kreistangenten in den Teilpunkten abzutragen sind. Ist u gleich

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dem Umfange des Kreises, so gelangt man durch Weitertragen der Strecke u auf jeder seiner Tangenten von Punkten der ersten Windung zu solchen der zweiten, u. s. f.

579. Zur Konstruktion der allgemeinen Kreisevolvente gelangt man durch folgende Überlegung (Fig. 373). Die auf dem Kreise 7 (Centrum O) rollende Gerade k berühre ihn in L. Ihre Anfangslage sei so gewählt, daß der mit k verbundene beschreibende Punkt auf OL fällt.

Schreitet der Stützpunkt von k auf 7 bis nach L' fort, so geht I in die Lage L" über. Ist ferner L'M' = LA und LL", so giebt M' die gleichzeitig vom Punkte A erreichte Lage an. Zieht man durch M' die Parallele zu L'I", so berührt sie den um durch beschriebenen Kreis i in dem Punkte M, der auf OL' liegt. Mithin steht die Tangentenstrecke MM' zu dem Kreisbogen AM für jeden Punkt M' der Evolvente in einem unveränderlichen Verhältnisse:

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Man erhält alle Evolventen des Kreises 7, indem man dem beschreibenden Punkte A alle möglichen Lagen auf OL erteilt. Dabei

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durchläuft alle Werte von + ∞ bis + 1 und von + 1 bis wenn der Punkt A die Gerade LO vom Unendlichen bis zu L und von da über O bis wieder ins Unendliche durchläuft. Daher gilt der Satz: Bewegt sich eine Gerade als Tangente eines Kreises und auf ihr ein Punkt derart, daß sein Abstand MM' vom Berührungspunkte M dem von diesem zurückgelegten Kreisbogen AM (oder dem zugehörigen Centriwinkel ) proportional wächst, so beschreibt er eine allgemeine Kreisevolvente. Diese ist gestreckt, gespitzt oder verschlungen, je nachdem das Verhältnis x1 ist (wo x = 1 ist (wo x = MA:MM').

k

Fig. 373.

In Fig. 373 sind eine gestreckte und eine verschlungene Kreisevolvente dargestellt. Erstere besitzt außer dem Ursprunge A noch zwei weitere Scheitelpunkte und zwei Wendepunkte. Bei der letzteren bildet der Ursprung 4, den einzigen Scheitel; Wendepunkte treten nicht auf. Die Doppelpunkte beider Kurven liegen auf der Geraden 40 oder 4,0. Den Krümmungsmittelpunkt P zu einem allgemeinen Punkte M' der Kreisevolvente findet man leicht nach der in 565 gegebenen Vorschrift.

580. Die verschlungene Kreisevolvente geht für den speziellen Fall xo in eine Archimedische Spirale über. Für diese er

=

giebt sich folgende Entstehung. Dreht sich ein Strahl um einen seiner Punkte 0, während auf ihm der Punkt M so fortschreitet, daß der Radiusvektor r = OM proportional dem Drehwinkel wächst, so beschreibt M eine Archimedische Spirale.

=

=

Setzt man rp.q, so heißt p der Parameter der Spirale und diese kann als Evolvente eines um 0 mit dem Radius OL geschlagenen Kreises, des Parameterkreises, erhalten werden,

Ρ

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indem man den beschreibenden Punkt ursprünglich mit dem Centrum O zusammenfallen läßt. Die rollende Tangente liegt dem Radiusvector anfänglich parallel, ihr Berührungspunkt L also auf der Normalen OL zu dem Anfangsstrahle OA, von welchem aus die Drehwinkel gemessen werden. Indem der Stützpunkt der Tangente den Bogen LOL zurücklegt, wächst der Radius OM auf die gleiche Größe. Der zu M gehörige Krümmungsmittelpunkt P wird gefunden, indem man in Z die Normale zu ML errichtet und mit der Parallelen zu OL durch M schneidet; die Verbindungslinie des Schnittpunktes Qmit O schneidet auf LM den Punkt P aus. Die Spirale berührt den Anfangsstrahl in dem Ursprungs- und Scheitelpunkte O. Den Krümmungsradius PO desselben findet man 1p, indem man sich zwei unendlich kleine Bogenelemente OM = L ̧L und P。 als Schnittpunkt von OL。 mit ML bestimmt denkt.

=

581. Im Zusammenhange mit den cyklischen Kurven ist die Sinuslinie zu besprechen. Die allgemeine Sinuslinie bildet die Abgewickelte der Schnittkurve eines Rotationscylinders mit einer Ebene (vergl. 495). Es sei (Fig. 375) AB = 2 a ein Durchmesser des Grundkreises mit dem Centrum C'. Wir betrachten eine Ellipse, die aus dem Cylinder von einer durch AB

gelegten Ebene ausgeschnitten wird. C sei ihr oberer Scheitel, E seine senkrechte Projektion auf die Grundkreisebene und EC = b. Ferner sei S ein beliebiger Ellipsen

punkt, R und S' seine Projektionen auf den Grundkreis, bezw. auf AB und LACR q. Man findet dann:

=

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und die Neigung der Schnittebene gegen die Grundkreisebene = 45o (also a = b 1), so ergiebt sich die Sinuslinie im engeren Sinne mit der Gleichung: y sin x.

=

=

582. Die Sinuslinie wird aus den gegebenen Parametern a und b folgendermaßen konstruiert. Die Lage des Koordinatensystemes sei durch den rechten Winkel XAY festgelegt und etwa a <b angenommen (Fig. 376). Man schlage um einen Punkt O der Abscissenachse AX (OA = b) zwei Kreise k und mit den Radien a und b. Ein beliebiger Radius OP von 7 bilde mit der Abscissenachse den Winkel 9, seine senkrechte Projektion auf diese Achse sei ON und LM der zum Centriwinkel gehörige Bogen des Kreises k. Man findet:

Bog LM = a.q, NP = b.sin q.

Trägt man daher auf der r-Achse die Strecke AR
parallel zur y-Achse die Strecke RS = NP auf,
der Sinuslinie. Aus der Konstruktion folgt:

=

Bog LM und

so ist S ein Punkt

Dreht sich der Punkt P auf dem Kreise um das Centrum 0, so ergiebt sich für seine senkrechte Projektion Q auf eine Gerade g derselben Ebene eine oscillierende Be

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