= ein mit k koncentrischer Kreis m gelegt (Fig. 368). Nimmt man auf meinen Punkt M an, schneidet den Radius NM mit k in K, trägt auf der Bahnlinie vom Stützpunkte L aus die Strecke LL Bog LK ab und macht L'M' LM, so ist M' ein Punkt der Cykloide. Es ist zweckmäßig, alle weiteren Konstruktionen an den anfangs gezeichneten Kreisen k und m vorzunehmen, und die konstruierten Punkte erst nachträglich durch die entsprechende Verschiebung parallel zur Bahnlinie in ihre schließliche Lage überzuführen. Zu dem beschreibenden Punkte M ergiebt sich (nach 565) der Krümmungsmittelpunkt P und aus P der Krümmungsmittelpunkt P' der Cykloide im Punkte M', wenn PP'LL' gemacht wird. Die Ursprungspunkte A und B, sowie der, nach einer halben Umdrehung des rollenden Kreises erreichte, höchste Punkt C sind Scheitel der gestreckten Cykloide. Jeder Gang ist gegen die Normale seines höchsten Punktes C symmetrisch. Im Punkte A oder B ist die Cykloide gegen die Bahnlinie 7 konvex, in C konkav; zwischen A und C wechselt sie daher die Krümmung in einem Wendepunkte und ebenso zwischen C und B in W. Da der Mittelpunkt N des rollenden Kreises eine gerade Linie || 7 beschreibt, so gehört er stets dem Wendekreise w für den betreffenden Stützpunkt an und dieser ist speziell für Z über dem Durchmesser LN zu schlagen. Ist Rein Schnittpunkt von w und m, so ergiebt sich ein Wendepunkt, indem man auf R dieselbe Konstruktion anwendet, wie vorhin auf M. Wie hier ohne Beweis mitgeteilt werden mag, besitzt die gestreckte Cykloide noch in jedem Gange zwei weitere Scheitelpunkte D und E.1 Man findet einen derselben D, wenn man den Radius LN des Kreises k um seine halbe Länge bis J verlängert, den Kreis über dem Durchmesser JL mit m in M schneidet und M zum Ausgangspunkte der oben geschilderten Konstruktion macht.2 — Um einen Gang der gestreckten Cykloide zu zeichnen, beschränkt man sich am besten auf die Bestimmung der Scheitelund Wendepunkte und der zu ersteren gehörigen Krümmungskreise; die Centren derselben sind nach den in 565 gemachten Angaben leicht zu finden. Den vier Scheiteln A, D, C, E eines Ganges entsprechen Spitzen der (in der Figur punktierten) Evolute, die Kurvennormalen in den beiden Wendepunkten und W bilden Asymptoten der Evolute. 1 1 Vgl. Wiener, Lehrb. d. darstell. Geometrie II, 324. 2 In der Figur ist, um sie nicht durch viele Linien unklar zu machen, die Konstruktion nur einmal durchgeführt, nämlich für den besonderen Punkt M' = D. 573. Ein Punkt der Außenfläche des Kreises k beschreibt beim Rollen desselben auf der Geraden eine verschlungene Cykloide (Fig. 369). Es sei k der rollende Kreis in einer solchen Position, daß der beschreibende Punkt seine tiefste Lage A auf dem Radius NL einnimmt, und m der mit k koncentrische Kreis durch den Ursprungspunkt A. Trägt man vom Stützpunkte L auf k und die gleiche Länge als Bogen LK und Strecke LL' auf, schneidet den Radius NK mit m in M und zieht L'M' LM, so ist M' ein Punkt der Cykloide. Der zugehörige Krümmungsmittelpunkt P' wird gefunden, wenn man den verlängerten Radius MN mit der Normalen zu ML in Q und die Senkrechte zu 7 durch Q mit ML in P schneidet, hierauf aber P in der Richtung der Leitlinie um die Strecke LL' bis nach P' verschiebt. = Die verschlungene Cykloide schneidet in jedem Gange zweimal die Bahnlinie 7. Man erhält einen dieser Schnittpunkte F aus dem Schnittpunkte H des Kreises m mit 7 durch eine Verschiebung auf der Bahnlinie; ihre Größe HF ist durch den Bogen LJ von k bestimmt, dessen Endpunkt J auf dem Radius NH liegt. Gleichzeitig erhält man den zu F gehörigen Krümmungsmittelpunkt R durch die Relation FR HL. Die Gänge der verschlungenen Cykloide überschneiden sich in Doppelpunkten, wie D und E; dieselben liegen auf den Normalen der Bahnlinie, welche die Ursprungspunkte enthalten. Der auf NA liegende Doppelpunkt D geht durch die mehrfach erwähnte Konstruktion aus dem Punkte S von m hervor, dessen senkrechter Abstand von NA gleich dem bis zum Radius NS gemessenen Bogen LT des rollenden Kreises ist. Man findet S durch eine Fehlerkurve, von der einige Punkte bestimmt werden, indem man von L aus resp. auf k und 7 gleiche Längen abträgt, durch die Endpunkte Radien bezw. Normalen zieht und sie miteinander schneidet. Die tiefsten und höchsten Punkte der verschlungenen Cykloide sind wiederum Scheitel. Weitere Scheitelpunkte, sowie Wendepunkte treten nicht auf. Den Scheiteln A, C, B, ... entsprechen Spitzen der Evolute, die man nach 566 leicht konstruiert; den Schnittpunkten F, G, ... mit der Bahnlinie aber Punkte, in denen die Evolute die Bahnlinie 7 berührt. Bei der Konstruktion der Kurve wird man sich zweckmäßig auf die Bestimmung ihrer ausgezeichneten Punkte und weniger Zwischenpunkte nebst den zugehörigen Krümmungskreisen beschränken. 574. Ein Kreis k rolle auf der Außenseite des festen Kreises 7. Ein Punkt der Peripherie von k beschreibt hierbei eine Epicykloide, gleichviel ob der feste Kreis außerhalb oder innerhalb des beweglichen liegt und jede Epicykloide kann auf beide Arten erzeugt werden. Wir betrachten zuerst den Fall, wo k und einander ausschließen. In Fig. 370 sei A der anfänglich mit dem Stützpunkte des rollenden Kreises k zusammenfallende beschreibende Punkt, also eine Spitze der Epicykloide. Die nächste Spitze B liegt auf 7 um einen Bogen gleich dem Umfange von k entfernt. Man denke = sich wieder das Rollen aus zwei Einzelbewegungen zusammengesetzt, nämlich aus einer Drehung von k um sein Centrum N, wobei der beschreibende Punkt von A nach M gelangen mag, und aus einer Drehung um das Centrum O von 7, bei welcher der Stützpunkt in Ľ und gleichzeitig M in M' übergeht. Hierbei ist Bog AL Bog AM zu nehmen. Trifft die Gerade MA den Kreis 7 zum zweiten Male in M1, so trage man, um den Punkt M' der Epicykloide zu finden, Bog L'M1 = Bog AM1 und auf der Sehne M'L' die Strecke L'M' = AM ab. Zu M selbst als beschreibendem Punkte wird der Krümmungsmittelpunkt P gefunden, wenn man den Endpunkt Q des Durchmessers MQ vom rollenden Kreise mit dem Centrum O des festen verbindet und MA mit QO schneidet. Hieraus findet sich der Krümmungsmittelpunkt P' der Epicykloide für den Punkt M' auf der Kurvennormale M'L' durch die Relation M'P' MP. = 575. Der Durchmesser AR des rollenden Kreises liegt in der Verlängerung des Radius OA vom festen. Man ziehe PS || QA und QR || PA, schlage über dem Durchmesser AS einen Kreis p, der P enthält, und um O einen Kreis q vom Radius OS. Dann bestehen die Beziehungen: OS: SA OP: PQ OA: AR, = = eine zu aus denen zu schließen ist, daß die beiden Kreise Р und 9 k und ähnliche und ähnlichliegende Figur bilden (Ähnlichkeitscentrum 0). Es bildet aber p den geometrischen Ort der Punkte P für k als Ort der Punkte M und indem k auf 7 rollt, rollt p auf q. Daher folgt der Satz: Die Evolute einer Epicykloide ist eine ähnliche Epicykloide. Den Spitzen der Evolute entsprechen Scheitel der Epicykloide, z. B. der nach einer halben Umdrehung von k erreichte Scheitel C; umgekehrt bilden die Spitzen der Epicykloide die Scheitel der Evolute. Nach vorstehenden Angaben ist es leicht, die Epicykloide zu konstruieren. Sie schließt sich, wie schon oben erwähnt, wenn die Radien von k und ein rationales Verhältnis x: 2 haben, nach Gängen und x Umläufen. Bei gleichen Radien ergiebt sich eine nur aus einem Gange bestehende Pascal'sche Linie, die den Namen Kardioide führt. 576. Neben k mag noch ein zweiter rollender Kreis k1 mit dem Radius AN1 = NA+ AO betrachtet werden, der den festen Kreis einschließt. Sein Berührungspunkt falle anfänglich mit A zusammen und die Gerade MA treffe ihn in M. A ist gemeinsames Ähnlichkeitscentrum für die drei Kreise l, k und k1. Hier aus folgt erstens, daß die Tangenten von 7 in M1 und M' mit den gleichen Sehnen MA und M'L' denselben Winkel bilden, wie die Tangente von k1 in M2 mit MA; zweitens folgt: und 2 Beim Rollen von k1 auf 7 fällt daher einmal der Punkt M2 mit M und gleichzeitig der ursprünglich in A gelegene beschreibende Punkt mit M' zusammen. Es besteht also der Satz: Wenn von zwei Kreisen k und k1 der kleinere den Kreis ausschließt, der größere einschließt und die Differenz ihrer Radien dem Radius von 7 gleich ist, so erzeugen beide beim Rollen auf die nämlichen Epicykloiden. Damit ein Gang der Epicykloide beschrieben werde, muß der Stützpunkt des größeren Kreises einen vollen Umlauf mehr zurücklegen als der des kleineren. 577. Rollt ein Kreis k in einem festen Kreise l, so beschreibt ein Punkt seiner Peripherie eine Hypocykloide. Diese Kurve |