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Tangente von u zusammen. Bei jedem unendlich kleinen Bogen hat aber der Punkt 7 (Fig. 3396), der senkrecht über der Mitte der zugehörigen Sehne QQ* liegt, eine Tangente t, die mit QQ* einen unendlich kleinen Winkel zweiter Ordnung einschließt. Denn es

=

TS

7.

R

ist TQ TQ*, nach 447 bildet also t mit TQ und TQ* Winkel, die sich nur um eine unendlich kleine Größe 2. Ordnung unterscheiden, während QQ* mit diesen Geraden gleiche Winkel bildet. Da nun hiernach die Tangenten in 7 und S einen unendlich kleinen Winkel 2. Ordnung einschließen, so ist TS unendlich klein von der 2. Ordnung, und da ferner TR von der 2. Ordnung unendlich klein ist, gilt Gleiches für RS (vergl. 480, 485 und 514).

Fig. 339b.

529. Die Kurve der Lichtgrenze einer Fläche besitzt im allgemeinen einzelne Punkte, deren Tangenten Lichtstrahlen sind; von diesen Punkten geht tangential, d. h. in der Lichtstrahlrichtung, eine Schlagschattenkurve aus. Um die Richtigkeit des ersten Teiles dieses Satzes zu erweisen, lassen wir einen die Fläche berührenden Lichtstrahl 7 sich so parallel zu sich selbst bewegen, daß sein Berührungspunkt B die Kurve u der Lichtgrenze durchläuft, wobei er also die Fläche stets tangiert. Sei nun E irgend eine Ebene durch den Lichtstrahl 7, die sich zugleich mit 7 parallel zu sich selbst fortbewegt; sie wird die Fläche in einer Kurve e schneiden. c berührt 7 in einem Punkte

B und es kann der in B be

einem

v

u

Punkte S

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B

Fig. 340.

u

C

rührende Kurvenzweig den Strahl 7 noch in schneiden, siehe Fig. 340. Es giebt dann zwischen S und B einen Punkt A auf c, dessen Tangente AT zu 7 parallel ist, der also ebenfalls der Lichtgrenze u angehört. Bei der Parallelverschiebung von E-nach der einen oder anderen Seite wird sich S dem Punkte B nähern und es wird schließlich eine Lage von E geben, für die S mit B in einem Punkte C zusammenfällt. In dieser Lage wird C zum Wendepunkte und 7 zur Wendetangente der Kurve c; hier hat 7 mit c und folglich auch mit der Fläche drei unendlich nahe Punkte gemein, d. h. 7 ist eine Haupttangente der Fläche im Punkte C. Auch A fällt in dem letzteren

Falle mit C zusammen, so daß 7 hier die Kurve u der Lichtgrenze berührt. Der Punkt C gehört dem hyperbolisch gekrümmten Teile der Fläche an (vergl. 470). Während nun ein Punkt die Kurve u von B über C bis A durchläuft, beschreibt der zugehörige Lichtstrahl einen Cylinder, für den die Mantellinie durch C eine Rückkehrkante ist (vergl. 464). Der Schatten u von u auf eine beliebige Ebene besitzt in C eine Spitze, er bildet den Schnitt der Ebene mit jenem Cylinder. Der Cylinder berührt die gegebene Fläche längs u und schneidet sie überdies in einer Kurve v, die von S über nach T verläuft. Die Kurve v berührt, ebenso wie u, die Rückkehrkante im Punkte C und sie geht hier, ebenso wie u, von dem einen Cylindermantel zu dem anderen über, der mit jenem in der Rückkehrkante zusammenhängt. Bei der in der Figur durch Pfeile markierten Lichtstrahlrichtung ist offenbar S der Schlagschatten von B und entsprechend bildet das Kurvenstück CS von v den Schlagschatten des Stückes CB der Lichtgrenze u. Spätere Beispiele lassen das noch besser erkennen.

530. Aus dem Gesagten lassen sich auch Schlüsse auf den wahren und den scheinbaren Umriß einer Fläche ziehen. Im allgemeinen giebt es auf dem wahren Umriß Punkte, deren Tangenten mit der Projektionsrichtung zusammenfallen, ihnen entsprechen Spitzen auf dem scheinbaren Umriß. Von den beiden Stücken des wahren Umrisses, die in einem solchen Punkte zusammenstoßen, ist in seiner nächsten Umgebung das eine unsichtbar und das andere sichtbar, falls nicht andere Hinderungsgründe auftreten. Es geht das unmittelbar aus der Fig. 340 hervor, denn wenn dort / die Projektionsrichtung bedeutet, so ist B sichtbar aber A unsichtbar. Deshalb ist auch beim scheinbaren Umriß von den beiden in einer Spitze zusammenstoßenden Kurvenzweigen einer unsichtbar, der andere sichtbar, wenn nicht andere Teile der Fläche das verhindern. Wir sehen also, daß sowohl beim wahren wie beim scheinbaren Umriß der sichtbare Teil in gewissen Punkten endigt; für den wahren Umriß sind es die Punkte, deren Tangenten der Projektionsrichtung parallel sind.

Die Punkte der Fläche, deren Tangentialebenen sowohl der Licht- wie der Projektionsrichtung parallel sind, gehören zugleich dem wahren Umriß wie der Kurve der Lichtgrenze an. Für die Projektion will das besagen, daß die Projektion der Lichtgrenze den bezüglichen scheinbaren Umriß in den Stellen berührt, deren Tangenten der Projektion des Lichtstrahles parallel sind.

Allgemeine Rotationsflächen, Schnitte, Durchdringung, Eigen- und Schlagschatten.

531. Die Achse einer Rotationsfläche sei senkrecht zum Grundriß und ihre Meridiankurve bekannt; in einem Punkte P der Fläche soll die Tangentialebene und in ihr die Schnittkurve bestimmt werden (Fig. 341).

Seien und a" die Projektionen der Achse und sei m die Meridiankurve in der zum Aufriß parallellen Ebene, die man kurz als Hauptmeri

dian bezeichnet, so ist m" der scheinbare Umriß in П, denn die Tangentialebenen in den Punkten von m sind zu П2 senkrecht. Der scheinbare Umriß in TT, wird von koncentrischen Kreisen um den Mittelpunkt A gebildet; in der Figur sind es die Kreise b und c', die Kreise b und c auf der Fläche enthalten die Punkte der Meridiankurven, deren Tangenten zu a parallel sind. Ist P' gegeben, so ziehe man durch P den Parallelkreis d, der in П, als Kreis durch P in П2 als Gerade erscheint und findet so P". Die Tangentialebene in P enthält die horizontale Tan

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gente an d und die

Tangente an die Meridiankurve durch P, ihre erste Spur enthält also den Spurpunkt der letzteren und ist zur ersteren parallel.

Durch Drehung um a kann die Meridiankurve durch P in m übergeführt werden, dabei geht P in P。 und die zugehörige Tangente t in to über; durch Zurückdrehen gewinnt man den Spurpunkt T (T, A = T′′A′′) und damit die Spurlinien e und e2 der gesuchten Tangentialebene. Um Punkte der Schnittkurve s zu zeichnen, ziehe man irgend eine Horizontalebene, die E in einer Hauptlinie und die Fläche in einem Parallelkreise schneidet, in П, findet man dann direkt Punkte der Projektion der Schnittkurve, deren Aufriß dadurch ebenfalls bekannt ist. Die Projektionen von s berühren die bezüglichen Umrisse; der Punkt P ist ein Doppelpunkt von s. Die zu E senkrechte Meridianebene ist selbstverständlich Symmetrieebene von s, in ihr liegt der tiefste Punkt Q von s. Um Qauft zu bestimmen, bedenke man, daß er durch Drehung in Q。 geht (QA (Q" + a")).

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Auch die Meridianebenen kann man zum Aufsuchen der Punkte von s benutzen, indem man durch Drehung um a die Meridiankurve in die Lage m bringt und zugleich die Schnittlinie von Meridianebene und von E mitdreht; ihre Schnittpunkte mit m sind dann wieder zurückzudrehen. Diese Konstruktion läßt sich auch noch verwenden, wenn die Achse der Rotationsfläche nur zu П, parallel ist, ohne zu П1 senkrecht zu sein.

2

Um die Tangente von s im Punkte R zu zeichnen, bringen wir E mit der Tangentialebene im Punkte R unserer Fläche zum Schnitt, die ersten Spuren beider Ebenen schneiden sich im Spurpunkte U der gesuchten Tangente. Die erste Spur der Tangentialebene geht durch den Punkt V auf R'A und ist zu R'A senkrecht, dabei ist V"A" = V ̧." A′′ und R."V" eine Tangente von m" (R"R" || x). Über die Tangenten im Doppelpunkte P von s vergl. 550.

0

532. Zur Konstruktion der Durchdringungskurve einer Rotationsfläche mit einer anderen Fläche läßt sich im allgemeinen nur das. in 504 Gesagte wiederholen. Als Hilfsebenen wird man die Ebenen durch die Parallelkreise der Rotationsfläche wählen können. Diese Ebenen sind dann mit der zweiten Fläche zum Schnitte zu bringen und diese Schnittkurven mit den bezüglichen Parallelkreisen zu schneiden. Die ebenen Schnittkurven brauchen dabei nicht in ihrer ganzen Ausdehnung gezeichnet zu werden, sondern nur in der Nähe des schneidenden Parallelkreises.

Die Aufgabe, die Durchdringungskurve zweier Rotationsflächen mit sich schneidenden Achsen zu zeichnen, läßt sich einfach lösen, wenn man die Ebene der beiden Axen als Hilfsprojektionsebene benutzt. Jede Kugelfläche um den Schnittpunkt

der beiden Achsen als Mittelpunkt schneidet beide Rotationsflächen in Parallelkreisen, deren Schnittpunkte der Durchdringung angehören. Die Parallelkreise projizieren sich auf die Ebene der beiden Achsen als Geraden; diese Ebene schneidet die beiden Flächen in Meridiankurven und die angenommene Kugel in einem größten Kreise; die Schnittpunkte dieser Kurven mit dem Kreise liegen aber auf jenen Parallelkreisen, die hiernach bestimmt sind. Die Durchdringungskurve ist zur Ebene der Achsen symmetrisch.

533. Eigen- und Schlagschatten einer Rotationsfläche, deren Achse senkrecht zum Grundrisse ist (Fig. 342). Die

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1

Fig. 342.

zu П2 parallele Meridiankurve sei m, also m" der Umriß in П1⁄2, der Umriss in П, wird von dem Kreise a' gebildet. Die Kreise b und c mögen die Fläche begrenzen, die wir uns hohl vorstellen wollen. Die Projektionen des Lichtstrahles seien und l'". Die Kurve u der Lichtgrenze auf der Fläche liegt symmetrisch zu der

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