a) Dem Kreise (m) durch N entspricht der Kreis (p) durch O. B) Zieht sich der Kreis (m) auf den Punkt Z zusammen, geschieht das Gleiche mit dem Kreise (p). SO 7) Der Kreis (p) artet in die gemeinsame Tangente tan k d) Erweitert sich der Kreis (m) bis zur Koincidenz mit der Beachtet man, daß der Krümmungsradius der Rolllinie in dem Falle ) zu Null und in dem Falle 7) unendlich groß wird, so ergiebt sich: Die Rolllinie besitzt im allgemeinen an allen den Stellen eine Spitze, wo der beschreibende Punkt M auf die feste Kurve 7 im Stützpunkte L auftrifft und einen Wendepunkt, so oft M dem zu L gehörigen Wendekreise (w) angehört. N=0 M=P Die vorstehenden Sätze können in besonderen Fällen Ausnahmen erleiden. So kann man sich z. B. denken, daß sich die Kurven k und 7 im Stützpunkte L oskulieren, daß sie sich also zugleich durchschneiden und ihre Krümmungscentra N und O zusammenfallen. Man erkennt leicht, daß in diesem Falle die rollende Bewegung in dem Augenblicke rückläufig werden müßte, wo die Berührungsstelle den Punkt I passiert und daß folglich die von irgend einem Punkte M beschriebene Rolllinie eine Spitze hat. In der That zeigt die obige Konstruktion, daß sich für N O auch P ergiebt (Fig. 365). Nur wenn gleichzeitig MLN R wird, also auch mit N und O zusammenfällt, läßt sich P auf die angegebene Art nicht ermitteln. Ohne auf diesen noch spezielleren Fall einzugehen, sei bemerkt, daß die Rolllinie dann eine Schnabelspitze = = M L Fig. 365. = hat. In den folgenden Untersuchungen treten derartige Besonderheiten nicht auf. 568. Ist mit einer auf der festen Kurve 7 rollenden Kurve k eine Kurve i fest verbunden, so werden alle ihre Lagen von einer J h Hüllkurve (Enveloppe) h berührt. Das Momentancentrum der Bewegung sei L; schreitet dasselbe auf 7 um das unendlich kleine Element LL1 fort, so beschreiben alle Punkte der Kurve i unendlich kleine Bahnelemente, die zur Verbindungslinie des beschreibenden Punktes mit dem Pole L senkrecht stehen und in der Nachbarkurve endigen. Ist nun ein Berührungspunkt von i mit h, so stimmt das von ihm beschriebene Bahnelement (bis auf Abweichungen, die durch unendlich kleine Größen höherer Ordnung gemessen werden) mit den von J ausgehenden Nachbarelementen der Kurven und h überein, und JL ist beider die gemeinsame Normale Kurven (Fig. 366). Daher der Satz: Die Berührungspunkte J einer bewegten Kurve i mit ihrer Hüllkurve h sind die Fußpunkte der vom augenblicklichen Drehpunkte L auf sie gefällten Normalen. k 1 H Fig. 366. Ist K auf LJ das zu J gehörige Krümmungscentrum der Kurve i und K1 seine zum Stützpunkte L1 gehörige Nachbarlage, so schneiden sich KL und KL in dem Krümmungscentrum H der von K beschriebenen Bahn. Die durch L1 gezogene Normale LJ, der Nachbarkurve, welche mit LJ das Krümmungscentrum der Hüllkurve h bestimmt, ist (wenn wieder unendlich kleine Größen höherer Ordnung außer Betracht bleiben) als mit K11 identisch anzusehen, wie man am leichtesten erkennt, wenn man sich die Kurven i und in der Umgebung der zu betrachtenden Stellen durch ihre um K und K, beschriebenen Krümmungskreise ersetzt denkt. Hieraus folgt: Die Hüllkurve h hat in ihrem Berührungspunkte J mit der beschreibenden Kurve i dasselbe Krümmungscentrum H wie die Bahnlinie des zugehörigen Krümmungscentrums K der letzteren. Cyklische Linien. 569. Jede ebene Kurve kann als Rolllinie aufgefaßt werden. Hierdurch wird aber die Darstellung einer Kurve auf die zweier anderen zurückgeführt, das Problem also im allgemeinen nicht vereinfacht. Es empfiehlt sich daher nur dann, eine Kurve als Rolllinie zu erzeugen, wenn die hierbei verwendeten Kurven besonders einfache sind, wie z. B. bei den cyklischen Kurven. Die cyklischen Linien werden durch das Rollen eines Kreises auf einem anderen Kreise erzeugt (die Fälle eingeschlossen, wo einer der Kreise in eine Gerade übergegangen ist); man teilt sie folgendermaßen ein. Eine Cykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt, eine Epi- oder Hypotrochoide, wenn ein Kreis auf der Außen- oder Innenseite eines zweiten Kreises rollt, und eine Kreis evolvente beim Rollen einer Geraden auf einem Kreise. Jede dieser cyklischen Kurven kann gespitzt, gestreckt oder verschlungen sein, und zwar treten diese drei Formen auf, je nachdem der beschreibende Punkt auf der rollenden Linie selbst, oder durch diese vom Centrum der Bahnlinie getrennt, oder mit ihm auf einerlei Seite liegt. Die gespitzte Cykloide wird oft schlechthin Cykloide, die gespitzten Epi- und Hypotrochoiden werden Epi- und Hypocykloiden genannt. 570. Die Cykloiden, Epi- und Hypotrochoiden, die man auch unter dem Namen der Radlinien zusammenfassen kann, bestehen aus kongruenten Gängen, von denen ein jeder bei einer vollen Umdrehung des rollenden Kreises erzeugt wird. Als Ursprungspunkte bezeichnet man diejenigen Kurvenpunkte, deren Entfernung vom zugehörigen Stützpunkte ein Minimum ist und rechnet die Gänge von einem Ursprunge bis zum nächsten. Solcher Gänge erhält man, indem man die Kurve vor- oder rückwärts beschreiben läßt, im allgemeinen unendlich viele. Nur wenn das Verhältnis der Radien (und mithin der Umfänge) des rollenden und des festen Kreises dem zweier ganzer Zahlen, x:λ, gleich ist, wird sich die Radlinie nach 2 Gängen und x Umläufen (um den festen Kreis) schließen. Als geschlossene Epicykloiden ergeben sich z. B. bei gleichen Radien die Pascal'schen Linien (vergl. 440, 441). Die Kreisevolventen gehören zu den Spiralen; sie bestehen aus Windungen, von denen eine jede einem vollen Umlauf der 1 Ausführlicheres über die cyklischen Kurven findet man bei Burmester, Lehrb. d. Kinematik, I. Bd. II. Abschn. und bei Wiener, Lehrb. d. darstell. Geometrie, II. Bd. VIII. Abschn. rollenden Geraden um den festen Kreis entspricht. Die Windungen erstrecken sich von einem Ursprunge aus mit beiderlei Umlaufssinn ins Unendliche. Besondere Beachtung verdient die verschlungene Kreisevolvente, deren Ursprung im Centrum des Kreises liegt; sie ist als Spirale des Archimedes bekannt. Außer den wichtigeren cyklischen Kurven soll hier noch die Sinuslinie kurz besprochen werden, die nach ihrer Entstehungsweise mit ihnen verwandt ist. 571. Rollt der Kreis k auf der geraden Linie 1, so beschreibt irgend ein Punkt M seiner Peripherie eine gespitzte Cykloide. Die Ursprungspunkte sind Spitzen und werden von den Punkten gebildet, in denen der beschreibende Punkt auf die Bahnlinie 7 trifft; sie folgen einander in Abständen gleich dem Umfange des rollenden Kreises. Jeder Gang ist symmetrisch zu der Normalen durch seinen höchsten, nach einer halben Umdrehung von k erreichten Punkt. Es seien und B auf zwei aufeinander folgende Spitzen der = Fig. 367. Cykloide (Fig. 367) und k der rollende Kreis in der Anfangslage, wo der Stützpunkt I mit A zusammenfällt. Die rollende Bewegung von k denke man sich zusammengesetzt aus einer Drehung um das Centrum N, wobei 4 in M übergehen mag, und einer Verschiebung in der Richtung der Bahnlinie 7, deren Größe durch die Strecke AL' Bog AM gegeben ist. Um die Endlage M' des beschreibenden. Punktes zu erhalten, ist L'M' AM zu ziehen. Zu M als beĦAM schreibendem Punkte findet man P als Krümmungscentrum, wenn man aus dem Endpunkte Q des Kreisdurchmessers MQ die Senkrechte zu zieht und sie mit MA schneidet (vergl. 565, 566). P liegt auf einem zu k kongruenten Kreise h, der 7 in A von der entgegengesetzten Seite berührt. Aus P ergiebt sich der Krümmungsmittel = = punkt P' der Cykloide im Punkte M' durch die Beziehung PP' ĦAL'. Hieraus folgt: M'L' L'P', d. h. der Satz: Der Krümmungsradius der Cykloide im Punkte M ist gleich dem doppelten Abstande desselben vom Stützpunkte, oder gleich der doppelten Normalen. Zieht man parallel zu 7 die Tangente i des Kreises h und bemerkt, daß PP' Bog AP ist, so erkennt man, daß P' aus A hervorgeht, indem der Kreis h auf der Geraden i rollt. Daher gilt der Satz: Die Evolute einer Cykloide ist eine zu ihr kongruente Cykloide. Der höchste Punkt C des Cykloidenganges liegt mitten zwischen den beiden Spitzen A und B; seine Höhe über der Bahnlinie ist dem Durchmesser des rollenden Kreises gleich. Da diesem Punkte C eine Spitze der Evolute entspricht, so ist er ein Scheitelpunkt (vergl. 449). Die Scheitel der Evolute fallen mit den Spitzen der Cykloide zusammen. - Man konstruiert die Cykloide zweckmäßig unter Benutzung einiger Krümmungskreise, die sich nach dem Gesagten leicht finden lassen. 572. Ein Punkt M der Innenfläche des Kreises k beschreibt, wenn k auf der Geraden 7 rollt, eine gestreckte Cykloide. Man zeichne den Kreis in solcher Lage, daß der beschreibende Punkt seine tiefste Position A auf dem Radius des Stützpunktes L einnimmt. A ist ein Ursprungspunkt; sein Abstand vom nächsten Ursprungspunkte B ist dem Kreisumfange gleich. Durch A werde |