939. In Fig. 6026 sind die Lichtgleichen des Plücker'schen Konoides eingezeichnet und es sind dazu folgende Bemerkungen zu machen. Die Lichtgleiche 0, die auch schon in 737 bestimmt wurde, besteht aus einem einzigen Kurvenzug; ihre erste Projektion besitzt im Spurpunkt 4 der Achse einen dreifachen Punkt mit den Tangenten t', t und l'. Die Erzeugenden t und sind selbst Lichtgleichen, deren Helligkeit bei der gewählten Lichtrichtung ungefähr der Zahl 2,9 entspricht. Diese Erzeugenden können von keiner Lichtgleiche überschnitten, dagegen müssen sie von allen Lichtgleichen in den Punkten 7 resp. 7, berührt werden (siehe unten). Berührt die Gerade e' durch L' den Kreis qo, so berührt die erste Projektion der entsprechenden Lichtgleiche eine zu e' parallele Tangente in 4. Dreht sich nämlich e um L', so bewegt sich Go auf der Parallelen zu x; wird e' l', so nimmt Go seine äusserste Lage und kehrt bei weiterer Drehung von e' seine Bewegungsrichtung um. Berührt nun e' den Kreis qo, so liegt Go senkrecht über dem Schnittpunkte von qo mit x und somit fällt der auf e liegende Punkt der entsprechenden Lichtgleiche auf die Achse a und ihre erste Projektion wird von e' berührt. 0 0 0 Die Lichtgleichen 1 und 2 bestehen aus je zwei getrennten Kurvenzügen, denn es giebt keine Lage von Go, für welche die beiden Tangenten an q° oder q, zusammenfallen. Jeder der beiden Kurvenzüge der Lichtgleiche 1 projiziert sich im Grundriß als Kurve mit dem dreifachen Punkte A; beide Kurven berühren daselbst tund t', und außerdem noch je eine der beiden Geraden, die den Tangenten aus L' an q1° parallel laufen. Ähnliches gilt 0 0 für die Lichtgleiche 2. Die Lichtgleichen 3 und 4 bestehen aus nur je einem Kurvenzuge. Nimmt G° eine der beiden Lagen auf 43° an, etwa H, so berührt die zugehörige Erzeugende die Lichtgleiche. Schlägt man um O mit dem Radius FH einen Kreis, so geben die aus L'an ihn gelegten Tangenten die Richtungen der Erzeugenden an, welche die Lichtgleiche 3 berühren; die Berührungspunkte bestimmen sich leicht nach der allgemeinen Methode. Die Projektion der Lichtgleiche 3 besitzt in einen sechsfachen Punkt, zweimal berührt sie daselbst t', zweimal t' und je einmal die Parallelen zu den Tangenten von L'an q3°. Die zusammengehörigen Enden sind mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet. Die Projektion der Lichtgleiche 4, die ebenfalls von zwei Erzeugenden berührt wird, schickt nur vier reelle Zweige durch A, zwei berühren t' und zwei berühren die Geraden, die zu den Tangenten aus L'an q94° parallel sind. Diese Projektion kann die Gerade t' nicht berühren, da der um 0 mit dem Radius FK (K auf 44°) geschlagene Kreis dieselbe schneidet; sie besitzt zwei kleine Schleifen, die jedoch wegen ihrer Kleinheit im Grundriß nicht eingezeichnet werden konnten. An die Lichtgleiche 4 schließen sich weiterhin solche an, die nur zwei reelle Äste durch 4 schicken, die beide t' berühren, während die Lichtgleichen in der Nähe der Lichtpole überhaupt keine reellen Äste durch 4 senden. Im Aufriß sind die Lichtgleichen nur eingetragen, soweit sie sichtbar sind. 0 Verschiedene Flächen. 940. Zum Schluß mag noch kurz erläutert werden, wie auch für verschiedene andere Flächenfamilien die Lichtgleichen mit den bereits gewonnenen Hilfsmitteln gefunden werden können. So kann das Cylinderverfahren auf die Schiebungsflächen angewendet werden. Eine solche Fläche entsteht, wenn eine Kurve a parallel zu sich selbst so verschoben wird, daß einer ihrer Punkte P auf einer Kurve fortrückt. Dann beschreibt jeder Punkt von a eine zu b kongruente Kurve und die Fläche kann auch durch Parallelverschiebung von b erzeugt werden; die Punkte von b beschreiben. dann die Kurven a. Die Schiebungsfläche wird längs jeder Kurve a von einer Cylinderfläche berührt, deren Lichtgleichen eventuell mit Anwendung eines Normalschnitttes bestimmt werden können und dann auf a die Punkte der Lichtgleichen der Schiebungsfläche ausschneiden. Eine solche Schiebungsfläche wird z. B. von der Schraubenfläche gebildet, die durch Verschraubung eines Kreises mit zur Schraubenachse normaler Ebene entsteht. Auf dieser Fläche bilden die Kreise das eine System der Parallelkurven, das andere wird von Schraubenlinien gebildet, die zu der vom Kreismittelpunkt bei der Verschraubung beschriebenen Kurve kongruent sind. Insbesondere gehört hierher die gewundene Säule, deren Lichtgleichen auch nach der für die Schraubenflächen dargelegten Methode gefunden werden können. Das Cylinder- oder Kugelverfahren findet bei den Röhrenflächen Verwendung. Jede Röhrenfläche ist als die Hüllfläche aller Lagen einer bewegten Kugel von unveränderlichem Radius definirt. Spezielle Fälle bilden die Ringfläche und die durch Verschraubung einer Kugel entstehende Fläche. Die Ebenen, die in den einzelnen Punkten der Bahnkurve des Kugelmittelpunktes auf den zugehörigen Tangenten normal stehen, schneiden die Röhrenfläche in kongruenten Kreisen. Auf jedem solchen Kreise erhält man die Punkte der Lichtgleichen, indem man durch den Mittelpunkt einer mit der erzeugenden Kugel gleich großen Kugel einen Parallelschnitt legt und die auf ihm liegenden Lichtgleichenpunkte auf jenen Kreis überträgt. Dabei liegen entsprechende Punkte auf parallelen Durchmessern, was man direkt für die Projektionen verwenden kann. Man kann auch das Cylinderverfahren anwenden, da die Röhrenfläche längs jedes der genannten Kreise von einem geraden Kreiscylinder berührt wird. Die Hüllflächen einer bewegten Kugel mit veränderlichem Radius, wie z. B. die Cyclide, gestatten die Verwendung des Kegel- oder Kugelverfahrens zur Bestimmung ihrer Lichtgleichen. Auf einer solchen Fläche liegen ebenfalls unendlich viele Kreise, aber mit wechselndem Radius, und in jedem derselben wird sie von einem Rotationskegel berührt. Die Lichtgleichen dieses Kegels liefern auf dem Berührungskreise Punkte der gesuchten Lichtgleichen der Fläche. Das Kugelverfahren besteht darin, daß man zu jedem Kreis der Fläche einen Kreis auf einer festen Kugel sucht, so daß die zugehörigen Tangentialkegel parallele Mantellinien aufweisen. Die Punkte der Lichtgleichen auf dem Kugelkreis sind dann auf den bezüglichen Kreis der Fläche zu übertragen. |