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GA und GB in zwei Punkten P% und Q, schneidet, so daß P, Q, = P"Q" ist. Die Punktreihe (P, Q, R, . . .) auf y ist projektiv zu dem Ebenenbüschel m (P, Q, R, . . .) und auch zu dem Büschel der Parallelebenen durch e, folglich auch zu der Punktreihe (P, Q, R. . .) ihrer Berührungspunkte, sowie zu der Punktreihe (P“, Q“, R“ . . .). Die Punktreihen (P, Q, R., . . .) auf y und (P", Q“, R“. . .) auf e" sind aber kongruent, denn die drei Punkte P, Q, R, der ersten Reihe können mit den drei Punkten Po", Q“, R“ der zweiten Reihe durch Aufeinanderlegen der Geraden zy und e” zur Deckung gebracht werden (190). Ist also S, ein Punkt von y und berührt GS, den Kreis q, so ist der entsprechende Punkt S“ aufe“ (P"S“ = PS) der Aufriß eines Punktes S auf e, dessen Tangentialebene zu mS, parallel ist, d. h. S. liegt auf der zum Kreis q, gehörigen Lichtgleiche. Wir haben also nur aus G. die Tangenten an die Kreise q, zu ziehen, sie schneiden die Gerade y in einer Punktreihe, die kongruent ist zu der zweiten Projektion der Punktreihe, welche die Lichtgleichen auf e ausschneiden; dabei entsprechen sich die Punkte P, und P“, sowie Q, und Q“. Bei der Ausführung der Konstruktion legen wir die Ebene N um ihre Spur n, in die Aufrißebene um, dann gelangt G nach Go (L"L, Lm“, L'L,=(L/– 1), F=n, ×m“, FG, LM, L, FG 9–FG). Ist R. ebenfalls im Endlichen gelegen, so lege man Po, in den Punkt A und ziehe y beliebig durch A; die Punktreihe (P%, Q, R, . . .) auf y und die von dem Strahlbüschel mit dem Scheitel G auf n, ausgeschnittene Punktreihe (A, B, C, . . . ) sind dann perspektiv und die erste Reihe ist wieder zu der Reihe auf e” kongruent. 938. Die Lichtgleichen des Plücker'schen Konoides (Fig.602a und 602b). Diese Fläche ist in 733 u. flg. behandelt; wir wählen wie dort die Achse a vertikal und es seien wieder t und t, die tiefste und die höchste Erzeugende und T' und T ihre Schnittpunkte mit der Achse. Das Konoid sei begrenzt durch eine Kurve s, die auf einer Cylinderfläche mit der Achse a und dem Radius 2r liegt. Die Tangentialebene in einem beliebigen Punkte Po einer Erzeugenden e schneidet t und t, in Punkten, deren Verbindungslinie auf e im Mittelpunkt von EP senkrecht steht (E = a × e) (736). Das vorher geschilderte Verfahren wird jetzt folgende Form annehmen (Fig.602a). Die Bestimmung von O., L und den Kreisen q" geschieht wie vorher. Durch L" ziehen wir Parallele zu t“ und t“ und schlagen um L' einen Kreis k“ mit dem Radius r; dann ziehen wir durch L noch zu einer beliebigen Erzeugenden e die Parallele (diese Parallelen tragen die gleichen Bezeichnungen t“, t“, e”). Die zu e normale Ebene N hat die Spuren m, und n, (n, L x, n, L. e); wir drehen sie um n, in die Aufrißebene, dabei gelangt G = e × N nach G9 (L/G9 | x, G"F" = G/O). Die Tangentialebene im unendlich fernen Punkt von e ist horizontal, die ihr entsprechende Gerade durch G9 ist parallel zu x; die Tangentialebene in E ist vertikal, die ihr entsprechende Gerade durch G' ist senkrecht zu x. Legen wir ferner zur Tangentialebene des Punktes P=e ×s (EP=2r) die Parallelebene durch L, so

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schneidet sie t und t, in S und S, wo SS“ den Kreis k“ in seinem Schnittpunkt J" mit e’ berührt. Ihre Schnittlinie mit N geht, in den Aufriß umgelegt, durch G9 und ist parallel zu UV (UO = TT, UO L 2, WO = SS“, WO auf 2). Jetzt zeichnen wir eine Gerade y |x derart, daß die Strecke EP = EP auf ihr durch die Strahlen G„E, L x und G9P% | UV ausgeschnitten wird. Die Tangenten aus Go an die Kreise qo schneiden zy in einer Punktreihe, die zu der von den Lichtgleichen auf e ausgeschnittenen Punktreihe kongruent ist (E und E. entsprechen sich) und natürlich ebenso zu der ersten Projektion dieser Punktreihe.

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939. In Fig.602b sind die Lichtgleichen des Plücker'schen Konoides eingezeichnet und es sind dazu folgende Bemerkungen zu machen. Die Lichtgleiche 0, die auch schon in 737 bestimmt wurde, besteht aus einem einzigen Kurvenzug; ihre erste Projektion

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besitzt im Spurpunkt A der Achse einen dreifachen Punkt mit den Tangenten t“, t“ und l". Die Erzeugenden t und , sind selbst Lichtgleichen, deren Helligkeit bei der gewählten Lichtrichtung ungefähr der Zahl 2,9 entspricht. Diese Erzeugenden können von keiner Lichtgleiche überschnitten, dagegen müssen sie von allen Lichtgleichen in den Punkten T' resp. T' berührt werden (siehe unten). Berührt die Gerade e durch L' den Kreis q", so berührt die erste Projektion der entsprechenden Lichtgleiche eine zu e’ parallele Tangente in A. Dreht sich nämlich e” um L', so bewegt sich G9 auf der Parallelen zu x; wird e’ L l“, so nimmt Go seine äusserste Lage und kehrt bei weiterer Drehung von e” seine Bewegungsrichtung um. Berührt nun e” den Kreis q", so liegt G9 senkrecht über dem Schnittpunkte von q" mit r und somit fällt der auf e liegende Punkt der entsprechenden Lichtgleiche auf die Achse a und ihre erste Projektion wird von e” berührt. Die Lichtgleichen 1 und 2 bestehen aus je zwei getrennten Kurvenzügen, denn es giebt keine Lage von G", für welche die beiden Tangenten an q,9 oder q„o zusammenfallen. Jeder der beiden Kurvenzüge der Lichtgleiche 1 projiziert sich im Grundriß als Kurve mit dem dreifachen Punkte A; beide Kurven berühren daselbst t“ und t“, und außerdem noch je eine der beiden Geraden, die den Tangenten aus L/ an q," parallel laufen. Ahnliches gilt für die Lichtgleiche 2. Die Lichtgleichen 3 und 4 bestehen aus nur je einem Kurvenzuge. Nimmt G" eine der beiden Lagen auf q" an, etwa H, so berührt die zugehörige Erzeugende die Lichtgleiche. Schlägt man um O mit dem Radius FH einen Kreis, so geben die aus L/ an ihn gelegten Tangenten die Richtungen der Erzeugenden an, welche die Lichtgleiche 3 berühren; die Berührungspunkte bestimmen sich leicht nach der allgemeinen Methode. Die Projektion der Lichtgleiche 3 besitzt in A einen sechsfachen Punkt, zweimal berührt sie daselbst t“, zweimal t“ und je einmal die Parallelen zu den Tangenten von L/ an q". Die zusammengehörigen Enden sind mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet. Die Projektion der Lichtgleiche 4, die ebenfalls von zwei Erzeugenden berührt wird, schickt nur vier reelle Zweige durch A, zwei berühren t“ und zwei berühren die Geraden, die zu den Tangenten aus L an q," parallel sind. Diese Projektion kann die Gerade t“ nicht berühren, da der um 0 mit dem Radius FK (K auf q") geschlagene Kreis dieselbe schneidet; sie besitzt zwei kleine Schleifen, die jedoch wegen ihrer Kleinheit im Grundriß nicht eingezeichnet werden konnten. An die Lichtgleiche 4 schließen sich weiterhin solche an, die nur zwei reelle Äste durch A schicken, die beide t“ berühren, während die Lichtgleichen in der Nähe der Lichtpole überhaupt keine reellen Äste durch A senden. Im Aufriß sind die Lichtgleichen nur eingetragen, soweit sie sichtbar sind.

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Werschiedene Flächen.

940. Zum Schluß mag noch kurz erläutert werden, wie auch für verschiedene andere Flächenfamilien die Lichtgleichen mit den bereits gewonnenen Hilfsmitteln gefunden werden können. So kann das Cylinderverfahren auf die Schiebungsflächen angewendet werden. Eine solche Fläche entsteht, wenn eine Kurve a parallel zu sich selbst so verschoben wird, daß einer ihrer Punkte P auf einer Kurve b fortrückt. Dann beschreibt jeder Punkt von a eine zu b kongruente Kurve und die Fläche kann auch durch Parallelverschiebung von b erzeugt werden; die Punkte von b beschreiben dann die Kurven a. Die Schiebungsfläche wird längs jeder Kurve a von einer Cylinderfläche berührt, deren Lichtgleichen eventuell mit Anwendung eines Normalschnitttes bestimmt werden können und dann auf a die Punkte der Lichtgleichen der Schiebungsfläche ausschneiden. Eine solche Schiebungsfläche wird z. B. von der Schraubenfläche gebildet, die durch Verschraubung eines Kreises mit zur Schraubenachse normaler Ebene entsteht. Auf dieser Fläche bilden die Kreise das eine System der Parallelkurven, das andere wird von Schraubenlinien gebildet, die zu der vom Kreismittelpunkt bei der Verschraubung beschriebenen Kurve kongruent sind. Insbesondere gehört hierher die gewundene Säule, deren Lichtgleichen auch nach der für die Schraubenflächen dargelegten Methode gefunden werden können.

Das Cylinder- oder Kugelverfahren findet bei den Röhrenflächen Verwendung. Jede Röhrenfläche ist als die Hüllfläche aller Lagen einer bewegten Kugel von unveränderlichem Radius definiert. Spezielle Fälle bilden die Ringfläche und die durch Verschraubung einer Kugel entstehende Fläche. Die Ebenen, die in den einzelnen Punkten der Bahnkurve des Kugelmittelpunktes auf den zugehörigen Tangenten normal stehen, schneiden die Röhrenfläche in kongruenten Kreisen. Auf jedem solchen Kreise erhält man die Punkte der Lichtgleichen, indem man durch den Mittelpunkt einer mit der erzeugenden Kugel gleich großen Kugel einen Parallelschnitt legt und die auf ihm liegenden Lichtgleichenpunkte auf jenen Kreis überträgt. Dabei liegen entsprechende Punkte auf parallelen Durchmessern, was man direkt für die Projektionen verwenden kann. Man kann auch das Cylinderverfahren anwenden, da die Röhrenfläche längs jedes der genannten Kreise von einem geraden Kreiscylinder berührt wird.

Die Hüllflächen einer bewegten Kugel mit veränderlichem Radius, wie z. B. die Cyclide, gestatten die Verwendung des Kegel- oder

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