Die übrigen Lichtgleichen gewinnt man in gleicher Weise, e und behalten immer die gleiche Lage, nur PA resp. P0 ist für jede Kurve neu zu bestimmen. Die Lichtgleichen 1, 2, 3, 4 projizieren sich im Grundriß als Hyperbeln, die Lichtgleiche 0 als Gerade und die Lichtgleichen in der Nähe des Lichtpoles 5 als Ellipsen. In der Figur ist noch die Lichtgleiche mit der Helligkeit 4,66 bestimmt. Die Projektionen der Lichtgleichen können auch wie folgt konstruiert werden. Um die Projektion der Lichtgleiche 2 zu gewinnen, zeichne man wie vorher A1, B1 und die affinen Punkte = = A', B'. Ferner trage man auf e, die Strecken LU1 = LW1 2,5.H2 dem Radius des Kreises k auf und suche die affinen Punkte U' und W' auf e', dann sind VU' und VW' zwei Tangenten der gesuchten Kurve und U', V' ihre Berührungspunkte. Die Endpunkte des imaginären Durchmessers C'D' ergeben sich jetzt als die Gleichpunkte einer Involution mit dem Mittelpunkt O'; ein Punktepaar dieser Involution wird von U'V und einer Parallelen zu A'B' durch U' ausgeschnitten. Der imaginäre Durchmesser C'D' ist zur punktweisen Konstruktion der Lichtgleichen nicht nötig, ihre Punkte und Tangenten ergeben sich aus dem Satz vom umschriebenen Vierseit (268). In Fig. 600 sind die Grund- und Aufrisse der Lichtgleichen des elliptischen Paraboloides eingezeichnet. Die Konstruktion der Lichtgleichen für das hyperbolische Paraboloid ist genau dieselbe wie im Fig. 599, nur liegt dann F oberhalb x. Daraus folgt der Satz: Besitzen ein elliptisches und ein hyperbolisches Paraboloid den gleichen Hauptschnitt a, während der andere Hauptschnitt bei beiden kongruent, aber entgegengesetzt gerichtet ist, so sind die Grundrisse ihrer Lichtgleichen zu einander symmetrisch in Bezug auf a'. Die Aufrisse der entsprechenden Lichtgleichen beider Flächen schneiden auf den Vertikalen Strecken ab, die von a" halbiert werden. Regelflächen. 937. Die Lichtgleichen der Regelflächen (Fig. 601). Ist e eine Erzeugende der Regelfläche, so sind alle Ebenen durch e Tangentialebenen; ihre Berührungspunkte auf e bilden eine Punktreihe, die zu dem Büschel der Ebenen projektiv ist (722). Die Konstruktion der Punkte der Lichtgleichen auf der einzelnen Erzeugenden ist der bei der Cylinderfläche ganz analog. Durch einen beliebigen Punkt O der x-Achse ziehen wir einen Lichtstrahl 1, wählen auf ihm einen beliebigen Punkt Z und legen durch ihn eine Parallele m zu der Erzeugenden e. Nun legen wir durch O eine Normalebene N zu m— ihre zweite Spur n, durch O ist senkrecht zu m" — zeichnen in ihr um O als Mittelpunkt die Kreise 91,..., 95, deren Radien gleich 15, 2,..., 5% der Strecke OL sind, und ziehen von Gm x N die Tangenten an diese Kreise. Die Ebenen durch m und je eine dieser Tangenten besitzen die Helligkeiten 1, 2, . . . 5, die Ebene durch m und O die Helligkeit 0. Denn ist eine solche Tangente und 7 ihr Berührungspunkt, so ist OT die Normale der Ebene mt und es ist zugleich OT die senkrechte Projektion von OL auf diese Normale; OT ist aber ein ganzes Vielfaches von OL: 5. Zu den genannten Ebenen durch m hat man die Parallelebenen durch e zu legen, durch ihre Berührungspunkte Diese Be gehen dann die bezüglichen Lichtgleichen hindurch. rührungspunkte wird man jedoch nicht einzeln bestimmen, vielmehr das folgende Verfahren in Anwendung bringen. Durch die geometrische Definition der Regelfläche sind gewöhnlich in drei Punkten einer jeden Erzeugenden die Tangentialebenen bekannt, oder können leicht angegeben werden. Für die Erzeugende e mögen die Tangentialebenen in P, Q und dem unendlich fernen Punkte R bekannt und ihre zweiten Spurlinien gezeichnet sein. Die Parallelebenen durch m werden zu ihnen parallele Spuren MA, MB und MC besitzen (A, B, C auf n ̧) und die Ebene N in den Geraden GA, GB und GC schneiden. Nun ziehen wir in der Ebene N eine Hilfsgerade y parallel zu GC, die = GA und GB in zwei Punkten P, und Q, schneidet, so daß PQ1 P"Q" ist. Die Punktreihe (P1, Q1, R1 .) aufy ist projektiv zu dem Ebenenbüschel m(P1, Q1, R1 ...) und auch zu dem Büschel der Parallelebenen durch e, folglich auch zu der Punktreihe (P, Q, R . •) ihrer Berührungspunkte, sowie zu der Punktreihe (P", Q", R" . . .). Die Punktreihen (P1, Q, R1, ...) auf y und (P", Q", R"...) auf e" sind aber kongruent, denn die drei Punkte P1, Q1, R1 der ersten Reihe können mit den drei Punkten P", Q", R" der zweiten Reihe durch Aufeinanderlegen der Geraden y und e" zur Deckung gebracht werden (190). Ist also S ein Punkt von y und berührt GS1 den Kreis q;, so ist der entsprechende Punkt 8" auf e" (P"S" = P12S12) der Aufriß eines Punktes & auf e, dessen Tangentialebene zu m S parallel ist, d. h. S liegt auf der zum Kreis q; gehörigen Lichtgleiche. Wir haben also nur aus G die Tangenten an die Kreise q, zu ziehen, sie schneiden die Gerade y in einer Punktreihe, die kongruent ist zu der zweiten Projektion der Punktreihe, welche die Lichtgleichen auf e ausschneiden; dabei entsprechen sich die Punkte P1 und P", sowie Q1 und Q". 1 Bei der Ausführung der Konstruktion legen wir die Ebene N um ihre Spur n in die Aufrißebene um, dann gelangt G nach Go (L"L。 1m", L"L。 = (L' - x), F= n2 × m", FG | M2L。, FG°=FG。). Ist R ebenfalls im Endlichen gelegen, so lege man P1 in den Punkt A und ziehe beliebig durch 4; die Punktreihe (P1, Q, R ...) aufy und die von dem Strahlbüschel mit dem Scheitel G auf n ջ ausgeschnittene Punktreihe (A, B, C,...) sind dann perspektiv und die erste Reihe ist wieder zu der Reihe auf e" kongruent. 938. Die Lichtgleichen des Plücker'schen Konoides (Fig. 602 a und 6026). Diese Fläche ist in 733 u. fig. behandelt; wir wählen wie dort die Achse a vertikal und es seien wieder t und t1 die tiefste und die höchste Erzeugende und 7' und T1 ihre Schnittpunkte mit der Achse. Das Konoid sei begrenzt durch eine Kurve s, die auf einer Cylinderfläche mit der Achse a und dem Radius 2r liegt. Die Tangentialebene in einem beliebigen Punkte P einer Erzeugenden e schneidet t und t1 in Punkten, deren Verbindungslinie auf e im Mittelpunkt von EP senkrecht steht (Ea x e) (736). Das vorher geschilderte Verfahren wird jetzt folgende Form annehmen (Fig. 602a). Die Bestimmung von 0, L und den Kreisen qo geschieht wie vorher. Durch L' ziehen wir Parallele zu t' und t' und schlagen um L' einen Kreis k' mit dem Radius r; dann ziehen wir durch Z noch zu einer beliebigen Erzeugenden e die Parallele (diese Parallelen tragen die gleichen Bezeichnungen t', t, e). Die zu e normale Ebene N hat 0 = die Spuren n und n1 (n2 x, n1e'); wir drehen sie um n in die AufriBebene, dabei gelangt GeX N nach G° (L"G° || x, G°F GO). Die Tangentialebene im unendlich fernen Punkt von e ist horizontal, die ihr entsprechende Gerade durch G° ist parallel zu x; die Tangentialebene in E ist vertikal, die ihr entsprechende Gerade durch Go ist senkrecht zu x. Legen wir ferner zur Tangentialebene des Punktes P= e × s (EP=2r) die Parallelebene durch L, so Ihre Schnittlinie mit N geht, = = schneidet sie t und t1 in S und S1, wo S'S,' den Kreis k' in seinem Schnittpunkt J' mit e' berührt. in den Aufriß umgelegt, durch G° und ist parallel zu UV (UO = TT1, UO 1 x, VO = S'S', VO auf x). Jetzt zeichnen wir eine Gerade y derart, daß die Strecke ЕP1 EP auf ihr durch die Strahlen GE 1 x und G°P1 || UV ausgeschnitten wird. Die Tangenten aus G° an die Kreise q° schneiden y in einer Punktreihe, die zu der von den Lichtgleichen auf e ausgeschnittenen Punktreihe kongruent ist (E1 und E entsprechen sich) und natürlich ebenso zu der ersten Projektion dieser Punktreihe. 1 |