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Flächenpunkte und die ersten Spurpunkte der zu den Flächennormalen parallelen Strahlen durch K. affine Systeme. Dabei ist x die Affinitätsachse, y giebt die Affinitätsrichtung und die Abstände affiner Punkte, wie Po und P%, von x verhalten sich wie FS: GS.

936. Die Lichtgleichen der Paraboloide. Will man die Lichtgleichen des elliptischen Paraboloides finden (Fig. 599), so

Fig. 599.

lege man durch K einen Lichtstrahl l und in der Vertikalebene l / durch l ziehe man durch K. Strahlen, die mit l Winkel einschließen, deren Cosinus die Werte 0, '/', '', '', “% und 1 aufweisen. In der Figur ist die Ebene ll" um l“ umgelegt, l, = LK, ist der umgelegte Lichtstrahl (SK, = 2 SG) und die umgelegten Strahlen durch K. gehen durch die Punkte 0, 1, 2, 3, 4, L, des Kreises mit dem Radius K„L. Läßt man die genannten Strahlen durch K um den Lichtstrahl l rotieren, so entstehen Kegel, deren Mantellinien parallel sind zu den Normalen in den Punkten der bezüglichen Lichtgleichen. Nach den Resultaten der vorausgehenden Nummer gilt somit der Satz: Die ersten Projektionen der Lichtgleichen des Paraboloides sind Kegelschnitte; sie sind zu den ersten Spurkurven gewisser Rotationskegel mit dem Scheitel K. und der Achse l affin. Die Neigungswinkel der Mantellinien dieser Kegel gegen ihre Achse l gehören den Cosinuswerten 0, /, */, */, */, und 1 zu. Die Achse der erwähnten Affinität ist x, je zwei affine Punkte liegen auf einer Normalen zu x und ihre Abstände von x verhalten sich wie die Brennweiten SF und SG der Hauptparabeln b und a in den Ebenen yz und xz. Es gilt also die ersten Spurkurven der genannten Rotationskegel zu bestimmen; die affine Umwandlung derselben in die Projektionen der Lichtgleichen bedarf keiner weiteren Erörterung. Der Kegel, dessen Mantellinien den Normalen in den Punkten der Lichtgleiche 2 parallel sind, wird von der Ebene l“ in den beiden Geraden K2 geschnitten; auf ihnen liegen die Endpunkte A, B, der einen Achse seiner ersten Spurkurve s, (1 x K2=A, 1x K2=B). Die Kurve s, ist eine Hyperbel, deren imaginäre Achse CD, noch zu finden ist. Die Normalebene E im Punkte L von l schneidet den Kegel in einem Kreise k, den wir als ko um e, in die Grundrißebene umlegen; sein Mittelpunkt ist L und sein Radius gleich dem 2,5-fachen der Strecke H2 (H2 L l“, HK, = 04 - LK). Der Kreis ko und die Hyperbel s, sind perspektiv, e, ist die Achse, e, die Flucht-, e, die Verschwindungslinie und Koo das Centrum der Perspektive (1 x e, = 1, TK, Ll, l“ xe,= V, TKo= TK,= LW, vergl. 174 u. flg). Dem Kreise ko schreibe man in seinen Schnittpunkten mit l“ und er ein Vierseit um, seine Diagonalen gehen nach 268 durch W; ist also P9 eine Ecke des Vierseits, so ist PoW eine Diagonale. Das perspektive Bild dieses Vierseits ist ein Vierseit, das der Hyperbel s, umschrieben ist und von den Tangenten in den Endpunkten A, B, ihrer reellen Achse und ihren Asymptoten gebildet wird. Den Diagonalen jenes Vierseites entsprechen die Parallelen zu A, B, durch die Endpunkte C und D, der imaginären Achse von s. Man suche also Po, schneide PoW mit e, in Q, so ist O,C, = 0, D, = LQ; denn die Gerade VQ besitzt das zu l“ parallele Bild QD. In der Figur ist der Kreis ko mit dem Mittelpunkt L und dem Radius 2,5 - H2 ersetzt durch den Kreis ka mit dem Radius H2 und dem Mittelpunkt M (HM | K„V, also LW=25-MW). Schneiden sich in P% zwei seiner Tangenten, deren Berührungspunkte auf l“ und er liegen, so deckt sich offenbar PV mit PoV, so daß auch PaW auf e, die Strecke LQ (gleich der halben imaginären Achse von s) begrenzt. Die erste Projektion der Lichtgleiche 2 ist eine Hyperbel mit den konjugierten Durchmessern AB“ und C/D" (A“B“ durch S, C/D" x CD, auf x, (0 – 2): (0 – 2)= GS: FS). Die übrigen Lichtgleichen gewinnt man in gleicher Weise, e, und W behalten immer die gleiche Lage, nur PA resp. Po ist für jede Kurve neu zu bestimmen. Die Lichtgleichen 1, 2, 3, 4 projizieren sich im Grundriß als Hyperbeln, die Lichtgleiche 0 als

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Fig. 600.

Gerade und die Lichtgleichen in der Nähe des Lichtpoles 5 als Ellipsen. In der Figur ist noch die Lichtgleiche mit der Helligkeit 4,66 bestimmt. Die Projektionen der Lichtgleichen können auch wie folgt konstruiert werden. Um die Projektion der Lichtgleiche 2 zu gewinnen, zeichne man wie vorher A, B, und die affinen Punkte A', B“. Ferner trage man auf e, die Strecken LU = LW = 25 - H2 = dem Radius des Kreises k auf und suche die affinen Punkte U" und W" auf e’, dann sind WU" und WW“ zwei Tangenten der gesuchten Kurve und U", W“ ihre Berührungspunkte. Die Endpunkte des imaginären Durchmessers C/D" ergeben sich jetzt als die Gleichpunkte einer Involution mit dem Mittelpunkt O'; ein Punktepaar dieser Involution wird von U“ W und einer Parallelen zu A“B“ durch U" ausgeschnitten. Der imaginäre Durchmesser C/D" ist zur punktweisen Konstruktion der Lichtgleichen nicht nötig, ihre Punkte und Tangenten ergeben sich aus dem Satz vom umschriebenen Vierseit (268).

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In Fig. 600 sind die Grund- und Aufrisse der Lichtgleichen des elliptischen Paraboloides eingezeichnet. Die Konstruktion der Lichtgleichen für das hyperbolische Paraboloid ist genau dieselbe wie im Fig. 599, nur liegt dann F" oberhalb x. Daraus folgt der Satz: Besitzen ein elliptisches und ein hyperbolisches Paraboloid den gleichen Hauptschnitt a, während der andere Hauptschnitt bei beiden kongruent, aber entgegengesetzt gerichtet ist, so sind die Grundrisse ihrer Lichtgleichen zu einander symmetrisch in Bezug auf a’. Die Aufrisse der entsprechenden Lichtgleichen beider Flächen schneiden auf den Vertikalen Strecken ab, die von a” halbiert werden.

Regelflächen.

937. Die Lichtgleichen der Regelflächen (Fig. 601). Ist e eine Erzeugende der Regelfläche, so sind alle Ebenen durch e Tangentialebenen; ihre Berührungspunkte auf e bilden eine Punktreihe, die zu dem Büschel der Ebenen projektiv ist (722). Die Konstruktion der Punkte der Lichtgleichen auf der einzelnen Erzeugenden ist der bei der Cylinderfläche ganz analog. Durch einen beliebigen Punkt O der X-Achse ziehen wir einen Lichtstrahl 1, wählen auf ihm einen beliebigen Punkt L und legen durch ihn eine Parallele m zu der Erzeugenden e. Nun legen wir durch O eine Normalebene N zu m – ihre zweite Spur n, durch O ist senkrecht zu m” – zeichnen in ihr um O als Mittelpunkt die Kreise q, . . ., q, deren Radien gleich /, */.., . . ., "%, der Strecke OL sind, und ziehen von G = m × N die Tangenten an diese Kreise. Die Ebenen durch m und je eine dieser Tangenten besitzen die Helligkeiten 1, 2, . . . 5, die Ebene durch m und O die Helligkeit 0. Denn ist t eine solche Tangente und T' ihr Berührungspunkt, so ist OT" die Normale der Ebene mit und es ist zugleich OT" die senkrechte Projektion von OL auf diese Normale; OT" ist aber ein ganzes Vielfaches von OL:5. Zu den genannten Ebenen durch m hat man die Parallelebenen durch e zu legen, durch ihre Berührungspunkte

Fig. 601.

gehen dann die bezüglichen Lichtgleichen hindurch. Diese Berührungspunkte wird man jedoch nicht einzeln bestimmen, vielmehr das folgende Verfahren in Anwendung bringen. Durch die geometrische Definition der Regelfläche sind gewöhnlich in drei Punkten einer jeden Erzeugenden die Tangentialebenen bekannt, oder können leicht angegeben werden. Für die Erzeugende e mögen die Tangentialebenen in P, Q und dem unendlich fernen Punkte R. bekannt und ihre zweiten Spurlinien gezeichnet sein. Die Parallelebenen durch m werden zu ihnen parallele Spuren MA, MB und MC besitzen (A, B, C auf n) und die Ebene N in den Geraden GA, GB und GC schneiden. Nun ziehen wir in der Ebene N eine Hilfsgerade y parallel zu GC, die

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