Vertikalschnittes d, dessen imaginäre Halbachse OC ist. Längs der Hyperbel d wird die Fläche von einem Cylinder berührt, dessen horizontale Mantellinien zu DH senkrecht sind. Sein Normalschnitt n ist eine Hyperbel mit OC als imaginärer und ON als reeller Halbachse (ON|| DH, DN DH). Jetzt trage man auf dem Lichtstrahl durch eine beliebige Strecke OL auf, fälle das Lot OM auf die Ebene N (durch n) und zeichne in N die Kreise 91, 2,..., deren Radien 1, 2, ... der Strecke OL betragen. Weiter ziehe man aus M die Tangenten an die Kreise q; und hierzu die parallelen Tangenten an die Hyperbel n. Sie berühren dieselbe in Punkten der Lichtgleichen des Cylinders, und vermöge der Affinität zwischen n und d (Affinitätsachse OC) entsprechen ihnen auf d die Punkte der Lichtgleichen des Hyperboloides.

=

0

Bei der Durchführung der Konstruktion drehe man die Ebene N mit der Hyperbeln und den Kreisen q, in den Aufriß, dabei gelangt M nach M° (OM' = GMo), und benutze die Affinität zwischen den Hyperbeln no und b (Affinitätsachse OC), wo b den in der Aufrißebene liegenden Hauptschnitt des Hyperboloides bedeutet. Bei dieser affinen Beziehung entspricht dem Punkte M° der Punkt M, (GM1: GM° OA: ON, M°M || x). Von M° aus ziehe man die Tangenten an die Kreise q;, z. B. MoR an q1° (R anf OC), und von M1 aus Strahlen nach den Schnittpunkten dieser Tangenten mit OC, z. B. MR. Die Punkte von b, deren Tangenten zu jenen Strahlen durch M1 parallel sind, sind dann zu den gesuchten Punkten der Lichtgleichen auf d affin und auch affin zu den zweiten Projektionen dieser Punkte auf d" (Affinitätsachse OC). Um auf b die Punkte zu finden, deren Tangenten zu den Strahlen durch M, parallel sind, bestimme man den Punkt M, so, daß M1M2 der einen Asymptote i von b parallel ist und von der anderen j halbiert wird. Ist nun MR ein beliebiger Strahl und wird er von j in S geschnitten, so trägt der zu MS parallele Durchmesser die Punkte P, und Q von b, deren Tangenten zu M, R parallel laufen. Denn die zu SM, und SM, parallelen Durchmesser von b sind konjugiert, da sie, wie leicht ersichtlich, zu den Asymptoten i und j harmonisch liegen. Die zu P, Q, affinen Punkte P" und Q" (P,P" ||x, P14 × P"D" auf OC) sind die zweiten Projektionen der auf d liegenden Punkte der Lichtgleiche 1.

0

Sonach hat man Mo, M1 und M2 zu suchen, aus Mo die Tangenten an die Kreise qo zu legen, durch M1 Strahlen nach ihren Schnittpunkten mit OC und durch M2 Strahlen zu ziehen, die sich mit jenen Strahlen auf j schneiden. Die zu den Strahlen durch M

parallelen Durchmesser schneiden dann die Hyperbel b in Punkten, zu denen man noch die affinen Punkte zu zeichnen hat, wobei OC die Achse und A, D" ein Paar entsprechender Punkte dieser affinen Beziehung sind. Sie stellen die zweiten Projektionen der Schnitt

punkte der Lichtgleichen des Hyperboloides mit dem Vertikalschnitt d dar, ihre Grundrisse liegen auf der Geraden d'.

In Fig. 597 sind die Lichtgleichen eines einschaligen Hyperboloides, soweit sie sichtbar sind, gezeichnet; die unsichtbaren sind, wie beim Ellipsoide, zu den sichtbaren symmetrisch.

Bei der Konstruktion der Lichtgleichen des zweischaligen Hyperboloides kann ganz wie beim einschaligen verfahren werden.

Es sind dann OA und OB die imaginären Halbachsen einer imaginären Kurve, das ändert jedoch die Konstruktion in keiner Weise. Nur die Hyperbel b hat eine andere Lage, indem ОA ihre imaginäre und OC ihre reelle Halbachse ist.

935. Bevor wir die Lichtgleichen auf dem Paraboloide bestimmen, lösen wir folgende Aufgabe. Auf einem Paraboloide den Punkt zu finden, dessen Normale eine gegebene Richtung besitzt. Sei z die vertikal gestellte Achse eines elliptischen Paraboloides und S sein Scheitel, seien ferner a und b die beiden Hauptschnitte und r und y ihre Tangenten im Scheitel. Wir legen dann die Grundrißebene durch xy, die Aufrißebene durch xz und die Seitenriẞebene durch yz (Fig. 598). Das Paraboloid kann entweder dadurch erzeugt werden, daß die Parabel a parallel mit sich selbst verschoben wird, während ihr Scheitel auf der Parabel b bleibt, oder dadurch, daß die Parabel b parallel mit sich selbst verschoben wird, während ihr Scheitel auf der Parabel a bleibt. Durch jeden Punkt P der Fläche geht somit eine zu a kongruente Parabel u und eine zub kongruente Parabel v; der Scheitel der ersteren mag in R auf b, der der letzteren in Q auf a liegen. Die Tangente von u in P ist parallel zur Tangente QQ1 im Punkte von a, wobei Q1 auf der Mittelpunkt von SQ' ist; ebenso ist die Tangente von v in P parallel zur Tangente RR1 im Punkte R von b, wobei R1 auf y der Mittelpunkt von SR' ist. Die Normale n im Punkte P steht auf den genannten Tangenten senkrecht, also ist n" QQ1 und N RR,, oder falls G und F die Brennpunkte der Parabeln a und b sind, ist n" || GQ1 und n''' || FR1. Sind also

R'

R

K

Ꮖ

a

die Richtungen von n"

und n"" gegeben, so

Fig. 598.

=

(Q'auf

trage man auf die z-Achse die doppelten Brennweiten KS 2 GS = und JS 2 FS auf und ziehe KQ'n" und JR' || n" (Q' auf x, R' auf y). Dann schneiden sich in P' die Geraden P'Q' (y) und P'R' (x) zugleich ist P'P Q'Q+R'R. Zieht man durch K eine Parallele zu n, so schneidet sie P'Q' in P1, und es ist P'Q': P1Q' = JS: KS FS: GS. Demnach bilden die ersten Projektionen der

=

=

Flächenpunkte und die ersten Spurpunkte der zu den Flächennormalen parallelen Strahlen durch K affine Systeme. Dabei ist x die Affinitätsachse, y giebt die Affinitätsrichtung und die Abstände affiner Punkte, wie P' und P1, von x verhalten sich wie FS: GS. 936. Die Lichtgleichen der Paraboloide. Will man die Lichtgleichen des elliptischen Paraboloides finden (Fig. 599), so

=

Fig. 599.

5

lege man durch K einen Lichtstrahl 7 und in der Vertikalebene 7/ durch 7 ziehe man durch K Strahlen, die mit 7 Winkel einschließen, deren Cosinus die Werte 0, 1, 2, 3, 4 und 1 aufweisen. In der Figur ist die Ebene l'um l' umgelegt, = LK, ist der umgelegte Lichtstrahl (SK 2 SG) und die umgelegten Strahlen durch K gehen durch die Punkte 0, 1, 2, 3, 4, L des Kreises mit dem Radius KL. Läßt man die genannten Strahlen durch K um den Lichtstrahl rotieren, so entstehen Kegel, deren Mantellinien parallel sind zu den Normalen in den Punkten der bezüglichen Lichtgleichen. Nach den Resultaten der vorausgehenden Nummer gilt somit der Satz: Die ersten Projektionen der Lichtgleichen des Paraboloides sind Kegelschnitte; sie sind zu

den ersten Spurkurven gewisser Rotationskegel mit dem Scheitel K und der Achse affin. Die Neigungswinkel der Mantellinien dieser Kegel gegen ihre Achse 7 gehören den Cosinuswerten 0, 1, 25, 35, 5 und 1 zu. Die Achse der erwähnten Affinität ist x, je zwei affine Punkte liegen auf einer Normalen zu x und ihre Abstände von x verhalten sich wie die Brennweiten SF und SG der Hauptparabeln und a in den Ebenen yz und xz.

Es gilt also die ersten Spurkurven der genannten Rotationskegel zu bestimmen; die affine Umwandlung derselben in die Projektionen der Lichtgleichen bedarf keiner weiteren Erörterung. Der Kegel, dessen Mantellinien den Normalen in den Punkten der Lichtgleiche 2 parallel sind, wird von der Ebene l' in den beiden Geraden K2 geschnitten; auf ihnen liegen die Endpunkte 41, B1 der einen Achse seiner ersten Spurkurve s1 (l' × K ̧2 = A1, l' × K2=B1). Die Kurve s ist eine Hyperbel, deren imaginäre Achse CD, noch zu finden ist. Die Normalebene E im Punkte L von schneidet den Kegel in einem Kreise k, den wir als ko um e, in die Grundrißebene umlegen; sein Mittelpunkt ist Z und sein Radius gleich dem 2,5-fachen der Strecke H2 (H2 | l', HK = 0,4 LK). Der | Kreis o und die Hyperbel s1 sind perspektiv, e1 ist die Achse, e die Flucht-, e, die Verschwindungslinie und Ko das Centrum der Perspektive (l' × e。 = 1, TK 1, l' xe, = V, TK° = TK1 = LV, vergl. 174 u. flg.). Dem Kreise k° schreibe man in seinen Schnittpunkten mit l' und e, ein Vierseit um, seine Diagonalen gehen nach 268 durch V; ist also Po eine Ecke des Vierseits, so ist Po eine Diagonale. Das perspektive Bild dieses Vierseits ist ein Vierseit, das der Hyperbel s1 umschrieben ist und von den Tangenten in den Endpunkten 1, B1 ihrer reellen Achse und ihren Asymptoten gebildet wird. Den Diagonalen jenes Vierseites entsprechen die Parallelen zu B1 durch die Endpunkte C1 und D1 der imaginären Achse von s1. Man suche also Po, schneide P°V mit e, in Q, so ist 0 C = 0 D LQ; denn die Gerade Q besitzt das zu l' parallele Bild QD1. In der Figur ist der Kreis ko mit dem Mittelpunkt L und dem Radius 2,5 H2 ersetzt durch den Kreis k mit dem Radius H2 und dem Mittelpunkt MA (HMA || KV, also LV= 2,5 M1V). Schneiden sich in P zwei seiner Tangenten, deren Berührungspunkte auf l'und e liegen, so deckt sich offenbar PV mit PoV, so daß auch PV auf e1 die Strecke LQ (gleich der halben imaginären Achse von s1) begrenzt. Die erste Projektion der Lichtgleiche 2 ist eine Hyperbel mit den konjugierten Durchmessern A'B' und C'D' (A'B' durch S, C'D' x C,D, auf x, (O̟1 − x): (O' − x) = GS: FS).

1

=

1

Δ