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933. In Fig. 595 sind die Lichtgleichen eines Ellipsoides im Grund- und Aufriß dargestellt, soweit sie sichtbar sind. Da je zwei einander diametral gegenüberliegende Punkte des Ellipsoides parallele Tangentialebenen aufweisen, verwandeln sich die zweiten Projektionen der sichtbaren Lichtgleichen in die der unsichtbaren

durch Drehung des Aufrisses um 180° um den Mittelpunkt des Umrisses. Gleiches gilt für den Grundriß. Die Lichtpole liegen auf demjenigen Schnitt durch die vertikale Achse, dessen konjugierter Durchmesser zu l“ normal ist. Für die Lichtgleichen der Flächen 2. Grades kann noch folgende Definition gegeben werden. Jede Lichtgleiche einer Fläche 2. Grades ist der Ort der Berührungspunkte aller Tangentialebenen, die zu denen eines Lichtstufenkegels von gleicher Helligkeit parallel sind. Jede Lichtgleiche einer Fläche 2. Grades ist von der 4. Ord, d. h. sie wird von jeder die Fläche 2. Grades in einem Kegelschnitt und die Tangentialebenen in seinen Punkten umhüllen einen Kegel. Wählt man den Scheitel dieses Kegels zugleich zum Scheitel des Lichtstufenkegels, der der Helligkeit der gesuchten Lichtgleiche entspricht, so besitzen beide Kegel vier gemeinsame Tangentialebenen (die freilich paarweise imaginär werden können); sie berühren die Fläche 2. Grades in vier Punkten der betreffenden Lichtgleiche. Noch mag bemerkt werden, daß die Tangentialebenen in den Punkten jeder Lichtgleiche eine abwickelbare Fläche 4. Klasse umhüllen, die den unendlich fernen Kegelschnitt des bezüglichen Lichtstufenkegels zur Doppelkurve hat (713). 934. Die Lichtgleichen des einschaligen Hyperboloides (Fig. 596). Sei OC die vertikale imaginäre Achse und seien OA

Ebene in vier Punkten geschnitten. Jede Ebene schneidet nämlich ROHN u. PAPPERITZ. II. 33

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und OB die horizontalen reellen Achsen. So verfahre man zunächst ganz wie beim Ellipsoid. Man ziehe durch O einen beliebigen horizontalen Strahl und bestimme auf ihm drei Punkte J, K, H derart, dass OJ = OB, OK = OA und OH = OB OA ist. Dann ist OD ein Halbmesser der Kehlellipse c des Hyperboloides, wenn JD|r und KD L x ist; zugleich bildet er die reelle Halbachse eines Vertikalschnittes d, dessen imaginäre Halbachse OC ist. Längs der Hyperbel d wird die Fläche von einem Cylinder berührt, dessen horizontale Mantellinien zu DH senkrecht sind. Sein Normalschnitt n ist eine Hyperbel mit OC als imaginärer und OMV als reeller Halbachse (ON | DH, DN L DH). Jetzt trage man auf dem Lichtstrahl durch O eine beliebige Strecke OL auf, fälle das Lot OM auf die Ebene N (durch n) und zeichne in N die Kreise q, q, . . ., deren Radien ", */.., . . . der Strecke OL betragen. Weiter ziehe man aus M. die Tangenten an die Kreise q, und hierzu die parallelen Tangenten an die Hyperbel n. Sie berühren dieselbe in Punkten der Lichtgleichen des Cylinders, und vermöge der Affinität zwischen n und d (Affinitätsachse OC) entsprechen ihnen auf d die Punkte der Lichtgleichen des Hyperboloides. Bei der Durchführung der Konstruktion drehe man die Ebene N mit der Hyperbel in und den Kreisen q, in den Aufriß, dabei gelangt M nach M" (OM" = GM"), und benutze die Affinität zwischen den Hyperbeln n' und b (Affinitätsachse OC), wo b den in der Aufrißebene liegenden Hauptschnitt des Hyperboloides bedeutet. Bei dieser affinen Beziehung entspricht dem Punkte M9 der Punkt M. (GM: GM" = OA: ON, M'M |2). Von M9 aus ziehe man die Tangenten an die Kreise q", z. B. M’R an q,9 (R anf OC), und von M. aus Strahlen nach den Schnittpunkten dieser Tangenten mit OC, z. B. MR. Die Punkte von b, deren Tangenten zu jenen Strahlen durch M, parallel sind, sind dann zu den gesuchten Punkten der Lichtgleichen auf d affin und auch affin zu den zweiten Projektionen dieser Punkte auf d’“ (Affinitätsachse OC). Um auf b die Punkte zu finden, deren Tangenten zu den Strahlen durch M, parallel sind, bestimme man den Punkt M so, daß MM, der einen Asymptote von b parallel ist und von der anderen j halbiert wird. Ist nun MR ein beliebiger Strahl und wird er von j in S geschnitten, so trägt der zu MS parallele Durchmesser die Punkte P% und Q, von b, deren Tangenten zu MR parallel laufen. Denn die zu SM, und SM, parallelen Durchmesser von b sind konjugiert, da sie, wie leicht ersichtlich, zu den Asymptoten i und j harmonisch liegen. Die zu P%, Q, affinen Punkte P” und Q“ (PP“|x, PA x P“D" auf OC) sind die zweiten Projektionen der auf d liegenden Punkte der Lichtgleiche 1. Sonach hat man M', M. und M. zu suchen, aus M" die Tangenten an die Kreise q" zu legen, durch M. Strahlen nach ihren Schnittpunkten mit OC und durch M., Strahlen zu ziehen, die sich mit jenen Strahlen auf j schneiden. Die zu den Strahlen durch M.,

parallelen Durchmesser schneiden dann die Hyperbel b in Punkten, zu denen man noch die affinen Punkte zu zeichnen hat, wobei OC die Achse und A, D“ ein Paar entsprechender Punkte dieser affinen Beziehung sind. Sie stellen die zweiten Projektionen der Schnitt

Fig. 597.

punkte der Lichtgleichen des Hyperboloides mit dem Vertikalschnitt d dar, ihre Grundrisse liegen auf der Geraden d'. In Fig. 597 sind die Lichtgleichen eines einschaligen Hyperboloides, soweit sie sichtbar sind, gezeichnet; die unsichtbaren sind, wie beim Ellipsoide, zu den sichtbaren symmetrisch. Bei der Konstruktion der Lichtgleichen des zweischaligen Hyperboloides kann ganz wie beim einschaligen verfahren werden. Es sind dann OA und OB die imaginären Halbachsen einer imaginären Kurve, das ändert jedoch die Konstruktion in keiner Weise. Nur die Hyperbel b hat eine andere Lage, indem OA ihre imaginäre und OC ihre reelle Halbachse ist. 935. Bevor wir die Lichtgleichen auf dem Paraboloide bestimmen, lösen wir folgende Aufgabe. Auf einem Paraboloide den Punkt zu finden, dessen Normale eine gegebene Richtung besitzt. Sei z die vertikal gestellte Achse eines elliptischen Paraboloides und S sein Scheitel, seien ferner a und b die beiden Hauptschnitte und x und y ihre Tangenten im Scheitel. Wir legen dann die Grundrißebene durch xy, die Aufrißebene durch xz und die Seitenrißebene durch yz (Fig. 598). Das Paraboloid kann entweder dadurch erzeugt werden, daß die Parabel a parallel mit sich selbst verschoben wird, während ihr Scheitel auf der Parabel b bleibt, oder dadurch, daß die Parabel b parallel mit sich selbst verschoben wird, während ihr Scheitel auf der Parabel a bleibt. Durch jeden Punkt P der Fläche geht somit eine zu a kongruente Parabel u und eine zu b kongruente Parabel v; der Scheitel der ersteren mag in R auf b, der der letzteren in Q auf a liegen. Die Tangente von u in P ist parallel zur Tangente QQ, im Punkte Q von a, wobei Q% auf r der Mittelpunkt von SQ“ ist; ebenso ist die Tangente von v in P parallel zur Tangente RR, im Punkte R von b, wobei R, auf y der Mittelpunkt von SR“ ist. Die Normale n im Punkte P steht auf den genannten Tangenten senkrecht, also ist n“ L QQ, und n" L RR, oder falls G und F" die Brennpunkte der Parabeln a und b sind, ist n” | GQ, und n“| FR. Sind also die Richtungen von n” und n“ gegeben, so trage man auf die z-Achse die doppelten Brennweiten KS = 2 GS und JS = 2 FS auf und ziehe KQ“|n“ und JR“|n“ (Q“ auf , R“ auf y). Dann schneiden sich in Po die Geraden PQ" (II) und P"R“ (| x) zugleich ist PoP = Q/Q – R“R. Zieht man durch K. eine Parallele zu n, so schneidet sie PQ" in P%, und es ist PQ": P. Q" = JS: KS = FS: GS. Demnach bilden die ersten Projektionen der

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Fig. 598.

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