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Durchläuft ein Punkt die Lichtgleiche 1 in einem bestimmten Sinne, etwa im Sinne der an die Kurve angefügten Pfeile, so dreht sich die ihn enthaltende Erzeugende nicht immer in dem gleichen Sinne um die Schraubenachse, vielmehr kehrt sie zweimal ihren Drehsinn um. Es giebt unter den Erzeugenden zwei, welche die Lichtgleiche 1 berühren. Um dies zu erkennen, wenden wir uns zu der Figur 592 zurück. Beschreibt die Erzeugende e die Schraubenfläche, so beschreibt der Punkt UA den Parameterkreis p und der Punkt. Wo eine zu ihm perspektive Hyperbel. Im allgemeinen giebt es von jedem Punkte der Hyperbel zwei Tangenten an den Kreis q,", und somit liegen auf der entsprechenden Erzeugenden zwei getrennte Punkte der Lichtgleiche 1. In jedem der beiden Schnittpunkte der Hyperbel mit q,9 existiert jedoch nur eine Tangente, weshalb sich auf den beiden entsprechenden Erzeugenden je ein Berührungspunkt mit der Lichtgleiche ergiebt. Den innerhalb q," liegenden Punkten der Hyperbel entsprechen Erzeugende, welche keine Punkte der Lichtgleiche 1 enthalten. In gleicher Weise verhält es sich mit den Lichtgleichen 2, 3 und 4, die ebenfalls je zwei Erzeugende tangieren.

Es muß hierzu noch bemerkt werden, daß die Lichtgleichen in der Nähe der Lichtgleiche 0 jede Erzeugende in zwei getrennten Punkten treffen und aus je zwei getrennten Zügen bestehen. Die Lichtgleiche, deren erste Projektion l“ in A berührt, bildet den Übergang zwischen den Lichtgleichen mit und ohne berührende Erzeugende. Ferner zerfallen die in der Nähe der Lichtpole 5 liegenden Lichtgleichen in zwei getrennte Züge, deren jeder zwei Erzeugende tangiert. Es rührt das daher, daß der Grundkreis q, des zugehörigen Lichtstufenkegels die vorhin genannte Hyperbel viermal schneidet (vergl. 930).

Die Tangentialebenen in den beiden Lichtpolen sind zur Lichtrichtung normal. Nach 930 besitzt die Normalebene im Punkte S von l eine Spur, die durch eine Drehung von 909 um A in die Lage n, übergeht und die Projektionen der beiden Lichtpole trägt. Die Erzeugenden durch diese Lichtpole sind zu den Strahlen AK, resp. AZ, normal (F,=p × n„, Z„=p × n„).

Flächen 2. Grades.

932. Die Lichtgleichen des Ellipsoides (Fig. 594). Um die Lichtgleichen beim Ellipsoid, beim ein- oder zweischaligen Hyperpoloid zu finden, wenn eine der drei Achsen vertikal steht, legen wir Vertikalschnitte durch die vertikale Achse und bestimmen auf ihnen die Punkte der Lichtgleichen. Zu diesem Zwecke benutzen wir die Cylinderflächen, welche die Fläche 2. Grades längs der Vertikalschnitte berühren. Beim Ellipsoid gestaltet sich die Konstruktion in der folgenden Weise. Es seien OA, OB, OC die drei Halbachsen des Ellipsoides; die Grundrißebene enthalte die Ellipse c

Fig. 594.

mit den Halbachsen OA und OB und die Aufrißebene die Ellipse b mit den Halbachsen OA und OC. Im Grundriß schlage man um O drei Kreise mit den Radien OB, OA und OB OA. Schneidet ein beliebiger Strahl durch O diese drei Kreise in den Punkten J, K und H., so ist OD ein Halbmesser der Ellipse c, wenn JD | x und KD L x ist, und DH ist ihre Normale im Punkte D. (415). Längs des Vertikalschnittes d mit den Halbachsen OC und OD wird die Fläche von einem Cylinder berührt, dessen Normalschnitt in die Halbachsen OC und OMV besitzt, wobei ON|DH und DNL DH ist. Denn die Mantellinien dieses Cylinders sind zu DN parallel. Jetzt gilt es auf der Ellipse in die Punkte der Lichtgleichen des Cylinders zu finden, was ganz wie in 926 Fig. 588 durchgeführt werden kann. Man ziehe den Lichtstrahl l durch O, trage auf ihm eine beliebige Strecke OL auf und fälle auf die Ebene N der Ellipse in das Lot LM. Nun schlage man in der Ebene N um O die Kreise q, . . ., q, deren Radien gleich ", " , ", *%, 7%, der Strecke OL (= OL) sind und ziehe aus M die Tangenten an sie, dann berühren die parallelen Tangenten an die Ellipse in diese Kurve in den gesuchten Punkten der Lichtgleichen des Cylinders. Zur genauen Konstruktion dieser Punkte benutzen wir die Affinität der Ellipsen n, d und des Kreises k, der in der Aufrißebene mit dem Radius OC um O beschrieben ist. Die gemeinsame Affinitätsachse ist OC, während ihre in der Grundrißebene liegenden Halbachsen ON, OD und OE affine Strecken sind. Wir drehen die Ebene N mit den Kreisen q, um OC in die Aufrißebene, wobei M nach M9 gelangt (L"M" 2, GM" = OM), und legen aus M9 die Tangenten an die Kreise q", z. B. M’R an q,9 (R auf OC). In der affinen Beziehung zwischen der Ellipse n' und dem Kreise k entspricht dem Punkte Moder Punkt M (M'M |x, GM: GM" OE: OM). Den Strahlen aus M" entsprechen hierbei die Strahlen aus M, z. B. M’R und MR, und den Berührungspunkten der Tangenten von n', die zu ersteren parallel sind, die Endpunkte der Kreisdurchmesser von k, die auf letzteren senkrecht stehen. So entsprechen den Endpunkten des zu M, R senkrechten Durchmessers P, Q, zwei Punkte P'o und Q9 auf n', deren Tangenten zu M'R parallel sind. Folglich entsprechen in der affinen Beziehung zwischen k und in den Punkten Po und Q, die Punkte P., und Q, auf n mit zu MR parallelen Tangenten, d. h. Po, und Q, gehören der Lichtgleiche 1 des Cylinders an. In der Affinität zwischen in und d entsprechen den Punkten Po und Q, von in die Punkte Po und Q von d, die auf der Lichtgleiche 1 des Ellipsoides liegen. Die Affinität zwischen k und d leitet direkt von den Punkten P, Q, zu den Punkten P, Q auf d über (PP“ Lx, PP |ED, P" auf d, P„P“|x, PP“ L 2). Nach der Bestimmung von M. und M. sind zur Konstruktion der Punkte der Lichtgleichen sonach folgende Schritte zu thun. Man lege aus Moo die Tangenten an die Kreise q" und aus M, die Strahlen nach ihren Schnittpunkten mit OC. Sodann zeichne man die Durchmesser des Kreises k, welche auf diesen Strahlen senkrecht stehen, und suche zu ihren Endpunkten die entsprechenden Punkte auf d vermöge der Affinität zwischen k und d; diese stellen die Punkte der Lichtgleichen auf d dar.

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