jugierte Durchmesser paarweise parallel sind, die also ähnlich und in ähnlicher Lage sind. Es läßt sich indes auch leicht direkt zeigen, daß beide Kegel von den zu ▲ parallelen Ebenen in Ellipsen geschnitten werden, deren Achsenverhältnisse einander gleich sind. Wird nämlich EF, durch I und K und EG1 durch H und Z harmonisch geteilt, so ist: und 3 1 HF: HE2 = KF : KE, 3 3 HG1: HE1 = LG1: LE1. 3 3 3 2 Die Parallele zu HJ durch K schneide PE, und PF, in R und S, die Parallele zu HJ durch L schneide PE, und PG1 in U und V; die Normale in K zu П2 treffe den Basiskreis des Kegels mit dem Durchmesser ЕF in T, die Normale in Z zu П1⁄2 den Basiskreis des zweiten Kegels mit dem Durchmesser EG, in W. Dann liegen auf den beiden Kegeln die Ellipsen mit den Mittelpunkten K resp. I und den Halbachsen KR KS und KT, resp. LU LV und LW. Nun ist: KS: KF HP: HF3, und: also: = 3 = KR: KE HP: HE, (KR)2 : KE ̧· KF2 = (HP)2: HE ̧· HF ̧· Ganz analog ergiebt sich: 3 3 und da HE, HF, HE, HG, ist (als Potenz von H in Bezug auf k), so folgt: (KR): (LU)2 = KE2. KF3: LE LG1 (KT)2: (LW)2, was unsere Behauptung erweist. Die Parallelebenen zu ▲ schneiden die beiden Hyperboloide in ähnlichen Ellipsen, die sich in einem Punkte von e berühren, der das Ähnlichkeitscentrum bildet. Die Ebene ▲ selbst schneidet die Hyperboloide in Ellipsen, deren kleine Halbachsen PM resp. PN und deren große Halbachsen CM resp. DN sind (C = HJ x m, D= HJ x n, PM: PN = CM: DN). Auch die ersten Projektionen dieser Ellipsen, die in die Figur eingezeichnet sind, sind ähnlich. Cyklische Linien und Schraubenlinien. 562. Bewegt sich eine ebene Kurve k in ihrer Ebene, indem sie sich auf eine zweite Kurve / stützt, d. h. so, daß sie diese fortwährend berührt und legt der Berührungspunkt (Stützpunkt) auf beiden Kurven gleiche Weglängen zurück, so sagt man: die bewegliche Kurve k rollt auf der festen Kurve . Die Bahn irgend eines fest mit der rollenden Kurve k verbundenen Punktes heißt eine Rolllinie. M M t -m K' Für einen bestimmten Augenblick der Bewegung seien die Punkte K und L beider Kurven im Stützpunkte vereint und M sei die Lage des die Rolllinie m beschreibenden Punktes. Man erhält eine neue Lage M desselben, wenn man auf k und in gleichem Sinne gleiche Bogenlängen KK, und LL1 abträgt, in ihren Endpunkten die Tangenten K1K' und LL' zieht und ▲ L'L11 =LK'KM, sowie L1M K1M macht (Fig. 361). = k. Ki K Fig. 361. 563. Ist MM, ein unendlich kleines Element der Rolllinie, so kann man den Übergang von M in M, als Drehung um den Stützpunkt Lauffassen: I bildet den augenblicklichen Drehpunkt (Momentancentrum, Pol) = L12,... betrachtet (Fig. 362). Fällt zuerst K mit L zusammen, so wird darauf K1 mit L1 durch Drehung des beweglichen Polygones um I vereinigt, dann K, mit L2 durch Drehung um L1, u. s. f. Der Unterschied zwischen der geschilderten Bewegung und der zu untersuchenden verschwindet, wenn die Polygonseiten unendlich klein werden, wobei als Grenzgestalten der Polygone sich die Kurven k und l ergeben. Die Gerade LM stellt die Normale der Rolllinie m im Punkte M dar, denn als Verbindungslinie des Drehpunktes mit dem be schreibenden Punkte steht sie senkrecht auf dessen augenblicklicher Bewegungsrichtung oder auf der Kurventangente. Hiernach kann. die Tangentet der Rolllinie im Punkte M sofort gezeichnet werden. 564. Es verdient bemerkt zu werden, daß der Begriff des Momentancentrums in der Kinematik dazu dient, jede beliebige Bewegung einer starren Figur in der Ebene durch eine rollende Bewegung zu erklären. Aus den für einen bestimmten Moment geltenden Positionen P und Q zweier Punkte der bewegten Figur und ihren augenblicklichen Bewegungsrichtungen bestimmt sich der augenblickliche Drehpunkt als Schnitt der durch P und Q normal zu ihren Bewegungsrichtungen gezogenen Geraden. Er ändert im Laufe der Bewegung im allgemeinen seine Lage. Sein geometrischer Ort bildet demnach in der festen Ebene eine Kurve l, die Polbahn, in einer mit F verbundenen beweglichen Ebene aber eine R 1 wo M und N1 die von M und N erreichten Nachbarlagen bedeuten. Dabei fällt auf die zu OL benachbarte Normale OL1 der Leitkurve 7, und die Normale LM der Rolllinie geht in die Nachbar 1 = normale L11 über, die mit der vorigen das Krümmungscentrum P und den Kontingenzwinkel μMPM, bestimmt. Setzt man noch v = ▲ LML1, so folgt für die eingeführten unendlich kleinen Winkel die Beziehung: Ist ferner L die senkrechte Projektion von L1 auf die durch L normal zu LM gezogene Gerade, so kann LL, als das gemeinsame Element der mit den Radien LM und PL um Mund P geschlagenen Kreise betrachtet werden und man hat: Aus der Verbindung der Relationen 1), 2) und 3) LL PL μ: LM. v= = LL1 cos α, gesetzt wird. folgt: 4) Wird LL von MN in Q geschnitten, so trifft OQ die Gerade ML in dem durch diese Relation bestimmten Punkte P; denn zieht man durch ihn die Parallele zu ON, die auf LQ und NQ die Punkte Rund S bestimmt, so folgt zuerst: Die Multiplikation der letzten drei Gleichungen ergiebt aber die Bedingung 4); daher die Konstruktion: Sind N und O die Krümmungscentra der Kurven k und 7 im Stützpunkte L, so erhält man das Krümmungscentrum P der von M beschriebenen Rolllinie m, indem man MN mit der Normalen zu LM durch Z im Punkte Q und OQ mit LM in P schneidet. Verändert M seine Lage auf LM, so bewegt sich auf LQ und P auf LM so, daß die Reihe der M mit der Reihe der Q aus dem Centrum N und diese mit der Reihe der P aus O perspektiv liegt. Also sind die Reihen der M und der P projektiv. 566. Fällt der die Rolllinie beschreibende Punkt auf die Stützpunktnormale NO, z. B. nach M (Fig. 364), so bedarf die Konstruktion einer Abänderung. Der zu M, gehörige Krümmungsmittelpunkt P ist (da hier a = 0 zu nehmen ist) durch die Relation: bestimmt und wird folgendermaßen indirekt gefunden. Ist M die senkrechte Projektion von M auf eine durch L unter dem beliebigen in die zuletzt erwähnte Beziehung über. Zu irgend einem Punkte M1 auf NO erhält man jetzt jetzt den Krümmungsmittelpunkt P1 am einfachsten, wenn man MM, mit ZQ in Q1 und QP mit NO in P, schneidet. Denn die Punktreihen LNMM, und LOPP, sind dann bezw. aus den Centren M und P zu einer und derselben Punktreihe LQQQ, perspektiv, wobei Q, den unendlich fernen Punkt bezeichnet. 0 567. Die oben gemachte Bemerkung führt uns aber noch weiter; sie beweist nämlich den Satz: Rollt die Kurve k auf der festen Kurve / und ist L der augenblickliche Stützpunkt, so beschreiben alle Punkte M eines Kreises (m), der in L berührt, Rolllinien, deren Krümmungsmittelpunkte P auf einem zweiten solchen Kreise (p) liegen. Die Verbindungslinien zusammengehöriger Punkte Mund P gehen durch den Stützpunkt L. Im einzelnen zeigt sich folgendes: |