S eine Parallele zur Erzeugenden e, die П, in U und N in V trifft, und legen durch sie die Tangentialebenen an die Lichtstufenkegel. Sei Teine solche Ebene und t, durch U ihre erste Spur; sie schneide die erste Spur n, von N im Punkte Tt, xn. Dann berührt die Gerade VTT X N einen der Kreise q. Ist P auf e der Punkt, dessen Tangentialebene zu T parallel ist, so gehört P der Lichtgleiche an, deren Lichtstufe dem von T berührten Kegel entspricht. Es fragt sich also noch, wie man auf der Erzeugenden e den Punkt P bestimmt, dessen Tangentialebene zu T parallel = Մ = Fig. 592. ist. Legt man durch S eine Parallele zu der Geraden, die im Punkte P die durch ihn verlaufende Schraubenlinie berührt, so muß ihr erster Spurpunkt G1 auf t, liegen. Nach 600 muß aber AG, AP' und AG, AP' sein, und da t1 durch G1 geht, muß die Gerade t nach einer Drehung um 90° um den Punkt A im Sinne der aufwärts gerichteten Schraubenbewegung durch den gesuchten Punkt P' gehen (vergl. 602). Demnach ergiebt sich die folgende Konstruktion für die Punkte der Lichtgleichen auf der Erzeugenden e. Auf dem Lichtstrahl 7 1 * durch S errichte man in seinem ersten Spurpunkte S, die Normalebene N und zeichne in ihr die Grundkreise q, der Lichtstufenkegel, deren Scheitel in S liegen. Sodann ziehe man durch S eine Parallele zur Erzeugenden e und suche ihre Schnittpunkte U und mit den Ebenen П, und N. Weiter lege man von die Tangenten an die Kreise qi und ziehe aus U die Strahlen nach den Schnittpunkten der Tangenten mit der Spur n1 von N. Dreht man zuletzt noch diesen Strahlbüschel mit dem Scheitel U um 90° um den Punkt A im Sinne der aufwärts gerichteten Schraubenbewegung, so schneidet der gedrehte Strahlbüschel die Gerade e' in den ersten Projektionen der gesuchten Punkte. * Es ist nun zweckmäßig, gleich den Lichtstrahl 7 um 90° um die Achse a in dem angegebenen Sinne nach 14 zu drehen (l'^ ___ l'), in dem Spurpunkt SA die Normalebene N4 zu errichten und auch Idie Gerade SUV um 90° zu drehen. Dann ist AU▲ Le' und es liegt U auf dem Parameterkreis p, und zwar ist derselbe als Grundkreis eines Kegels mit der Spitze S und zu den Erzeugenden parallelen Mantellinien definiert. Legt man aus VANA X SUA die Tangenten an die Kreise in N4, so schneiden die Strahlen aus U nach den auf n liegenden Punkten dieser Tangenten die Gerade e' in den gesuchten Punkten. = 1 A Bei der Durchführung der Konstruktion ist nur noch zu beachten, daß die Ebene No4 mit den Kreisen q, um ihre erste Spur na in die Grundrißebene umzulegen ist. Die Ebenen П, und NA sind durch die Strahlen aus S aufeinander perspektiv bezogen und es sind UA und VA perspektive Punkte. Speziell ist n die Fluchtlinie (das Bild aller unendlich fernen Punkte) von NA (AS, 1 l'A, ASO AS, SF SSA, n durch F, n∞ || n1^ | l'^). Legt man S um n nach So um (FSo = FS。, FS° n∞), so ist S° das Centrum der perspektiven Beziehung zwischen П1 und der umgelegten Ebene NA, ihre Achse ist n und ihre Fluchtlinie n (174 u. flg.). Der umgelegte Punkt VAO liegt demnach auf dem Strahle S°UA und bestimmt sich auf diesem, indem man durch UA eine beliebige Gerade zieht und durch ihren Schnittpunkt mit n eine Parallele zu der Verbindungslinie ihres auf n liegenden Punktes mit So legt. Damit können dann die Tangenten aus V40 an die Kreise qo und die Strahlen durch UA gezeichnet werden. M ist der Punkt größter Helligkeit auf e. Derselbe Punkt der Fläche liegt im Licht oder Eigenschatten, je nachdem man die eine oder andere Seite der Schraubenfläche in Betracht zieht. Δ 0 Ist T eine beliebige Ebene durch S und t1 ihre erste Spur, so geht die um 90° gedrehte Gerade t14 durch die Projektion P' des Punktes P, dessen Tangentialebene zu T parallel ist. Die erste Projektion der den Punkt P tragenden Erzeugenden ist normal zu der Geraden, die A mit dem Punkte t14 × p verbindet. Ist T zum Lichtstrahle normal, so gelangt man zu den Lichtpolen der Fläche; ihre Projektionen liegen auf n, und die ersten Projektionen der die Lichtpole tragenden Erzeugenden sind normal zu den beiden Strahlen, die von A nach den Punkten n Xp gchen. 931. Die geschlossene, schiefe Regelschraubenfläche. Die Figuren 593a und 5936 stellen zwei halbe Umgänge der geschlossenen, schiefen Regelschraubenfläche mit ihren Lichtgleichen dar, so daß die Lichtgleichen einer jeden Hälfte im Grund- und Aufriß ihre Fortsetzung auf der anderen Hälfte finden. Die Punkte der Lichtgleichen auf den einzelnen Erzeugenden sind nach der vorigen Nummer-bestimmt, während die Punkte auf den die Fläche begrenzenden Schraubenlinien nach 928 gefunden sind. Zu den einzelnen Lichtgleichen läßt sich noch folgendes bemerken. Die Tangentialebenen in den Punkten der Schraubenachse sind vertikal; die erste Spur einer solchen Ebene ist zugleich die erste Projektion der in ihr liegenden Erzeugenden. Die Ebenen durch die Schraubenachse mit den Helligkeitsstufen 4, 3, 2, 1 oder O sind demnach zu den Tangentialebenen des geraden Kreiscylinders mit den nämlichen Helligkeitsstufen (Fig. 580) parallel. Die Tangenten der ersten Projektionen der Lichtgleichen in dem Spurpunkt A der Schraubenachse sind somit zu den Tangenten des Grundkreises jenes Cylinders in den Punkten von der nämlichen Helligkeit parallel. Zugleich sind jene Tangenten die ersten Projektionen der Erzeugenden, durch deren Achsenpunkt die bezügliche Lichtgleiche hindurchgeht. Da die Tangentialebenen in den unendlich fernen Punkten der Schraubenfläche parallel sind zu denen des Richtungs- oder Asymptotenkegels, dessen Mantellinien zu den Erzeugenden der Fläche parallel laufen, so geben die Lichtgleichen des Kegels die Richtungen an, in denen die Lichtgleichen der Fläche ins Unendliche verlaufen. Die betreffende Konstruktion läßt erkennen, daß die Lichtgleichen 4, 3, 2 und 1 in je zwei Richtungen ins Unendliche verlaufen. Für die Lichtgleiche 1 geben die eingezeichneten Pfeile die Asymptotenrichtungen an; die ganze Kurve besteht aus einem einzigen, zusammenhängenden Zuge, der zweimal durch's Unendliche geht. Die beiden mit a bezeichneten Enden der Lichtgleiche 1 und ebenso die beiden mit b bezeichneten Enden hängen zusammen. Ahnlich verhält es sich mit den Lichtgleichen 2, 3 und 4. |