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Punkt P, so daß P'A || x ist, und ziehe durch S eine Ebene E parallel zur Tangentialebene des Punktes P. Ist e, die erste Spur von E und 4Q das auf sie gefällte Lot, so entsteht durch Rotation von SQ um a ein Kegel mit der Spitze S und dem Grundkreis k, der e1 in Q berührt. Die Tangentialebene der Schraubenfläche in P ist zu der des Kegels in Q parallel, die Flächen besitzen also in beiden Punkten die gleiche Helligkeit. Gelangt P durch Verschraubung um a in

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die Lage P1 und Q durch Rotation um a nach Q1 und ist in beiden Fällen der zugehörige Drehwinkel gleich (a = LP'AP'1 = L QAQ1), so besitzt die Schraubenfläche in P1 auch die gleiche Helligkeit, wie der Kegel im Punkte Q. Denn in beiden Punkten sind die Tangentialebenen parallel, wie man sich unmittelbar klar macht, wenn man die Verschraubung in eine Drehung und Parallelverschiebung zerlegt. Schneidet also eine Lichtgleiche des Kegels den Grundkreis k in Q1, so schneidet die entsprechende Lichtgleiche die Schraubenlinie s in einem Punkte P1, so daß PAQ1 = LP'AQẞ ist. Nun führe man an Stelle des Kegels mit dem

Grundkreis k einen Kegel K mit dem Grundkreis s' ein, dessen Mantellinien denen des andern parallel laufen. Dann schneiden die Lichtgleichen von K den Kreis s' in einer Punktreihe, und diese geht durch Drehung um A um den Winkel = QAP' in der eingezeichneten Pfeilrichtung in eine Punktreihe über, deren Punkte die Projektionen der Schnittpunkte der Schraubenlinie s mit den Lichtgleichen der Schraubenfläche bilden.

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Hat man k gefunden und schneidet l' (durch A) die Kreise k und s' in F und G, so ist SF eine Mantellinie des Kegels mit dem Scheitel S und die dazu parallele Mantellinie des Kegels K geht durch G. Zur Bestimmung der Lichtgleichen von K verfahren wir wie in Fig. 583. Wir legen die Vertikalebene durch den Lichtstrahl 7 um l'um (AS', AS reduzierte Ganghöhe, SS) und erhalten in N auf SA die umgelegte Spitze des Normalenkegels von K (GNIS). Durch N ziehen wir i。 ||, tragen darauf NJNG auf, teilen diese Strecke in fünf gleiche Teile, errichten in den Teilpunkten die Normalen und in ihren Schnittpunkten mit l' die Normalen auf l'. Diese Normalen schneiden auf s' eine Punktreihe aus, die wir noch um den Winkel ẞ drehen; die gedrehte Punktreihe ist die erste Projektion der auf der Schraubenlinie s liegenden Punkte der Lichtgleichen.

Die auf dem zu z parallelen Durchmesser liegenden Punkte P' und R' des Kreises s' projizieren sich in den Aufriß als Punkte, die dem Umriß des Kegels K angehören. Dreht man die Punkte P' und R' um A um den Winkel B, so gehen sie in die ersten Projektionen zweier Punkte der Schraubenlinie s über, deren zweite Projektionen auf dem Umriß der Schraubenfläche liegen. Der Durchmesser l' schneidet den Kreis s', als Grundkreis des Kegels K, in den beiden Punkten der größten Helligkeit H und G. Durch Drehung um den Winkel gehen sie in die ersten Projektionen der beiden auf der Schraubenlinie s liegenden Punkte größter Helligkeit über. Die beiden Ebenen durch die Schraubenachse, von denen die eine auf der Schraubenlinie s die genannten Punkte des Umrisses und die andere die Punkte größter Helligkeit ausschneidet, schließen also den gleichen Winkel ein, wie die Geraden l' und x. Dieses gilt für jede Schraubenlinie der Fläche und wir erschliessen daraus den Satz: Die beiden Kurven des wahren Umrisses der Schraubenfläche und die beiden Maximalkurven m und m, welche die Schraubenlinien der Fläche in den Punkten größter Helligkeit schneiden, sind kongruent. Die letzteren entstehen aus den ersteren durch Verschraubung um den

▲ xl' = ▲ P'AH. Es ist natürlich der wahre Umriß gemeint, der bei der Projektion auf die Aufrißebene sich ergiebt; er besteht selbst aus zwei kongruenten Teilen, die bei einer halben Schraubenbewegung ineinander übergehen. Bei der oben geschilderten Konstruktion werden die Grundrisse der vier kongruenten Kurven mit gewonnen.

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Nimmt man die Kurve c, deren Verschraubung die Fläche erzeugt, in einer Ebene durch die Achse a an und ist t" die Tangente im Punkte P" von c", so hat die Parallele zu t durch S ihren Spurpunkt in T (AS A"S", ST|| t"). Ferner ist U auf s (UA ▲ AP') der Spurpunkt einer Geraden SU, die zur Tangente der Schraubenlinie s im Punkte P parallel läuft. Die Ebene SUT ist sonach parallel zur Tangentialebene im Punkte P der Schraubenfläche und e, UT ist ihre erste Spur.

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Es gilt noch die zweiten Projektionen der auf der Schraubenlinie s liegenden Punkte zu zeichnen, deren erste Projektionen auf s' man kennt. Zu diesem Zwecke schlage man um A mit dem Radius AS, gleich der reduzierten Ganghöhe, einen Kreis y. Dann ist die Differenz der Vertikalabstände zweier Punkte P und P, auf s gleich der Länge des Kreisbogens, den die Strahlen AP′ und AP{' auf dem Kreise y begrenzen. Die Länge dieses Kreisbogens bestimmt sich aber mit Hilfe der Evolvente z des Kreises y, die in Z (auf AP') ihren Anfangspunkt hat; diese Kurve z findet bei allen Schraubenlinien die gleiche Verwendung. In dem Schnittpunkte des Strahles AP mit dem Kreise y lege man an diesen die Tangente, auf ihr schneidet die Evolvente z eine Strecke ab gleich der Differenz (P1′′ − x) — (P′′ − x).

929. Schraubenfläche mit kreisförmigem Meridianschnitt. In Fig. 591 sind die Lichtgleichen einer Schraubenfläche mit vertikaler Achse a dargestellt, deren Meridianschnitt ein Halbkreis k über einem horizontalen Durchmesser BC ist. Während im Grundriß ein ganzer Schraubengang dargestellt ist, giebt der Aufriß wegen Platzmangel nur einen halben Umgang. Die Lichtgleichen, die beiden Maximalkurven und der Umriß sind nach der Methode der vorigen Nummer bestimmt. Die ersten Projektionen der Lichtgleichen berühren die in П, liegenden Umrißkreise in den Punkten, die den bezüglichen Lichtgleichen der durch die Kreise gelegten vertikalen Cylinder angehören. Die Berührungspunkte der zweiten Projektionen der Lichtgleichen mit dem in П, liegenden Umriß ergeben sich aus den Punkten, in denen die ersten Projektionen der Lichtgleichen von der ersten Projektion des Umrisses geschnitten

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wird. Die letztere Kurve geht aus den Maximalkurven m und m durch eine Drehung um den l'x im Drehsinne des Uhrzeigers hervor.

Die Tangentialebenen in den Punkten der Maximalkurve m, d. h. des Ortes der hellsten Punkte der einzelnen Schraubenlinien, stehen auf der Vertikalebene durch den Lichtstrahl senkrecht. Unter diesen Tangentialebenen giebt es nun solche, die zur Lichtrichtung normal sind, ihre Berührungspunkte sind Lichtpole der Fläche von der Helligkeit 5. Sei P ein Lichtpol, s die Schraubenlinie durch ihn, und legen wir zur Tangentialebene in P eine Parallelebene ▲ durch den Punkt S der Achse, wobei AS gleich der reduzierten Ganghöhe ist. Dann steht ihre Spur d1 im Punkte D auf l' senkrecht ( durch S, l' durch A, DS 1) und schneidet s' in einem Punkte E derart, daß SE parallel zur Tangente der Schraubenlinie s im Punkte P ist. Daraus folgt sofort, daß P'A und EA zwei zu einander normale Radien des Kreises s' sind. Drehen wir also AD um 90° im Sinne der aufwärts gerichteten Schraubenbewegung in die Lage ADA, dann schneidet die in D auf AD errichtete Normale die Maximalkurve m in den beiden Lichtpolen.

930. Die Punkte der Lichtgleichen auf den Erzeugenden der Regelschraubenflächen (Fig. 592). Bei den Schraubenflächen, die durch Verschraubung einer geraden Linie entstehen, kann man neben dem vorher geschilderten Verfahren, das die Punkte der Lichtgleichen auf den einzelnen Schraubenlinien bestimmt, ein einfacheres Verfahren anwenden, das die Punkte dieser Kurven auf den einzelnen Erzeugenden liefert. Dadurch wird auch die Konstruktion der zweiten Projektionen der Lichtgleichen aus ihren ersten Projektionen vereinfacht, da man nur die Aufrisse der Erzeugenden zu zeichnen und auf sie die Punkte aus dem Grundriẞ heraufzuloten hat.

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Sei e die Erzeugende einer Regelschraubenfläche, a ihre vertikale Achse und A deren erster Spurpunkt; sei ferner die Strecke AS auf der Achse gleich der reduzierten Ganghöhe, 7 der Lichtstrahl durch S und 8 sein erster Spurpunkt. Durch S legen wir die Normalebene N zum Lichtstrahl und bestimmen in ihr die Grundkreise qi der Lichtstufenkegel ganz wie in 922. Die Radien r dieser Kreise sind Katheten rechtwinkliger Dreiecke, welche die gemeinsame Kathete SS besitzen; ihnen liegen in diesen Dreiecken spitze Winkel gegenüber, deren Sinus die Werte 0, 15, 2/5, 3/5, 4, oder 1 haben (r = 0, r,∞). Jetzt ziehen wir durch

i.

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r5

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