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wird. Die letztere Kurve geht aus den Maximalkurven m und im durch eine Drehung um den Z_ l’ar im Drehsinne des Uhrzeigers hervor. Die Tangentialebenen in den Punkten der Maximalkurve m, d. h. des Ortes der hellsten Punkte der einzelnen Schraubenlinien, stehen auf der Vertikalebene durch den Lichtstrahl senkrecht. Unter diesen Tangentialebenen giebt es nun solche, die zur Lichtrichtung normal sind, ihre Berührungspunkte sind Lichtpole der Fläche von der Helligkeit 5. Sei P ein Lichtpol, s die Schraubenlinie durch ihn, und legen wir zur Tangentialebene in P eine Parallelebene A durch den Punkt S der Achse, wobei AS gleich der reduzierten Ganghöhe ist. Dann steht ihre Spur d im Punkte D auf l“ senkrecht (l durch S, l“ durch A, DS L. l) und schneidet s“ in einem Punkte E derart, daß SE parallel zur Tangente der Schraubenlinie s im Punkte Po ist. Daraus folgt sofort, daß PA und EA zwei zu einander normale Radien des Kreises s” sind. Drehen wir also AD um 90° im Sinne der aufwärts gerichteten Schraubenbewegung in die Lage ADA, dann schneidet die in Da auf A Da errichtete Normale die Maximalkurve m in den beiden Lichtpolen. 930. Die Punkte der Lichtgleichen auf den Erzeugenden der Regelschraubenflächen (Fig. 592). Bei den Schraubenflächen, die durch Verschraubung einer geraden Linie entstehen, kann man neben dem vorher geschilderten Verfahren, das die Punkte der Lichtgleichen auf den einzelnen Schraubenlinien bestimmt, ein einfacheres Verfahren anwenden, das die Punkte dieser Kurven auf den einzelnen Erzeugenden liefert. Dadurch wird auch die Konstruktion der zweiten Projektionen der Lichtgleichen aus ihren ersten Projektionen vereinfacht, da man nur die Aufrisse der Erzeugenden zu zeichnen und auf sie die Punkte aus dem Grundriß heraufzuloten hat. Sei e die Erzeugende einer Regelschraubenfläche, a ihre vertikale Achse und A deren erster Spurpunkt; sei ferner die Strecke AS auf der Achse gleich der reduzierten Ganghöhe, l der Lichtstrahl durch S. und S. sein erster Spurpunkt. Durch S, legen wir die Normalebene N zum Lichtstrahl und bestimmen in ihr die Grundkreise q, der Lichtstufenkegel ganz wie in 922. Die Radien r, dieser Kreise q, sind Katheten rechtwinkliger Dreiecke, welche die gemeinsame Kathete SS, besitzen; ihnen liegen in diesen Dreiecken spitze Winkel gegenüber, deren Sinus die Werte 0, 1%, “%, "/., *%, oder 1 haben (r, = 0, r“, = 00). Jetzt ziehen wir durch S eine Parallele zur Erzeugenden e, die TT, in U und N in W trifft, und legen durch sie die Tangentialebenen an die Lichtstufenkegel. Sei T eine solche Ebene und t, durch U ihre erste Spur; sie schneide die erste Spur n, von N im Punkte T'=t, × n. Dann berührt die Gerade WT"= T x N einen der Kreise q. Ist P auf e der Punkt, dessen Tangentialebene zu T parallel ist, so gehört P der Lichtgleiche an, deren Lichtstufe dem von T berührten Kegel entspricht. Es fragt sich also noch, wie man auf der Erzeugenden e den Punkt P bestimmt, dessen Tangentialebene zu T parallel

Fig. 592.

ist. Legt man durch S eine Parallele zu der Geraden, die im Punkte P die durch ihn verlaufende Schraubenlinie berührt, so muß ihr erster Spurpunkt G, auf t, liegen. Nach 600 muß aber AG, L AP" und AG, = AP“ sein, und da t, durch G, geht, muß die Gerade t, nach einer Drehung um 90° um den Punkt A im Sinne der aufwärts gerichteten Schraubenbewegung durch den gesuchten Punkt Po gehen (vergl. 602). Demnach ergiebt sich die folgende Konstruktion für die Punkte der Lichtgleichen auf der Erzeugenden e. Auf dem Lichtstrahl l durch S errichte man in seinem ersten Spurpunkte S., die Normalebene N und zeichne in ihr die Grundkreise q, der Lichtstufenkegel, deren Scheitel in S liegen. Sodann ziehe man durch S eine Parallele zur Erzeugenden e und suche ihre Schnittpunkte U und V mit den Ebenen TT, und N. Weiter lege man von V die Tangenten an die Kreise q, und ziehe aus U die Strahlen nach den Schnittpunkten der Tangenten mit der Spur n, von N. Dreht man zuletzt noch diesen Strahlbüschel mit dem Scheitel U um 90° um den Punkt A im Sinne der aufwärts gerichteten Schraubenbewegung, so schneidet der gedrehte Strahlbüschel die Gerade e” in den ersten Projektionen der gesuchten Punkte. . Es ist nun zweckmäßig, gleich den Lichtstrahl l um 90° um die Achse a in dem angegebenen Sinne nach l4 zu drehen ("A L. l), in dem Spurpunkt SA die Normalebene N4 zu errichten und auch - die Gerade SUV um 909 zu drehen. Dann ist AUA L e’ und es liegt UA auf dem Parameterkreis p, und zwar ist derselbe als Grundkreis eines Kegels mit der Spitze S und zu den Erzeugenden parallelen Mantellinien definiert. Legt man aus WA = NA × SUA die Tangenten an die Kreise in NA, so schneiden die Strahlen aus UA nach den auf n, A liegenden Punkten dieser Tangenten die Gerade e” in den gesuchten Punkten. Bei der Durchführung der Konstruktion ist nur noch zu beachten, daß die Ebene NA mit den Kreisen q, um ihre erste Spur n, in die Grundrißebene umzulegen ist. Die Ebenen TT, und NA sind durch die Strahlen aus S aufeinander perspektiv bezogen und es sind UA und WA perspektive Punkte. Speziell ist n, die Fluchtlinie (das Bild aller unendlich fernen Punkte) von NA (AS, Ll", AS = AS, SFL S„SA, n, durch F, n„ |n, L 1). Legt man S um n„ nach S9 um (FS9 = FS, FSo L. n...), so ist. So das Centrum der perspektiven Beziehung zwischen TT, und der umgelegten Ebene NA, ihre Achse ist n, und ihre Fluchtlinie n, (174 u.flg). Der umgelegte Punkt WA9 liegt demnach auf dem Strahle SoUA und bestimmt sich auf diesem, indem man durch UA eine beliebige Gerade zieht und durch ihren Schnittpunkt mit n, eine Parallele zu der Verbindungslinie ihres auf n, liegenden Punktes mit. So legt. Damit können dann die Tangenten aus Wao an die Kreise q,9 und die Strahlen durch UA gezeichnet werden. M ist der Punkt größter Helligkeit auf e. Derselbe Punkt der Fläche liegt im Licht oder Eigenschatten, je nachdem man die eine oder andere Seite der Schraubenfläche in Betracht zieht. Ist T eine beliebige Ebene durch S und t, ihre erste Spur, so geht die um 90° gedrehte Gerade ,A durch die Projektion Po des Punktes Po, dessen Tangentialebene zu T parallel ist. Die erste Projektion der den Punkt P tragenden Erzeugenden ist normal zu der Geraden, die A mit dem Punkte t,4 ×p verbindet. Ist T zum Lichtstrahle normal, so gelangt man zu den Lichtpolen der Fläche; ihre Projektionen liegen auf n, und die ersten Projektionen der die Lichtpole tragenden Erzeugenden sind normal zu den beiden Strahlen, die von A nach den Punkten n, × p gchen. 931. Die geschlossene, schiefe Regelschraubenfläche. Die Figuren 593a und 593b stellen zwei halbe Umgänge der geschlossenen, schiefen Regelschraubenfläche mit ihren Lichtgleichen dar, so daß die Lichtgleichen einer jeden Hälfte im Grund- und Aufriß ihre Fortsetzung auf der anderen Hälfte finden. Die Punkte der Lichtgleichen auf den einzelnen Erzeugenden sind nach der vorigen Nummer bestimmt, während die Punkte auf den die Fläche begrenzenden Schraubenlinien nach 928 gefunden sind. Zu den einzelnen Lichtgleichen läßt sich noch folgendes bemerken. Die Tangentialebenen in den Punkten der Schraubenachse sind vertikal; die erste Spur einer solchen Ebene ist zugleich die erste Projektion der in ihr liegenden Erzeugenden. Die Ebenen durch die Schraubenachse mit den Helligkeitsstufen 4, 3, 2, 1 oder 0 sind demnach zu den Tangentialebenen des geraden Kreiscylinders mit den nämlichen Helligkeitsstufen (Fig. 580) parallel. Die Tangenten der ersten Projektionen der Lichtgleichen in dem Spurpunkt A der Schraubenachse sind somit zu den Tangenten des Grundkreises jenes Cylinders in den Punkten von der nämlichen Helligkeit parallel. Zugleich sind jene Tangenten die ersten Projektionen der Erzeugenden, durch deren Achsenpunkt die bezügliche Lichtgleiche hindurchgeht. Da die Tangentialebenen in den unendlich fernen Punkten der Schraubenfläche parallel sind zu denen des Richtungs- oder Asymptotenkegels, dessen Mantellinien zu den Erzeugenden der Fläche parallel laufen, so geben die Lichtgleichen des Kegels die Richtungen an, in denen die Lichtgleichen der Fläche ins Unendliche verlaufen. Die betreffende Konstruktion läßt erkennen, daß die Lichtgleichen 4, 3, 2 und 1 in je zwei Richtungen ins Unendliche verlaufen. Für die Lichtgleiche 1 geben die eingezeichneten Pfeile die Asymptotenrichtungen an; die ganze Kurve besteht aus einem einzigen, zusammenhängenden Zuge, der zweimal durch's Unendliche geht. Die beiden mit a bezeichneten Enden der Lichtgleiche 1 und ebenso die beiden mit b bezeichneten Enden hängen zusammen. Ahnlich verhält es sich mit den Lichtgleichen 2, 3 und 4.

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