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von K auf sie gefällte Lot, so ist AJ die senkrechte Projektion der auf dem Lichtstrahl liegenden Strecke AL auf die Gerade i. Wenn speciell AJ ein ganzes Vielfaches von AL: 5 ist, gehören die Punkte von n, deren Normalen zu AJ und deren Tangenten somit zu KJ parallel laufen, der bezüglichen Lichtgleiche an. Bei der Ausführung der Konstruktion legen wir N in den Aufriß um, wobei in nach n, = m und K nach K, gelangt (L/K" Lin“, (K, – a) = K'A), ziehen von K., an die Kreise q, die Tangenten und zeichnen die parallelen Tangenten an n. Ihre Berührungspunkte sind die gedrehten Punkte der Lichtgleichen auf m, durch Zurückdrehen der Ebene N erhält man alsdann ihre Grund- und Aufrisse. Ist nämlich J% der Berührungspunkt einer von K, an q, gelegten Tangente, so ist AJ, ein ganzes Vielfaches von AL:5 und gleiches gilt für die entsprechende Strecke AJ in der Ebene N. Diese ist aber zugleich eine Kathete des A LJA und somit die Projektion von LA. Hat man einen Punkt P% auf n, gefunden, so liegt sein Grundriß Po auf n,“ (n," |n" und durch A, (P% – a) = P'A) und sein Aufriß auf einer Parallelen zu r durch P% (PoP“ L ). Will man die Punkte der Lichtgleichen auf den Meridiankurven für eine zur Achse a parallele Aufriß- und eine zur Achse schiefgestellte Grundrißebene bestimmen, so führe man eine zu a senkrechte Hilfsprojektionsebene ein und verfahre wie vorher. Aus dem Aufriß und der Hilfsprojektion der einzelnen Punkte erhält man dann in bekannter Weise den Grundriß. 927. Die Ringfläche. In Fig. 589 sind die Lichtgleichen der Ringfläche mit vertikaler Achse dargestellt. Vergleicht man die Lichtgleichen einer beliebigen Rotationsfläche mit vertikaler Achse und die einer Kugel bei der nämlichen Richtung der Lichtstrahlen, so gelten die folgenden Sätze. a) Die Projektionen der Lichtgleichen von der nämlichen Helligkeit berühren bei beiden Flächen die Umrisse in Punkten mit parallelen Tangenten. 3) Legt man an die Umrisse der zweiten Projektion beider Flächen parallele Tangenten und durch ihre Berührungspunkte Parallele zu x, so schneiden sie die Lichtgleichen in ähnlichen Punktreihen. Speziell schneiden die zu r parallelen Tangenten gleichheller Lichtgleichen die Umrisse beider Flächen in Punkten mit parallelen Tangenten. 7) Ist A, der erste Spurpunkt der Achse der Rotationsfläche und O" die erste Projektion des Kugelmittelpunktes, so entspricht jedem Kreis um A, ein Kreis um O" derart, dass ihre Schnittpunkte mit den Projektionen gleichheller Lichtgleichen auf parallelen Radien liegen. Zwei sich derartig entsprechende Kreise sind die Projektionen zweier Kreise der Flächen, welche die zum Aufriß parallelen Meridiankurven derselben in Punkten mit parallelen Tangenten schneiden.

ö) Die Tangenten aus A, an die Projektionen der Lichtgleichen der Rotationsfläche und die Tangenten aus O' an die der Lichtgleichen der Kugel sind für je zwei Kurven von derselben Helligkeit parallel.

a) Die Parallel- | kreise der Rotationsfläche durch die Punkte der Meridiankurven, deren Tangenten horizontal sind, sind selbst Lichtgleichen; ihre Helligkeit ist die in den Endpunkten des vertikalen Kugeldurch- Fig. 589. messers. Auf der Ringfläche liegen zwei solche Kreise, der höchste und tiefste Parallelkreis, ihre Helligkeit bei der gewählten Lichtwirkung ist 5: /3=288. Die andern Lichtgleichen können diese Kreise nirgends überschreiten.

S) Berühren sich zwei Rotationsflächen längs eines Parallelkreises, so schneiden sich ihre entsprechenden Lichtgleichen auf ihm; oskulieren sie sich dagegen, so berühren sich die entsprechenden Lichtgleichen.

Schraubenflächen.

928. Die Punkte der Lichtgleichen auf den einzelnen

Schraubenlinien (Fig. 590). Sei a die vertikale Achse der

Schraubenfläche A ihr erster Spurpunkt, s eine Schraubenlinie der

Fläche und AS aufa die reduzierte Ganghöhe. Aufs wähle man den Punkt P, so daß PA | r ist, und ziehe durch S eine Ebene E parallel zur Tangentialebene des Punktes P. Ist e, die erste Spur von E und AQ das auf sie gefällte Lot, so entsteht durch Rotation von SQ um a ein Kegel mit der Spitze S und dem Grundkreis k, der e, in Q berührt. Die Tangentialebene der Schraubenfläche in Poist zu der des Kegels in Q parallel, die Flächen besitzen also in beiden Punkten

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die gleiche Helligkeit. Gelangt Po durch Verschraubung um a in

die Lage P und Q durch Rotation um a nach Q% und ist in beiden Fällen der zugehörige Drehwinkel gleich ( = A PAP",= Z. QAQ), so besitzt die Schraubenfläche in Po, auch die gleiche Helligkeit, wie der Kegel im Punkte Q. Denn in beiden Punkten sind die Tangentialebenen parallel, wie man sich unmittelbar klar macht, wenn man die Verschraubung in eine Drehung und Parallelverschiebung zerlegt. Schneidet also eine Lichtgleiche des Kegels den Grundkreis k in Q%, so schneidet die entsprechende Lichtgleiche die Schraubenlinie s in einem Punkte P., so daß z. PAQ = z- P'AQ = 3 ist. Nun führe man an Stelle des Kegels mit dem Grundkreis keinen Kegel K mit dem Grundkreis so ein, dessen Mantellinien denen des andern parallel laufen. Dann schneiden die Lichtgleichen von K den Kreis s' in einer Punktreihe, und diese geht durch Drehung um A um den Winkel 3 = Z QAP" in der eingezeichneten Pfeilrichtung in eine Punktreihe über, deren Punkte die Projektionen der Schnittpunkte der Schraubenlinie s mit den Lichtgleichen der Schraubenfläche bilden. Hat man k gefunden und schneidet l“ (durch A) die Kreise k und s‘ in F" und G, so ist SF eine Mantellinie des Kegels mit dem Scheitel S und die dazu parallele Mantellinie des Kegels K geht durch G. Zur Bestimmung der Lichtgleichen von K verfahren wir wie in Fig. 583. Wir legen die Vertikalebene durch den Lichtstrahl l um l“ um (AS, Ll", AS,= reduzierte Ganghöhe, 4=S„S) und erhalten in N% auf S„A die umgelegte Spitze des Normalenkegels von K(GM, L S„F). Durch N% ziehen wir i |, tragen darauf NJ, = N„G auf, teilen diese Strecke in fünf gleiche Teile, errichten in den Teilpunkten die Normalen und in ihren Schnittpunkten mit l" die Normalen auf l“. Diese Normalen schneiden auf so eine Punktreihe aus, die wir noch um den Winkel 3 drehen; die gedrehte Punktreihe ist die erste Projektion der auf der Schraubenlinie s liegenden Punkte der Lichtgleichen. Die auf dem zu x parallelen Durchmesser liegenden Punkte P" und R“ des Kreises so projizieren sich in den Aufriß als Punkte, die dem Umriß des Kegels K angehören. Dreht man die Punkte P" und R“ um A um den Winkel 3, so gehen sie in die ersten Projektionen zweier Punkte der Schraubenlinie s über, deren zweite Projektionen auf dem Umriß der Schraubenfläche liegen. Der Durchmesser l“ schneidet den Kreis s‘, als Grundkreis des Kegels K. in den beiden Punkten der größten Helligkeit H und. G. Durch Drehung um den Winkel 3 gehen sie in die ersten Projektionen der beiden auf der Schraubenlinie s liegenden Punkte größter Helligkeit über. Die beiden Ebenen durch die Schraubenachse, von denen die eine auf der Schraubenlinie s die genannten Punkte des Umrisses und die andere die Punkte größter Helligkeit ausschneidet, schließen also den gleichen Winkel ein, wie die Geraden l“ und r. Dieses gilt für jede Schraubenlinie der Fläche und wir erschliessen daraus den Satz: Die beiden Kurven des wahren Umrisses der Schraubenfläche und die beiden Maximalkurven m und m, welche die Schraubenlinien der Fläche in den Punkten größter Helligkeit schneiden, sind kongruent. Die letzteren entstehen aus den ersteren durch Verschraubung um den z- rl" = z. PAH. Es ist natürlich der wahre Umriß gemeint, der bei der Projektion auf die Aufrißebene sich ergiebt; er besteht selbst aus zwei kongruenten Teilen, die bei einer halben Schraubenbewegung ineinander übergehen. Bei der oben geschilderten Konstruktion werden die Grundrisse der vier kongruenten Kurven mit gewonnen.

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Nimmt man die Kurve c, deren Verschraubung die Fläche erzeugt, in einer Ebene durch die Achse a an und ist t“ die Tangente im Punkte Po“ von c“, so hat die Parallele zu t durch S ihren Spurpunkt in T' (AS9 = A“S“, S9T | t“). Ferner ist U auf so (UA L AP") der Spurpunkt einer Geraden SU, die zur Tangente der Schraubenlinie s im Punkte Po parallel läuft. Die Ebene SUT" ist sonach parallel zur Tangentialebene im Punkte Po der Schraubenfläche und e, = UT" ist ihre erste Spur.

Es gilt noch die zweiten Projektionen der auf der Schraubenlinie s liegenden Punkte zu zeichnen, deren erste Projektionen auf s“ man kennt. Zu diesem Zwecke schlage man um A mit dem Radius AS, gleich der reduzierten Ganghöhe, einen Kreis y. Dann ist die Differenz der Vertikalabstände zweier Punkte Po und P% auf s gleich der Länge des Kreisbogens, den die Strahlen AP und AP, auf dem Kreise y begrenzen. Die Länge dieses Kreisbogens bestimmt sich aber mit Hilfe der Evolvente z des Kreises y, die in Z (auf AP") ihren Anfangspunkt hat; diese Kurve z findet bei allen Schraubenlinien die gleiche Verwendung. In dem Schnittpunkte des Strahles AP“ mit dem Kreise y lege man an diesen die Tangente, auf ihr schneidet die Evolvente z eine Strecke ab gleich

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929. Schraubenfläche mit kreisförmigem Meridianschnitt. In Fig. 591 sind die Lichtgleichen einer Schraubenfläche mit vertikaler Achse a dargestellt, deren Meridianschnitt ein Halbkreis k über einem horizontalen Durchmesser BC ist. Während im Grundriß ein ganzer Schraubengang dargestellt ist, giebt der Aufriß wegen Platzmangel nur einen halben Umgang. Die Lichtgleichen, die beiden Maximalkurven und der Umriß sind nach der Methode der vorigen Nummer bestimmt. Die ersten Projektionen der Lichtgleichen berühren die in TI, liegenden Umrißkreise in den Punkten, die den bezüglichen Lichtgleichen der durch die Kreise gelegten vertikalen Cylinder angehören. Die Berührungspunkte der zweiten Projektionen der Lichtgleichen mit dem in TI, liegenden Umriß ergeben sich aus den Punkten, in denen die ersten Projektionen der Lichtgleichen von der ersten Projektion des Umrisses geschnitten

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