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schließen, deren Sinus bezüglich gleich 1, “%, */, */., 7. und 0 sind. Diese Strahlen treffen N in den Punkten 00, Q, Q, Q, Q, M, die den bezüglichen Kreisen angehören (deren erster die unendlich ferne Gerade und deren letzter der Punkt M ist). Bei der Ausführung lege man zunächst l um 1 in den Grundriß als 4 = S„S, um (S„S" =(S“– 2)) und fälle von F = 1 x m, das Lot FM, auf , so ist M., der um 1 umgelegte Punkt M. Sodann lege man die Ebene N um n, in den Grundriß um; dabei gelangt M nach M" (FM" L m, FM" = F„M). Die Radien der Kreise q9 sind M'Q9 = MS. tg zu, wenn sin zu, der Reihe nach die Werte 1, “%, “, “%, ". und 0 annimmt. In der Figur ist M'S = MS, parallel zu n, gezogen, in Sa eine Senkrechte dazu errichtet, auf ihr sind fünf gleiche Teilstrecken aufgetragen und durch den letzten Punkt ist ein Viertelkreis um Sa geschlagen. Dieser wird von den Parallelen zu M'S durch die Teilpunkte in Punkten geschnitten, deren Verbindungslinien mit Sa auf FM" die Punkte Q% ausschneiden. Die Schnittkurve c des Kegels mit der Ebene N nimmt beim Umlegen die Lage co an; c'o und k sind nach 175 perspektiv, und zwar ist n, die Achse, n, die Flucht-, n, die Verschwindungslinie und So das Centrum der Perspektive (n, ist die erste Spur der Parallelebene zu N durch S, F, =n, x FM", S„F, |MF", S"F, = S„F, SF = F„F, n, durch F"). Ist c" als perspektive Kurve zu k gefunden, so lege man an c" und q" die gemeinsamen Tangenten, die dazu perspektiven Geraden berühren k in den ersten Spurpunkten der Lichtgleichen. Im vorliegenden Falle, wo k ein Kreis ist, zeichnet man den Kegelschnitt c' in folgender Weise. Vom Kreismittelpunkt K fälle man ein Lot auf n, und bestimme die Polare seines Fußpunktes J in Bezug auf k; dieser Sehne und dem zu ihr senkrechten Durchmesser von k entsprechen zwei konjugierte Durchmesser von c". Die gemeinsamen Tangenten von c' und qo sind durch Anlegen des Lineals ziemlich genau zu zeichnen; die entsprechenden Geraden schneiden sich mit ihnen auf n, und berühren k.

Rotationsflächen.

923. Die Kugel (Fig. 586). Wir ziehen durch den Mittelpunkt O der Kugel einen Lichtstrahl l, dieser trifft die Kugelfläche in den beiden Lichtpolen 5 und 5. Den von den Lichtpolen begrenzten Durchmesser teilen wir in zehn gleiche Teile und errichten die Normalebenen in den Teilpunkten, so schneiden sie die Kugel in den Lichtgleichen. Ist nämlich Q einer der Teilpunkte, p der Kugelkreis in der zugehörigen Normalebene und Po ein Punkt desselben, so ist die OQ die senkrechte Projektion der Flächennormalen OP =r (Kugelradius) auf den Lichtstrahl l, sie ist also ein ganzes Vielfaches von r: 5. In der Figur ist nur der Grundriß gezeichnet. - „2“ Zunächst ist l um den zu l“ parallelen Kugeldurchmesser in die Lage l, (|TT) gedreht und der Vertikalkreis i in die Lage in (i" = l', i,= k“ = Umriß); hierauf ist der auf l' liegende Durchmesser in zehn gleiche Teile geteilt und in den Teilpunkten sind die Normalen errichtet, z. B. in Q% die Normale q = A, B, (A und B, auf i). Dreht man in in die ursprüngliche Lage zurück, so ist AB der Durchmesser eines zur Ebene von i symmetrischen Kugelkreises. Derselbe ist eine Lichtgleiche und projiziert sich als Ellipse mit der kleinen Achse A“B“ (A“B“ auf l“, AA“| B„B“ L 1") und einer großen Achse durch Q% von der Länge A, B. Die Ellipse berührt den Umriß k“ in zwei Punkten, deren Verbindungslinie im Punkte l“ x q, auf l' senkrecht steht. Sind l“ und l“ unter 45° gegen x geneigt, so sind die Projektionen der Lichtgleichen im Grund- und Aufriß kongruent; der letztere entsteht aus dem ersteren durch Drehung um 90° im Sinne der Uhrzeigerbewegung. 924. Bei Bestimmung der Lichtgleichen auf einer beliebigen Rotationsfläche können wir, genau wie früher bei der Bestimmung ihrer Lichtgrenze (527), drei verschiedene Verfahren anwenden, die entweder die Kugel, oder den Kegel, oder den Cylinder zu Hilfe nehmen. Die ersten beiden Verfahren bestimmen die Punkte der Lichtgleichen auf den einzelnen Parallelkreisen, das letzte auf den einzelnen Meridiankurven. Sei a die zum Aufriß parallele Achse, m der zum Aufriß

Fig. 586.

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parallele Hauptmeridian und p ein beliebiger Parallelkreis der Rotationsfläche; es seien ferner J und K die Schnittpunkte von m und p. Das Kugelverfahren besteht dann in folgendem. Wir wählen eine beliebige Hilfskugel, ziehen den zu a parallelen Durchmesser a, und den zum Aufriß parallelen Kugelkreis m,. An diesen legen wir zwei Tangenten parallel zu den Tangenten von m in J und K und nennen ihre Berührungspunkte J und K; durch sie geht ein Kugelkreis p, dessen Ebene zu a, normal, also zu der Ebene des Parallelkreises p parallel ist. Der Kegel, der die Rotationsfläche längs p berührt, und der die Kugel längs p, berührende Kegel sind kongruent und gleichgerichtet, ihre Lichtgleichen von der nämlichen Helligkeit laufen also parallel. Die Lichtgleichen des letzteren Kegels schneiden p, in denselben Punkten, wie die Lichtgleichen der Kugel, die Lichtgleichen des ersteren schneiden p in den Punkten, die den bezüglichen Lichtgleichen der Rotationsfläche angehören. Ganz dasselbe gilt auch für die Projektionen im Aufriß. Man zeichne also von der Hilfskugel und ihren Lichtgleichen ein für allemal den Aufriß. Dann ziehe man irgend eine Gerade p“ L a“, die m“ in zwei Punkten Jo“ und K“ schneiden wird, lege an m,“ eine Tangente, die zur Tangente von m” in J” parallel läuft, und durch ihren Berührungspunkt J“ die Kreissehne p,“ = J“K“ (|p“). Aus ihren Schnittpunkten mit den Projektionen der Lichtgleichen der Kugel gewinnt man die Projektionen der Schnittpunkte des Kreises p mit den Lichtgleichen der Rotationsfläche. Da die Punktreihen auf J“K“ und auf J"K“ ähnlich sein müssen, so braucht man die von den Lichtgleichen auf J“K“ ausgeschnittene Punktreihe nur im Verhältnis von J“K“: J"K“ ähnlich zu vergrößern, oder zu verkleinern und auf J"K" aufzutragen. Die Grundrisse dieser Punkte ergeben sich wie beim Kegelverfahren. 925. Das Kegelverfahren liefert auf den einzelnen Parallelkreisen der Rotationsfläche die Punkte der Lichtgleichen, indem man den Parallelkreis als Grundkreis eines die Fläche berührenden Kegels auffaßt und auf ihm nach 920 und 921 die Punkte der Lichtgleichen konstruiert. Man wähle einen beliebigen Parallelkreis p mit dem zum Aufriß parallelen Durchmesser JK und dem Mittelpunkt O (Fig. 587). Dann zeichne man auf a die Spitze N des Normalenkegels durch p (K“N“ ist eine Normale von m”), lege durch sie einen Lichtstrahl l, trage auf ihm die Strecke NQ = NK = N'K“ nach beiden Seiten von N aus ab und teile dieselben in je fünf gleiche Teile. Die Normalebenen zu l in diesen Teilpunkten schneiden aufp die Punkte der bezüglichen Lichtgleichen aus. Diese Normalebenen schneiden aber die Ebene la in Normalen zu l und die Ebene von p in Normalen zu q, wenn q die Schnittlinie der Ebene la mit der Ebene durch p ist. Die Ausführung gestaltet sich demnach wie folgt. Man drehe die Ebene la um a parallel zum Aufriß, in dem man L“ = " × p“ nach L, dreht, dann deckt sich q, mit p“. Ferner trage man N"Q, = N"J" auf l, auf und ziehe die Senkrechten zu l, in Q, und N", die q, in R, und T, schneiden. Jetzt drehe man die Ebene von p parallel zum Aufriß (dabei gelangen q in die Lage q"=O"L", R und T' in die Lagen Round T" und p in die Lage po), teile R9T9 in fünf gleiche Teile und errichte in den Teilpunkten die Normalen. Diese schneiden po in Punkten, die auf p“ zurückgelotet, die Aufrisse der auf p liegenden Punkte der ge

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2 3 Z. erhält man die Licht- gleichen im EigenFig. 587. schatten. Für jeden

weiteren Parallelkreis fällt die Konstruktion von 1, und q" weg, da die Geraden l, und ebenso die Geraden qo für alle Parallelkreise die gleiche Richtung haben. In der Figur sind die Zahlen der Lichtstufen nur bei den Punkten aufpo bemerkt, auf p“ der Deutlichkeit halber weggelassen. Die Grundrißprojektionen liegen senkrecht unter den bezüglichen Aufrissen, ihre Abstände von a” sind gleich den Abständen der auf po liegenden gedrehten Punkte von p“. M ist der Punkt größter Helligkeit des beleuchteten Teiles von p, M spielt die gleiche Rolle im Eigenschatten. Ist die Achse der Rotationsfläche vertikal, so vereinfacht sich das Kegelverfahren und es kann ganz genau die Konstruktion von Fig. 583 angewendet werden. Man erhält dann wie dort zunächst im Grundriß die Punkte der Lichtgleichen auf dem bezüglichen Parallelkreise. 926. Das Cylinderverfahren wollen wir zunächst auf eine Rotationsfläche mit vertikaler Achse a anwenden; ihr Umriß sei im (Fig. 588). Um Platz zu ersparen ist in der Figur die Aufrißebene

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durch die Achse gelegt; man hat dann später den Grundriß nur um die Strecke AA, zu verschieben, wenn A, der erste Spurpunkt der Achse a ist (A = a × x, AA, L 2). Wir legen durch A einen Lichtstrahl l, wählen auf ihm einen Punkt L und drehen ihn um a in den Aufriß als L, (LL"|x, (L,– a)=L/A), sodann teilen wir LA in fünf gleiche Teile und beschreiben um A die Kreise q, q, q, q, durch diese Teilpunkte. Es sei nun in eine beliebige Meridiankurve, N ihre Ebene und LK das von L auf N gefällte Lot. Ferner sei i eine beliebige, durch A verlaufende Gerade der Ebene N und KJ das

ROHN u. PAPPERITz. II. 32

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