von NJ: 5. Denn diese Projektion wird von N und der durch P senkrecht zu i gelegten Ebene, also von N und einem der Teilpunkte von NJ begrenzt. Diese Konstruktion liefert sowohl für den belichteten, wie für den im Eigenschatten liegenden Teil der Fläche die Lichtgleichen. Die ersteren erhält man, wenn die Strecke NJ auf den Lichtstrahlen entgegen, die letzteren, wenn sie ihnen gleich gerichtet ist.

Beim geraden Kreiskegel, dessen Grundkreis k in П, liegt, ergiebt sich hieraus die folgende Konstruktion. Man lege durch S den Lichtstrahl und bestimme seinen ersten Spurpunkt S. Die Vertikalebene durch 7 lege man um l' um, so daß S nach S, gelangt, dann ist SM eine umgelegte Mantellinie und NM eine umgelegte Flächennormale (M = k × l', MN 1 MS). Durch N ziehe man die Gerade (SS), trage auf ihr die Strecke N NM auf und teile sie in fünf gleiche Teile. Die vorher erwähnten Normalebenen in den Teilpunkten von NJ, schneiden die Ebene l' in Senkrechten zu i und die Grundkreisebene in Senkrechten zu l. Deshalb errichte man in den Teilpunkten von NJ Normalen und in ihren Schnittpunkten mit l' Normalen auf l', so schneiden diese den Kreis k in den Spurpunkten der Lichtgleichen.

=

=

921. Der gerade Kreis kegel in schiefer Lage (Fig. 584). Die allgemeine Darlegung der vorigen Nummer behält auch hier ihre Gültigkeit; die Konstruktion gestaltet sich wie folgt. Man lege durch 7 und die Kegelachse eine Ebene, welche die Grundkreisebene in einer Geraden p, den gegebenen Kegel in einer Mantellinie SM und den Normalenkegel in einer Mantellinie MN schneidet (SN gemeinsame Achse beider Kegel). Durch N ziehe man eine Parallele i zu l, trage auf ihr die Strecke NJ INM ab und teile sie in fünf gleiche Teile. In der Ebene ipl ziehe man durch die Teilpunkte die Normalen zu i und in ihren Schnittpunkten mit p die in der Grundkreisebene liegenden Normalen zu p. Die letzteren schneiden den Grundkreis k in den Endpunkten der Lichtgleichen. Bei der Ausführung dieser Konstruktion, dreht man die Ebene 10 (= ipl) um OK parallel zum Grundriß (K auf 1, O"K" || x, S′S。 1σK, ƠM 10 ́S, O'M = Radius von k, NM 1 MS., NJ | SK, NJ。 NoMo JoQo | No R。 1 NoJo, Qo und R. auf Po). Ferner dreht man die Grundkreisebene um den horizontalen Kreisdurchmesser a parallel zum Grundriß, wobei k in ko und p=OQ in po-O'Q° übergeht (QQ'L O'K', SQ durch T S。Q。 × O'K', Q'Q° ± a', O'Q° = O'Q。, O'R° ƠR。 auf po). Hierauf ist RoQo in fünf gleiche Teile geteilt, dann schneiden die Senkrechten in den Teilpunkten den Kreis ko in den den Licht

=

=

=

=

gleichen zugehörigen Punkten, und es ist nur noch von diesen Punkten auf ko zu den affinen Punkten auf k' überzugehen (Affinitätsstrahlen La').

Im Aufriẞ suche man zunächst T" auf O"K" und Q" auf S"T" und drehe dann die Grundkreisebene parallel zum Aufriß; dabei

Δ

geht k in k und Q in QA über (Q"QA normal zur Drehachse, QinQ O′′Qs = O'Qo, O′′R1 =O'R). Nun teile man wieder RAQ ̧ in fünf gleiche Teile und errichte in den Teilpunkten die Normalen, die dann k ̧ in den gedrehten Endpunkten der Lichtgleichen treffen; diese selbst liegen auf k" und bestimmen sich durch die Affinität von k und k".

922. Der schiefe Kreiskegel (Fig. 585). Die Bestimmung der Lichtgleichen beim allgemeinen Kegel erfordert eine wesentlich andere Behandlung als bei den vorausgehenden und folgenden Flächen. Sei S die Spitze, k der in П, liegende Grundkreis des Kegels und der Lichtstrahl durch die Spitze. Dann betrachten wir Rotationskegel mit der Spitze 8 und der Kegelachse l. Alle Tangentialebenen eines solchen Kegels sind gegen 7 gleich geneigt,

der Kegel besitzt also in allen Punkten seiner Oberfläche die gleiche Helligkeit. Soll seine Beleuchtungsstärke gleich 5, 4, 3, 2, 1 oder O sein, so müssen seine Mantellinien mit einen Winkel μ einschließen, für den sin u = 1, 4/5 3/5 2/5 1/5 oder 0 ist.

Denn

Fig. 585.

=

alsdann bilden die Kegelnormalen mit einen Winkel 90° — μ, woraus sich nach 915 für den Kegel die Lichtstufe 5 cos λ 5 sin u ergiebt. Bestimmen wir jetzt hiernach die 6 Lichtstufenkegel mit der Spitze S und der Achse (der erste fällt mit der Normalebene auf 7 in S, der letzte mit 7 zusammen) und suchen die gemeinsamen Tangentialebenen an den gegebenen Kegel und je einen der sechs Lichtstufenkegel, so berühren sie jenen in den Lichtgleichen von der betreffenden Lichtstufe. Zur Konstruktion benutzen wir eine Ebene N (n, n) normal zum Lichtstrahl, die den gegebenen Kegel in einer Kurve c und jene Lichtstufenkegel in Kreisen (i=1, 2, 3, 4) mit dem Mittelpunkt MIX N schneiden. Die gemeinsamen Tangenten an c und je einen dieser Kreise berühren c in Punkten der bezüglichen Lichtgleichen.

2

=

Um die Kreise q, zu gewinnen, lege man durch ebene und ziehe in ihr durch S Strahlen, die mit

eine Vertikal

Winkel ein

=

4

3

=

schließen, deren Sinus bezüglich gleich 1, 5, 5, 25, 1% und 0 sind. Diese Strahlen treffen N in den Punkten oo, Q4, Q3, Q3, Q1, M, die den bezüglichen Kreisen angehören (deren erster die unendlich ferne Gerade und deren letzter der Punkt M ist). Bei der Ausführung lege man zunächst um in den Grundriß als SS um (SS (S′′ − F1 (S'' x)) und fälle von Fx n, das Lot FM, auf 1, so ist M der um umgelegte Punkt M. Sodann lege man die Ebene N um n, in den Grundriß um; dabei gelangt M nach M° (F1M° \ n1, F1M° = F1M). Die Radien der Kreise q;o sind M°Q;° MS-tg u,, wenn sin u, der Reihe nach die Werte 1, 5, 3/5 2/5 1/5 und 0 annimmt. In der Figur ist MS= MS parallel zu n1 gezogen, in S eine Senkrechte dazu errichtet, auf ihr sind fünf gleiche Teilstrecken aufgetragen und durch den letzten Punkt ist ein Viertelkreis um S geschlagen. Dieser wird von den Parallelen zu M°S durch die Teilpunkte in Punkten geschnitten, deren Verbindungslinien mit SA auf FM° die Punkte ausschneiden. Qo

||

=

Die Schnittkurve c des Kegels mit der Ebene N nimmt beim Umlegen die Lage co an; co und k sind nach 175 perspektiv, und zwar ist n1 die Achse, n die Flucht-, n, die Verschwindungslinie und so das Centrum der Perspektive (n ist die erste Spur der Parallelebene zu N durch S, Fon X F, M°, SF MF1, S°F = SF, S°F = F F1, n, durch F). Ist c° als perspektive Kurve zu k gefunden, so lege man an co und 9o die gemeinsamen Tangenten, die dazu perspektiven Geraden berühren k in den ersten Spurpunkten der Lichtgleichen.

v

∞

=

0

Im vorliegenden Falle, wo k ein Kreis ist, zeichnet man den Kegelschnitt co in folgender Weise. Vom Kreismittelpunkt K fälle man ein Lot auf n und bestimme die Polare seines Fußpunktes J in Bezug auf k; dieser Sehne und dem zu ihr senkrechten Durchmesser von k entsprechen zwei konjugierte Durchmesser von co. Die gemeinsamen Tangenten von co und q° sind durch Anlegen des Lineals ziemlich genau zu zeichnen; die entsprechenden Geraden schneiden sich mit ihnen auf n, und berühren k.

Rotationsflächen.

923. Die Kugel (Fig. 586). Wir ziehen durch den Mittelpunkt der Kugel einen Lichtstrahl 7, dieser trifft die Kugelfläche in den beiden Lichtpolen 5 und 5. Den von den Lichtpolen begrenzten Durchmesser teilen wir in zehn gleiche Teile und errichten.

die Normalebenen in den Teilpunkten, so schneiden sie die Kugel in den Lichtgleichen. Ist nämlich einer der Teilpunkte, p der Kugelkreis in der zugehörigen Normalebene und P ein Punkt desselben, so ist die OQ die senkrechte Projektion der Flächennormalen OP= = r (Kugelradius) auf den Lichtstrahl l, sie ist also ein ganzes Vielfaches von r: 5. In der Figur ist nur der Grundriß gezeichnet.

in die ursprüngliche Lage zurück, so ist AB der Durchmesser eines zur Ebene von i symmetrischen Kugelkreises. Derselbe ist eine Lichtgleiche und projiziert sich als Ellipse mit der kleinen Achse A'B' (A'B' auf l'‚ Ã ̧Ã' || B。B′ 1 l′) und einer großen Achse durch Q von der Länge AB。. Die Ellipse berührt den Umriß k' in zwei Punkten, deren Verbindungslinie im Punkte l' q% auf l' senkrecht steht.

0

Sind und " unter 45° gegen x geneigt, so sind die Projektionen der Lichtgleichen im Grund- und Aufriß kongruent; der letztere entsteht aus dem ersteren durch Drehung um 90° im Sinne der Uhrzeigerbewegung.

924. Bei Bestimmung der Lichtgleichen auf einer beliebigen Rotationsfläche können wir, genau wie früher bei der Bestimmung ihrer Lichtgrenze (527), drei verschiedene Verfahren anwenden, die entweder die Kugel, oder den Kegel, oder den Cylinder zu Hilfe nehmen. Die ersten beiden Verfahren bestimmen die Punkte der Lichtgleichen auf den einzelnen Parallelkreisen, das letzte auf den einzelnen Meridiankurven.

Sei a die zum Aufriß parallele Achse, m der zum Aufriß