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so nimmt d die Lage d'o und p die Lage p" = MP" an (MP, = MP", Po auf q). Jetzt errichte man in N% auf 1% eine Senkrechte (MM, gleich dem Radius von d), die p, in einem Punkte Q, schneiden wird, trage MQ,=MQ" auf p" auf, teile diese Strecke in fünf gleiche Teile und ziehe in den Teilpunkten die Normalen. Diese schneiden

Fig. 582.

dann d'o in Punkten, die den Endpunkten der Lichtgleichen auf d entsprechen. Die ersten Spurpunkte der Lichtgleichen des geraden Kreiscylinders liegen auf einer Ellipse s, seiner ersten Spurkurve. Die Kurven d und s sind durch die Mantellinien aufeinander affin bezogen; jede Lichtgleiche trifft d und s in affinen Punkten und auch die Tangenten von d und s in diesen Punkten sind affin. Aus der Affinität von d und s folgt aber auch die Affinität d' und s (Affinitätsachse a, affine Punkte K und Po"). Bestimmt man also in der vorher geschilderten Weise für jede Lichtgleiche des geraden Cylinders den zugehörigen Punkt auf d" und zieht in ihnen die Tangenten an d', dann sind die dazu affinen Geraden die ersten Spurlinien der Ebenen, die den Cylinder längs der betreffenden Lichtgleichen berühren. Zieht man zu diesen Spurlinien die parallelen Tangenten an die Spurkurve k des schiefen Cylinders (k kann eine beliebige Kurve sein), so sind ihre Berührungspunkte die ersten Spurpunkte der bezüglichen Lichtgleichen desselben.

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In der Figur sind nun nicht die umgelegten Endpunkte der Lichtgleichen auf d' gezeichnet, sondern die um 90° auf d' verschobenen Punkte. Zu diesem Zwecke ist MQ,= MQ% aufpa (Lp") aufgetragen; die Normalen in den Teilpunkten dieser Strecke schneiden dann auf d' die um 909 verschobenen Punkte aus. Die Radien nach diesen Punkten sind zu den Tangenten in den ursprünglichen, nicht verschobenen Punkten von d'o parallel. Sucht man zu diesen Radien die affinen Geraden (Affinitätsachse a, affine Punkte K und Po"), so berühren die dazu parallelen Tangenten an die Grundkurve k des schiefen Cylinders dieselbe in den Spurpunkten der Lichtgleichen.

Kegelflächen.

920. Der gerade Kreiskegel (Fig. 583). Auch bei den Kegelflächen bestehen die Lichtgleichen aus Mantellinien, so daß es genügt, ihre Spurpunkte auf der Grundkurve zu bestimmen. S. sei die Spitze und k der Grundkreis eines geraden Kreiskegels. Die Flächennormalen in den Punkten von k bilden die Mantellinien eines zweiten Kegels mit dem Grundkreis k und der Spitze N (SN ist die gemeinsame Achse beider Kegel). Zieht man durch N einen Lichtstrahl i (| ), trägt auf ihm von N aus die Strecke N/ von der Länge der Mantellinien des Normalenkegels ab, teilt sie in fünf gleiche Teile und errichtet in den Teilpunkten Normalebenen auf i, so schneiden diese den Kreis k in den Endpunkten der Lichtgleichen. Ist nämlich Po einer dieser Punkte, so projiziert sich die Flächennormle PN auf den Lichtstrahl i als ein ganzzahliges Vielfaches von NJ: 5. Denn diese Projektion wird von N und der durch P senkrecht zu i gelegten Ebene, also von N und einem der Teilpunkte von NJ begrenzt. Diese Konstruktion liefert sowohl für den belichteten, wie für den im Eigenschatten liegenden Teil der Fläche die Lichtgleichen. Die ersteren erhält man, wenn die Strecke NJ. auf i den Lichtstrahlen entgegen, die letzteren, wenn sie ihnen gleich gerichtet ist. Beim geraden Kreiskegel, dessen Grundkreis k in TI, liegt, ergiebt sich hieraus die folgende Konstruktion. Man lege durch S den Lichtstrahl l und bestimme seinen ersten Spurpunkt S. Die Vertikalebene durch l lege man um 1" um, so daß Snach S, gelangt, dann ist S„M eine umgelegte Mantellinie und N„M eine umgelegte Flächennormale (M = k. x 1", MN, LMS). Durch M, ziehe man die Gerade i, (| S„S), trage auf ihr die Strecke N-J% = N„M auf und teile sie in fünf gleiche Teile. Die vorher erwähnten Normalebenen in den Teilpunkten von NJ, schneiden die Ebene ll in Senkrechten zu i und die Grundkreisebene in Senkrechten zu l“. Deshalb errichte man in den Teilpunkten von NV, Normalen und in ihren Schnittpunkten mit " Normalen auf ", so schneiden diese den Kreis k, in den Spurpunkten der Lichtgleichen. 921. Der gerade Kreiskegel in schiefer Lage (Fig. 584). Die allgemeine Darlegung der vorigen Nummer behält auch hier ihre Gültigkeit; die Konstruktion gestaltet sich wie folgt. Man lege durch l und die Kegelachse eine Ebene, welche die Grundkreisebene in einer Geraden p, den gegebenen Kegel in einer Mantellinie SM und den Normalenkegel in einer Mantellinie MN schneidet (SN gemeinsame Achse beider Kegel). Durch N ziehe man eine Parallele i zu l, trage auf ihr die Strecke NJ = NM ab und teile sie in fünf gleiche Teile. In der Ebene ipl ziehe man durch die Teilpunkte die Normalen zu i und in ihren Schnittpunkten mit p die in der Grundkreisebene liegenden Normalen zu p. Die letzteren schneiden den Grundkreis k in den Endpunkten der Lichtgleichen. Bei der Ausführung dieser Konstruktion, dreht man die Ebene 10 (= pl) um OK parallel zum Grundriß (Kaufl, O'K“|x, SS, LO/K, O/M, LOS, O/M = Radius von k., NM, L, MS, MJ% | S„K“, NJ% = N„M, J„Q% | NR, L N„J%, Q% und R, aufp). Ferner dreht man die Grundkreisebene um den horizontalen Kreisdurchmesser a parallel zum Grundriß, wobei kin ko und p=OQ in po=O/Qo übergeht (Q„Q" LOK, SQ durch T” SQ, × 0/K, QQ" La, 0/99 = 0Q, O/R9 = OR, auf p"). Hierauf ist Ro49" in fünf gleiche Teile geteilt, dann schneiden die Senkrechten in den Teilpunkten den Kreis ko in den den Licht

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gleichen zugehörigen Punkten, und es ist nur noch von diesen Punkten auf ko zu den affinen Punkten auf k“ überzugehen (Affinitätsstrahlen La"). Im Aufriß suche man zunächst T” auf O'K“ und Q“ auf S"T“ und drehe dann die Grundkreisebene parallel zum Aufriß; dabei

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geht k in k und Q in Qa über (Q"Qa normal zur Drehachse, O'Q% =O'Q', O'Ra=O'R). Nun teile man wieder RaQ, in fünf gleiche Teile und errichte in den Teilpunkten die Normalen, die dann k in den gedrehten Endpunkten der Lichtgleichen treffen; diese selbst liegen auf k“ und bestimmen sich durch die Affinität von ka- und k“.

922. Der schiefe Kreiskegel (Fig. 585). Die Bestimmung der Lichtgleichen beim allgemeinen Kegel erfordert eine wesentlich andere Behandlung als bei den vorausgehenden und folgenden Flächen. Sei S die Spitze, k der in TT, liegende Grundkreis des Kegels und l der Lichtstrahl durch die Spitze. Dann betrachten wir Rotationskegel mit der Spitze S und der Kegelachse l. Alle Tangentialebenen eines solchen Kegels sind gegen l gleich geneigt, der Kegel besitzt also in allen Punkten seiner Oberfläche die gleiche Helligkeit. Soll seine Beleuchtungsstärke gleich 5, 4, 3, 2, 1 oder 0 sein, so müssen seine Mantellinien mit l einen Winkel zu einschließen, für den sin zu = 1, “%, */, *), 7, oder 0 ist. Denn

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Fig. 585.

alsdann bilden die Kegelnormalen mit l einen Winkel . = 909– zu, woraus sich nach 915 für den Kegel die Lichtstufe 5 cos 1 = 5 sin zu ergiebt. Bestimmen wir jetzt hiernach die 6 Lichtstufenkegel mit der Spitze S und der Achse l (der erste fällt mit der Normalebene auf l in S, der letzte mit l zusammen) und suchen die gemeinsamen Tangentialebenen an den gegebenen Kegel und je einen der sechs Lichtstufenkegel, so berühren sie jenen in den Lichtgleichen von der betreffenden Lichtstufe. Zur Konstruktion benutzen wir eine Ebene N (n, m) normal zum Lichtstrahl, die den gegebenen Kegel in einer Kurve c und jene Lichtstufenkegel in Kreisen q, (i=1, 2, 3, 4) mit dem Mittelpunkt M = 1 x N schneiden. Die gemeinsamen Tangenten an c und je einen dieser Kreise berühren c in Punkten der bezüglichen Lichtgleichen. Um die Kreise q, zu gewinnen, lege man durch l eine Vertikalebene und ziehe in ihr durch S. Strahlen, die mit l Winkel ein

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