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bequemen Auftragen der Farbentöne auf das Bild mit Hilfe solcher Lichtgleichen zu gewinnen, wird es zweckmäßig sein, auf der Fläche eine Anzahl Lichtgleichen derart zu verzeichnen, daß je zwei benachbarte den nämlichen Helligkeitsunterschied aufweisen. Man wird also zwischen die Punkte der stärksten Beleuchtung J und die Lichtgrenze von der Beleuchtung 0 eine Reihe von Lichtgleichen mit den Lichtstärken # - - - eintragen. Wir wählen die Zahl n = 5, und da es hierbei nur auf die relativen Lichtstärken ankommt, setzen wir J = 5. Wir erhalten als dann sechs Lichtgleichen entsprechend den Lichtstufen 5, 4, 3, 2, 1 und 0; diese Zahlen mögen zugleich zur Bezeichnung der Lichtgleichen dienen. Im Eigenschatten werden sich ganz ebenso Lichtgleichen mit den Lichtstufen 5, 4, 3, 2, 1 ergeben. Die Lichtstufe 5 resp. 5 wird nur solchen Punkten der Fläche zukommen, deren Normale mit der Lichtrichtung zusammenfällt; es sind das im allgemeinen nur einzelne Punkte und man bezeichnet sie als Lichtpole. Die Lichtstufe 0 kommt der Grenzkurve zwischen Licht und Eigenschatten auf der Fläche zu.

916. Der Konstruktion der Lichtgleichen für die einzelnen Flächenfamilien schicken wir noch folgende allgemeine Betrachtung voraus. Die Lichtstufe in jedem Flächenpunkte wird durch eine Zahl zwischen 5 und 0 bezeichnet, sie ist gleich 5 - cos, wo den Winkel von Normale und Lichtstrahl angiebt. Trägt man demnach auf einem Lichtstrahle eine Strecke von 5 Einheiten, gemessen mit einem beliebigen Maßstabe, auf, so giebt die Länge ihrer senkrechten Projektion auf die Flächennormale, gemessen mit dem gleichen Maße, die bezügliche Lichtstufe an.

Insbesondere gehört ein Flächenpunkt einer der Lichtgleichen 5, 4, 3, 2, 1 oder 0 an, wenn eine zur Lichtrichtung parallele Strecke von 5 Einheiten, senkrecht auf seine Normale projiziert, eine Projektion von 5, 4, 3, 2, 1 oder 0 Einheiten Länge liefert. Diesem Satz kann man auch folgende zweite Form geben. Ein Flächenpunkt gehört einer der Lichtgleichen 5, 4, 3, 2, 1 oder 0 an, wenn eine auf seiner Normale aufgetragene Strecke von 5 Einheiten, senkrecht auf einen Lichtstrahl projiziert, eine Projektion von 5, 4, 3, 2, 1 oder 0 Einheiten Länge ergiebt. Diese beiden Definitionen der Lichtgleichen werden weiterhin bis auf zwei Ausnahmen stets unseren Untersuchungen zu Grunde gelegt werden. Sie liefern die Lichtgleichen sowohl auf dem im Licht, wie auf dem im Eigenschatten liegenden Teile der Fläche. Im letzteren Falle werden die Lichtgleichen ebenso wie die zugehörigen Lichtstufen mit 4, 3, 2, 1 und 0 bezeichnet. Die Schlagschatten sind bei allen Figuren dieses Kapitels weggelassen, um die Übersichtlichkeit nicht zu beeinträchtigen; die bezüglichen Fragen sind ja schon früher behandelt.

Cylinderflächen.

917. Der gerade Kreiscylinder (Fig. 580). Wir werden dem Lichtstrahle l stets eine solche Lage geben, daß seine beiden Projektionen l“ und l“ mit der x-Achse einen Winkel von 459 einschließen. Die dargelegten Konstruktionen werden jedoch in gleicher Weise bei jeder beliebigen Annahme der Lichtrichtung Verwendung finden können; auch wird durch die - besondere Annahme keine Vereinfachung der Konstruktion erzielt. Da die Cylinderflächen von ihren Tangentialebenen längs Mantellinien berührt werden, so sind die Lichtgleichen der Cylinderflächen selbst Mantellinien. Man hat also nur auf dem Grundkreis k die Punkte der Lichtgleichen zu zeichnen. Die Flächennormalen in den Punk

- ten dieses Kreises gehen Fig. 580. durch seinen Mittelpunkt M. Zieht man durch M. den Lichtstrahl l, trägt auf ihm die Strecke MAV = 'r, dem Radius von k., auf und teilt diese Strecke in fünf gleiche Teile, so schneiden die in diesen Teilpunkten auf l errichteten Normalebenen den Grundkreis k in Punkten der bezüglichen Lichtgleichen. Ist nämlich P ein solcher Punkt auf k, so projiziert sich die Flächennormale PM = r auf den Lichtstrahl l als ein ganzzahliges Vielfaches von r: 5. Denn diese Projektion wird einerseits von M und andererseits von der durch P senkrecht

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zu l gelegten Ebene begrenzt. In der Figur ist l um l“ in den Grundriß als l, umgelegt. Die genannten Normalebenen schneiden die Ebene ll“ in Geraden senkrecht zu l und die Grundkreisebene in Geraden senkrecht zu l“. Man teile also MN% (N% = kx 1) in fünf gleiche Teile, errichte in den Teilpunkten auf l, die Normalen und in ihren Schnittpunkten mit l“ die Normalen auf l“; diese schneiden k in den Punkten der gesuchten Lichtgleichen. Die Mantellinie im besitzt die größte Helligkeit, die wenig über 4 liegt. Die Lichtgleichen im Eigenschatten schneiden k in Punkten, die den Endpunkten der bezüglichen Lichtgleichen des beleuchteten Teiles diametral gegenüber liegen. Aus den Lichtgleichen des geraden Kreiscylinders ergeben sich auch diejenigen des geraden Cylinders mit beliebiger Grundkurve. Sie gehen durch die Punkte dieser Grundkurve, deren Tangenten den bezüglichen Tangenten jenes Grundkreises parallel laufen. 918. Der gerade Cylinder in schiefer Lage (Fig. 581). Nach den vorangehenden Erläuterungen haben wir durch den Mittelpunkt M des Grundkreises k einen Lichtstrahl l’ zu ziehen, auf ihm eine Strecke MN, gleich dem Radius r von k, aufzutragen, diese in fünf gleiche Teile zu teilen und durch jeden der Teilpunkte eine Normalebene zum Lichtstrahl zu legen. Diese Ebenen schneiden dann auf dem Kreise k die Punkte der Lichtgleichen aus. Um die Konstruktion durchzuführen, projizieren wir den Lichtstrahl l senkrecht auf die Ebene des Grundkreises k und nennen diese Projektion p. Errichten wir dann auf dem Lichtstrahle l in einem jener Teilpunkte die in der Ebene lp liegende Normale, und in ihrem Schnittpunkte mit p die in der Grundkreisebene liegende Normale auf p, so schneidet diese k in den Punkten derjenigen Lichtgleichen, die dem gewählten Teilpunkte entsprechen. Zu diesem Zwecke drehen wir einerseits die Ebene lp und andererseits die Grundkreisebene parallel zum Grundriß. Ist L ein Punkt auf l und die Gerade q durch L normal zu der Ebene von k, d. h. parallel zu den Mantellinien des Cylinders, so liegt p in der Ebene lq. Bestimmen wir nun den Punkt K auf q derart, daß M“K“| x ist, so können wir die Ebene lq, die auch p enthält, um die Achse MK parallel zum Grundriß drehen. Dabei gelangt L nach L, also ist l, = M'L, q% = K'L, und p, = M'P% das von M" auf q, gefällte Lot. Drehen wir ferner die Grundkreisebene um den horizontalen Durchmesser a von k parallel zum Grundriß, so geht k in den Kreis ko und p in die Gerade po= M'Po über, wobei P9 auf q" liegt und M'P% = M'Po ist. Denn Po liegt auf q/ (P„P“ L q") und P'Po muß auf a’ senkrecht stehen; es muß also Po auf q" liegen. In den gedrehten Ebenen kann man die verlangten Normalen auf l resp. p sofort verzeichnen, da sie als Senkrechte zu l, resp. po erscheinen; die Konstruktion gestaltet sich also jetzt wie folgt. Auf , trage man die Strecke M'N% gleich dem Radius von ko auf ziehe die Senkrechte in N% und schneide sie mit p, in Q%; ferner

Fig. 581.

trage man M'Q' = M'Q% aufpo auf und teile diese Strecke in fünf gleiche Teile, so werden die Normalen in diesen Teilpunkten den Kreis ko in den gedrehten Endpunkten der Lichtgleichen schneiden. Eigentlich sollte man M'N, in fünf Teile teilen, die in den Teilpunkten errichteten Normalen teilen aber auch M'Q, = M'Q9 in fünf gleiche Teile. Dreht man zuletzt den Kreis ko um a in seine ursprüngliche Lage zurück, so werden die auf ko liegenden Endpunkte der Lichtgleichen Kreisbogen beschreiben, ihre ersten Projektionen aber sich auf Senkrechten zu a bewegen. Da nun die Lichtgleichen des Cylinders Mantellinien sind und ihre ersten Projektionen ebenfalls zu a senkrecht liegen, so müssen diese Projektionen, entweder direkt oder verlängert, durch die bezüglichen Punkte auf ko gehen. Die Mantellinie m weist die größte Helligkeit auf, die etwa in der Mitte zwischen 4 und 5 liegt. Im Eigenschatten findet man die Lichtgrenzen in gleicher Weise. Zu den zweiten Projektionen der Lichtgleichen gelangt man, indem man die Grundkreisebene parallel zum Aufriß dreht; dadurch geht k in die Lage ka und p in die Lage pa = M“P% über, wobei M"P% = M'P% ist und P% auf q“ liegt (ganz analog wie P" auf q"). Trägt man auf p, die gleichen Teilstrecken wie auf p" auf, so schneiden die in ihren Endpunkten errichteten Normalen den Kreis k, in Punkten, durch welche die Aufrisse der Lichtgleichen, oder deren Verlängerungen gehen. Handelt es sich um die Lichtgleichen eines geraden Cylinders mit beliebiger Basiskurve c, so drehe man c parallel zum Grundriß in die Lage c", und bestimme ganz wie vorher die Punkte auf dem Kreise ko. Zwei Punkte von c’9 und k’, deren Tangenten parallel laufen, gehören zu zwei Lichtgleichen von gleicher Helligkeit, so daß sich leicht zu den Lichtgleichen des Kreiscylinders die entsprechenden des anderen zeichnen lassen. Man kann auch von den Tangenten in den Punkten von ko durch Affinität zu den Tangenten in den bezüglichen Punkten von k“ übergehen und darauf die parallelen Tangenten von c' ziehen; durch deren Berührungspunkte gehen dann die ersten Projektionen der betreffenden Lichtgleichen. 919. Der schiefe Kreiscylinder, dessen Grundkreis k in der Grundrißebene liegt. (Fig. 582). Wir benutzen einen geraden Kreiscylinder, dessen Mantellinien zu denen des schiefen Cylinders parallel laufen und dessen Grundkreis d in einer dazu senkrechten Ebene liegt. Für diesen geraden Cylinder können wir ganz wie vorher die Lichtgleichen finden. In der seitlichen Figur ist der Mittelpunkt M von d auf der x-Achse gewählt, durch ihn der Lichtstrahl l gelegt und durch einen Punkt L dieses Strahles eine Parallele q zu den Mantellinien gezogen; ihr erster Spurpunkt sei K. Die Ebene ql steht auf der Ebene von d senkrecht und schneidet sie in einer Geraden p. Legt man sie um KM um, so geht L in L, l in l, = ML, q in q% = KL, und p in p% = MP% (L q%) über. Legt man ferner die Grundkreisebene um a|L q") um,

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