zu 7 gelegten Ebene begrenzt. In der Figur ist um l' in den Grundriß als umgelegt. Die genannten Normalebenen schneiden die Ebene l' in Geraden senkrecht zu und die Grundkreisebene in Geraden senkrecht zu l'. Man teile also MN (Nkx l) in fünf gleiche Teile, errichte in den Teilpunkten auf die Normalen und in ihren Schnittpunkten mit l' die Normalen auf l'; diese schneiden k in den Punkten der gesuchten Lichtgleichen. Die Mantellinie m besitzt die größte Helligkeit, die wenig über 4 liegt. Die Lichtgleichen im Eigenschatten schneiden k in Punkten, die den Endpunkten der bezüglichen Lichtgleichen des beleuchteten Teiles diametral gegenüber liegen. Aus den Lichtgleichen des geraden Kreiscylinders ergeben sich auch diejenigen des geraden Cylinders mit beliebiger Grundkurve. Sie gehen durch die Punkte dieser Grundkurve, deren Tangenten den bezüglichen Tangenten jenes Grundkreises parallel laufen. 918. Der gerade Cylinder in schiefer Lage (Fig. 581). Nach den vorangehenden Erläuterungen haben wir durch den Mittelpunkt M des Grundkreises k einen Lichtstrahl 7 zu ziehen, auf ihm eine Strecke MN, gleich dem Radius r von k, aufzutragen, diese in fünf gleiche Teile zu teilen und durch jeden der Teilpunkte eine Normalebene zum Lichtstrahl zu legen. Diese Ebenen schneiden dann auf dem Kreise k die Punkte der Lichtgleichen aus. Um die Konstruktion durchzuführen, projizieren wir den Lichtstrahl 7 senkrecht auf die Ebene des Grundkreises k und nennen diese Projektion p. Errichten wir dann auf dem Lichtstrahle 7 in einem jener Teilpunkte die in der Ebene lp liegende Normale, und in ihrem Schnittpunkte mit p die in der Grundkreisebene liegende Normale auf p, so schneidet diese k in den Punkten derjenigen Lichtgleichen, die dem gewählten Teilpunkte entsprechen. Zu diesem Zwecke drehen wir einerseits die Ebene lp und andererseits die Grundkreisebene parallel zum Grundriß. Ist ein Punkt auf und die Gerade g durch L normal zu der Ebene von k, d. h. parallel zu den Mantellinien des Cylinders, so liegt p in der Ebene lg. Bestimmen wir nun den Punkt K auf q derart, daß M"K" || x ist, so können wir die Ebene lq, die auch p enthält, um die Achse MK parallel zum Grundriß drehen. Dabei gelangt L nach Lo, also ist = M'Lo, q% = K'L。, und P。 = K'L。, und p。 = M'P, das von M' auf % gefällte Lot. Drehen wir ferner die Grundkreisebene um den horizontalen Durchmesser a von k parallel zum Grundriß, geht k in den Kreis ko und p in die Gerade po M'Po über, wobei Po auf q' liegt und M'P = M' P0 ist. Denn P' liegt auf q' = (PP'q') und P'Po muß auf a' senkrecht stehen; es muß also Po auf q' liegen. In den gedrehten Ebenen kann man die verlangten Normalen auf 7 resp. p sofort verzeichnen, da sie als Senkrechte zu 1, resp. po erscheinen; die Konstruktion gestaltet sich also jetzt wie folgt. Auftrage man die Strecke M'No gleich dem Radius von ko auf, ziehe die Senkrechte in N und schneide sie mit po in Q.; ferner = Fig. 581. trage man M'Q° M'Q, auf p° auf und teile diese Strecke in fünf gleiche Teile, so werden die Normalen in diesen Teilpunkten den Kreis ko in den gedrehten Endpunkten der Lichtgleichen schneiden. Eigentlich sollte man M'N in fünf Teile teilen, die in den Teilpunkten errichteten Normalen teilen aber auch M'Q, M'Q° in fünf gleiche Teile. Dreht man zuletzt den Kreis ko um a in seine ursprüngliche Lage zurück, so werden die auf k° liegenden End = punkte der Lichtgleichen Kreisbogen beschreiben, ihre ersten Projektionen aber sich auf Senkrechten zu a' bewegen. Da nun die Lichtgleichen des Cylinders Mantellinien sind und ihre ersten Projektionen ebenfalls zu a' senkrecht liegen, so müssen diese Projektionen, entweder direkt oder verlängert, durch die bezüglichen Punkte auf k gehen. Die Mantellinie m weist die größte Helligkeit auf, die etwa in der Mitte zwischen 4 und 5 liegt. Im Eigenschatten findet man die Lichtgrenzen in gleicher Weise. Zu den zweiten Projektionen der Lichtgleichen gelangt man, indem man die Grundkreisebene parallel zum Aufriß dreht; dadurch geht k in die Lage k und p in die Lage p = M"P ̧ über, wobei M'PAM'P ist und P auf q' liegt (ganz analog wie Po auf q'). Trägt man auf p▲ die gleichen Teilstrecken wie auf po auf, so schneiden die in ihren Endpunkten errichteten Normalen den Kreis k1 in Punkten, durch welche die Aufrisse der Lichtgleichen, oder deren Verlängerungen gehen. A Handelt es sich um die Lichtgleichen eines geraden Cylinders mit beliebiger Basiskurve c, so drehe man c parallel zum Grundriß in die Lage co, und bestimme ganz wie vorher die Punkte auf dem Kreise ko. Zwei Punkte von c° und ko, deren Tangenten parallel laufen, gehören zu zwei Lichtgleichen von gleicher Helligkeit, so daß sich leicht zu den Lichtgleichen des Kreiscylinders die entsprechenden des anderen zeichnen lassen. Man kann auch von den Tangenten in den Punkten von k° durch Affinität zu den Tangenten in den bezüglichen Punkten von k' übergehen und darauf die parallelen Tangenten von c' ziehen; durch deren Berührungspunkte gehen dann die ersten Projektionen der betreffenden Lichtgleichen. 919. Der schiefe Kreiscylinder, dessen Grundkreis k in der Grundrißebene liegt. (Fig. 582). Wir benutzen einen geraden Kreiscylinder, dessen Mantellinien zu denen des schiefen Cylinders parallel laufen und dessen Grundkreis d in einer dazu senkrechten Ebene liegt. Für diesen geraden Cylinder können wir ganz wie vorher die Lichtgleichen finden. In der seitlichen Figur ist der Mittelpunkt M von d auf der x-Achse gewählt, durch ihn der Lichtstrahl gelegt und durch einen Punkt Z dieses Strahles eine Parallele q zu den Mantellinien gezogen; ihr erster Spurpunkt sei K. Die Ebene ql steht auf der Ebene von d senkrecht und schneidet sie in einer Geraden p. Legt man sie um KM um, so geht L in L。, 7 in l。 ML, q in q = KL und p in p。 = MP。 9 (190) über. Legt man ferner die Grundkreisebene um a(1 q') um, = Ро so nimmt d die Lage d° und p die Lage po = MP0 an (MP1 = MPo, Po auf q). Jetzt errichte man in N auf eine Senkrechte (MN。 gleich dem Radius von d), die p。 in einem Punkte Q schneiden wird, trage MQ=MQ° auf po auf, teile diese Strecke in fünf gleiche Teile und ziehe in den Teilpunkten die Normalen. Diese schneiden dann do in Punkten, die den Endpunkten der Lichtgleichen auf d entsprechen. Die ersten Spurpunkte der Lichtgleichen des geraden Kreiscylinders liegen auf einer Ellipse s, seiner ersten Spurkurve. Die Kurven d und s sind durch die Mantellinien aufeinander affin bezogen; jede Lichtgleiche trifft d und s in affinen Punkten und auch die Tangenten von d und s in diesen Punkten sind affin. Aus der Affinität von d und s folgt aber auch die Affinität do und s (Affinitätsachse a, affine Punkte K und Po). Bestimmt man also in der vorber geschilderten Weise für jede Lichtgleiche des geraden Cylinders den zugehörigen Punkt auf do und zieht in ihnen die Tangenten an do, dann sind die dazu affinen Geraden die ersten Spurlinien der Ebenen, die den Cylinder längs der betreffenden Lichtgleichen berühren. Zieht man zu diesen Spurlinien die parallelen Tangenten an die Spurkurve k des schiefen Cylinders (k kann eine beliebige Kurve sein), so sind ihre Berührungspunkte die ersten Spurpunkte der bezüglichen Lichtgleichen desselben. In der Figur sind nun nicht die umgelegten Endpunkte der Lichtgleichen auf do gezeichnet, sondern die um 90° auf do verschobenen Punkte. Zu diesem Zwecke ist MQ = MQ▲ auf på (1po) aufgetragen; die Normalen in den Teilpunkten dieser Strecke schneiden dann auf do die um 90° verschobenen Punkte aus. Die Radien nach diesen Punkten sind zu den Tangenten in den ursprünglichen, nicht verschobenen Punkten von do parallel. Sucht man zu diesen Radien die affinen Geraden (Affinitätsachse a, affine Punkte K und Po), so berühren die dazu parallelen Tangenten an die Grundkurve k des schiefen Cylinders dieselbe in den Spurpunkten der Lichtgleichen. Kegelflächen. 920. Der gerade Kreiskegel (Fig. 583). Auch bei den Kegelflächen bestehen die Lichtgleichen aus Mantellinien, so daß es genügt, ihre Spurpunkte auf der Grundkurve zu bestimmen. S sei die Spitze und k der Grundkreis eines geraden Kreiskegels. Die Flächennormalen in den Punkten von k bilden die Mantellinien eines zweiten Kegels mit dem Grundkreis und der Spitze N (SN ist die gemeinsame Achse beider Kegel). Zieht man durch N einen Lichtstrahl i (7), trägt auf ihm von N aus die Strecke NJ von der Länge der Mantellinien des Normalenkegels ab, teilt sie in fünf gleiche Teile und errichtet in den Teilpunkten Normalebenen auf i, so schneiden diese den Kreis k in den Endpunkten der Lichtgleichen. Ist nämlich P einer dieser Punkte, so projiziert sich die Flächennormle PN auf den Lichtstrahl i als ein ganzzahliges Vielfaches |