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vergieren; Parallelen zu TT, insbesondere die Vertikalen, haben parallele Bilder. Um einen Punkt Pabzubilden, legt man durch ihn eine Gerade und schneidet ihr Bild i, mit dem Sehstrahle OP in P. Die Abbildung einer Ebene E ergiebt sich als Verbindungsebene E, ihrer Spurlinie e = Ex TT und ihrer Fluchtlinie e,, die in TT, als Spur der Parallelebene durch das Auge O. erhalten wird. Speziell verbindet das Relief T, der Bodenfläche T die Grundlinie g mit dem Horizonte h,. 912. Das Objekt sei durch seinen Grund- und Aufriß definiert. Als Grundrißebene benutzen wir T., als Aufrißebene TT. Zur Konstruktion des räumlichen Abbildes oder Reliefs dienen folgende Sätze. a) Die in der Ebene TT aus dem Augpunkte A, entworfene Perspektive des Objektes ist mit dem Aufriß seines Reliefs identisch. In der That: eine beliebige Gerade i, ihre Reliefgerade i, und deren Aufriß i“ haben den Spurpunkt J gemein und sind paarweise perspektiv aufeinander bezogen, nämlich i und i, aus dem Centrum O, i, und i“ aus dem unendlich fernen Punkte von OA, und folglich i und i“ aus einem auf OA, gelegenen Centrum (172). Letzteres ist der Punkt A, weil der Aufriß J„“ des Fluchtpunktes J, dem unendlich fernen Punkte von i entspricht und AJ, | OJ, | i ist. 3) Der Grundriß des Reliefs geht aus dem des Gegenstandes durch eine Centralprojektion in der Grundebene T hervor; ihr Centrum ist der Grundriß O“ des Auges, ihre Achse ist die Grundlinie g und ihre Fluchtlinie T x TT.. Der Grundriß des Objektes liegt zu seinem Relief perspektiv aus dem Centrum O; andererseits ist der Grundriß des Reliefs die senkrechte Projektion vom Relief des Grundrisses, weil Vertikalen Vertikale entsprechen. Hieraus folgt nach 172 die Behauptung. 7) Legt man das Relief des Grundrisses um die Grundlinie g in die Spurebene TT um, so bleibt es zum Grundriß des Objektes perspektiv; das neue Centrum ist die Umlegung O, von O in die Verschwindungsebene TT, um die Linie T x TT, (173). Es folgt also: Die in der Ebene TT aus dem Augpunkte O, entworfene Perspektive des Grundrisses ist mit seinem Relief kongruent. Als Beispiel für die Reliefperspektive ist ein Obelisk auf quadratischem Sockel behandelt. Beide, das Objekt und sein Relief sind in Fig. 579 in schiefer Projektion dargestellt. Es erscheint nicht nötig, näher auf die Konstruktion einzugehen.

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913. Die Centralkollineation des Raumes umfaßt als Spezialfälle: a) die perspektive Affinität räumlicher Figuren, wenn das Centrum O ein unendlich ferner Punkt ist; 3) die perspektive Ähnlichkeit, wenn die Kollineationsebene TT die unendlich ferne Ebene ist; 7) die Kongruenz, wenn O und TT beide unendlich fern liegen. Die Centralkollineation kann dazu dienen, aus den Eigenschaften einer einfach definierbaren Fläche oder Kurve die aller

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ihrer kollinear verwandten Flächen und Kurven abzuleiten. In ähnlicher Weise, wie man alle Kegelschnitte als Centralprojektionen eines Kreises erklären und untersuchen kann, würde man z. B. alle Oberflächen zweiten Grades ableiten können und zwar die Nichtregelflächen 2. Grades aus der Kugel, die Regelflächen aus dem Rotationshyperboloid, die Kegel- und Cylinderflächen 2. Grades aber aus dem Rotationskegel. Je nachdem eine Kugel die Verschwindungsebene TT, nicht schneidet, berührt oder schneidet, geht sie durch Centralkollineation über in ein Ellipsoid, ein elliptisches Paraboloid, oder in ein zweischaliges Hyperboloid. Ein einschaliges Rotationshyperboloid ergiebt im allgemeinen als Bild ein fläche mit der Verschwindungsebene TT, in ein Linienpaar zerfällt, also TI, zur Tangentialebene wird, ist das Bild ein hyperbolisches Paraboloid. Ein Rotationskegel ergiebt als Bild im allgemeinen einen elliptischen oder schiefen Kreiskegel; liegt aber seine Spitze in der Verschwindungsebene, so wird die kollinear-verwandte Fläche ein elliptischer, parabolischer oder hyperbolischer Cylinder, je nachdem die Verschwindungsebene keine, eine oder zwei Mantellinien des Originalkegels enthält.

einschaliges Hyperboloid; nur wenn der Schnitt der Original

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SIE BZ EHNT ES KAPITEL,

Beleuchtung von Flächen.

914. Jeder Gegenstand wird unserem Auge sichtbar durch die von seiner Oberfläche ausgehenden Lichtstrahlen. Die Stärke oder Intensität des Lichtes, welches die verschiedenen Stellen der Oberfläche entsenden, ist verschieden, so daß unser Auge von den einzelnen Teilen der Fläche den Eindruck verschiedener Grade von Helligkeit empfängt. Diese Helligkeitsunterschiede sind es ganz besonders, die uns die Auffassung eines räumlichen Gegenstandes erleichtern. Zwar gestattet das Sehen mit beiden Augen bereits ein Urteil über die räumliche Anordnung, doch wird dasselbe durch

die auftretenden Helligkeitsunterschiede wesentlich unterstützt und vervollkommnet.

Schon die verschiedenen Grade der Helligkeit, die uns stets beim Betrachten natürlicher Objekte entgegentreten, werden uns veranlassen, auch bei der bildlichen Darstellung derselben verschiedene Stufen der Helligkeit anzuwenden. Der Grund jedoch, der für die Anwendung solcher Helligkeitsstufen den Ausschlag giebt, liegt darin, daß das Bild erst hierdurch die richtige Vorstellung des dargestellten Objektes in uns erweckt. Wenn wir von einer Fläche die beiden scheinbaren Umrisse im Grund- und Aufriß kennen, so kann die Gestalt derselben noch nicht daraus erschlossen werden; ja die wahren Umrisse sind noch unbekannt, wenn wir nicht auch die zweite Projektion von ihnen kennen. Auch die Projektionen der Lichtgrenze geben nur einen geringen Anhalt, falls wir nicht über die Natur der Fläche anderweit unterrichtet sind. Um uns die wirkliche Gestalt einer Fläche klar zu machen, müssen wir zu anderen Hilfsmitteln greifen. Wir können etwa ein Kurvensystem auf der Fläche darstellen; hierzu eignen sich besonders Parallelschnitte, wie z. B. die Anwendung der Horizontallinien bei den topographischen Flächen. Immerhin würden auch hier beide Projektionen dieser Kurven, oder bei Horizontalkurven außer den ersten Projektionen die Abstände ihrer Ebenen erforderlich sein. Es erfordert indes eine gewisse Übung, sich an den Horizontalkurven eine deutliche Vorstellung der Fläche zu bilden.

Anders verhält es sich bei der Anwendung von Helligkeitsstufen in der bildlichen Darstellung. Unser Vorstellungsvermögen ist durch die Natur geübt, aus den verschiedenen Graden der Helligkeit einer Oberfläche auf deren Gestaltung zu schließen. Je nach ihrer Lage gegen die Lichtstrahlen erhalten die verschiedenen Stellen der Oberfläche verschiedene Beleuchtung, und aus der Stärke dieser Beleuchtung in jedem einzelnen Punkte kann auf die Neigung seiner Tangentialebene gegen die Lichtstrahlen geschlossen werden. Um die Verhältnisse möglichst einfach zu gestalten, nimmt man parallele Lichtstrahlen an. Schneidet man ein quadratisches Lichtprisma, d. h. die Gesamtheit aller parallelen Lichtstrahlen, die durch eine quadratische Öffnung mit zur Lichtrichtung normaler Ebene fallen, mit verschiedenen Ebenen, so empfangen die Schnittflächen stets die gleiche Lichtmenge. Die Größe dieser Schnittfläche multipliziert mit dem Cosinus ihres Neigungswinkels gegen die Ebene jenes Quadrates ist gleich dem Quadrate. Nimmt man also die Stärke der Beleuchtung proportional zu der Menge des auffallenden Lichtes an, und ist J die Beleuchtungsstärke einer zur Lichtrichtung normalen Ebene, so ist J - cos diejenige einer Ebene, deren Normale den Winkel - mit der Lichtrichtung bildet. In jedem Punkte einer Fläche ist demnach die Stärke der Beleuchtung gleich

/ - cos ,

wenn , den Neigungswinkel der Flächennormale gegen die Lichtrichtung bedeutet.

Aus der Stärke der Beleuchtung in einem Flächenpunkte kann zunächst noch nicht die Stellung seiner Tangentialebene im Raume, sondern nur deren Neigung gegen die Lichtrichtung gefolgert werden. Aber aus der Änderung dieser Stärke in der Umgebung dieses Punktes läßt sich auf die Gestaltung der Fläche daselbst schließen.

Kennt man also in allen Punkten einer Fläche die Stärke der BeROHN u. PAPPERITZ. II. 31

leuchtung, so vermittelt uns dieselbe die Vorstellung ihrer Gestaltung. Bei der bildlichen Darstellung einer Fläche wird man die verschiedenen Helligkeitsgrade durch Abtönen vermittelst verschieden starker Tuschlagen nachzuahmen suchen. Dazu wird es nötig sein, auf der Fläche Kurven zu bestimmen, deren Punkte gleich stark beleuchtet sind, und denen man den Namen Lichtgleichen oder Isophoten beilegt. Es wird unsere Aufgabe in diesem Kapitel sein, für die verschiedenen Flächenfamilien die Lichtgleichen zu bestimmen. Es ist klar, daß die zunächst gewählten parallelen Lichtstrahlen nur eine Abstufung der Beleuchtung auf dem belichteten Teile der Fläche ergeben würden. Man nimmt nun noch ein Reflexlicht an, dessen Strahlen den direkten Strahlen parallel, aber entgegengesetzt gerichtet und von viel geringerer Stärke sind. Diese Annahme entspricht auch ziemlich den wirklichen Beobachtungen des von der Luft herrührenden Reflexlichtes; von Reflexlichtern, die von belichteten Flächen ausgehen, muß natürlich wegen der Schwierigkeit der Verhältnisse abgesehen werden. Neben der wahren Beleuchtung einer Fläche, die nur von der Lichtrichtung bedingt ist, wird gelegentlich auch noch die scheinbare Beleuchtung, die gleichzeitig von der Projektionsrichtung abhängt, behandelt. Die Konstruktionen werden jedoch für die scheinbare Beleuchtung schon ziemlich kompliziert, und wir werden deshalb allein die wahre Beleuchtung in Betracht ziehen. Trägt man in dem Bilde die den Helligkeitsstufen der wahren Beleuchtung entsprechenden Farbentöne auf, so macht dasselbe so ziemlich einen der Wirklichkeit entsprechenden plastischen Eindruck, der dem durch die Helligkeitsstufen der scheinbaren Beleuchtung erzielten Effekte wenig nachsteht. 915. Wir gehen von einer Beleuchtung durch parallele Lichtstrahlen aus, die auf jeder zur Lichtrichtung normalen Ebene überall die gleichstarke Beleuchtung J hervorbringt. Außerdem nehmen wir noch Reflexlicht an, dessen Strahlen denen des direkten Lichtes parallel, aber entgegengesetzt gerichtet sind, und das auf einer Normalebene die gleiche Beleuchtungsstärke J erzeugt. Jedes im direkten Lichte liegende Flächenelement besitzt die Helligkeit J - cos , jedes im Eigenschatten liegende die Helligkeit J - cos . Jede Lichtgleiche oder Isophote auf einer Fläche ist als der Ort der Punkte definiert, deren Flächennormalen mit der Lichtrichtung den gleichen Winkel bilden. Um nun eine Grundlage zum

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