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Rotation um a die Fläche A. Die Flächen A und B können auch als Hüllflächen angesehen werden. Rotiert B um a, so ist A die Hüllfläche für alle Lagen von B; die Berührungskurven aller dieser Flächen gehen aus c durch Rotation hervor; ganz ebenso ist B die Hüllfläche für alle Lagen von A, wenn A um die Achseb rotiert. Sind a und b die Achsen zweier Rotationsflächen A und B, die sich längs einer Kurve berühren, und ist die Meridiankurve m der Fläche A gegeben, so sei die Berührungskurve e und die Meridiankurve n von B zu konstruieren. Wir wählen П1⁄2 parallel zu a und b und П1 senkrecht zu a und bestimmen auf einem beliebigen Parallelkreise i von A die beiden Punkte P und Q von c (Fig. 358). Ist E der Schnittpunkt von i mit dem Hauptmeridian m, SO zeichnen wir die Normale EJ im Punkte E von m, die a in J trifft;

die Flächennormalen in den Punkten des Parallelkreises

bilden

einen Kegel mit dem "

Scheitel J. Eine Ebene

durch b und J schneidet aus dem Kegel Kegel die beiden Mantellinien aus, die die gesuchten Punkte P und Q tragen; diese Punkte liegen also auf der Schnittlinie GH der Ebene bJ mit der Ebene des Kreises i (H" = b′′ × ï′′, H' auf b', J"G"b", G" = J"G" X", K Mittelpunkt

=

"

m"

E

G" HIK"

m"

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von i, G'K' || x, P' G'H' xi, Q' noch die Ebenen Pb resp. Qb um b

=

P

Fig. 358.

G'H' x ¿').

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G'H' '). Drehen wir nun parallel zu П1⁄2, so liefern P und die Punkte P. und Q, des Hauptmeridians n von B (P"P" 1 b′′, (P." − b′′) = (P − b)).

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560. Ein gerader Kreiscylinder mit der Achse a rotiert um eine Achse b; seine Hüllfläche zu bestimmen. П, werde zu a normal, П1⁄2 zu a und b parallel gewählt (Fig. 359); die Be

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rührungskurve c des Cylinders in seiner Anfangslage mit der Hüllfläche ist dann leicht anzugeben. Da hier ihre erste Projektion c' mit dem Spurkreise k des Cylinders zusammenfällt und die Normalen dieses Cylinders horizontal sind, so können wir durch einen beliebigen Punkt R von b das Lot zu a mit dem Fußpunkte S zeichnen, das den Cylinder in zwei Punkten P und Q von c schneidet (R'S" || x, R'S × k = P', R'S × k=Q). Jede Mantellinie trägt im

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die ganze

Endlichen einen Punkt von c, Kurve с besteht aus zwei Teilen, von denen jeder aus dem anderen durch eine Drehung von 180° um die Achse a hervorgeht. Die beiden Mantellinien, welche in der zu b parallelen Ebene durch a sich befinden, sind die Asymptoten von c. Auf der gemeinsamen Normalen von a und b liegen die Punkte J und K von c, deren Schmiegungsebenen zu π2 senkrecht sind; c" hat also in J" = K" einen Doppelpunkt, der für

die beiden Zweige zugleich Wendepunkt ist (b" ist nicht Wendetangente).

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Drehen wir die Gerade RS um b parallel zu П, in die Lage RS (SS1b", R"S RS R'S'), so gelangen P und Q nach P und Q auf R'S (PoS。 SoQor, dem Radius von k); diese Punkte

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=

=

=

=

P und Q gehören dem Hauptmeridian n der Hüllfläche an. S entsteht aus dem Punkte S von a durch Rotation um die Achse b; durch Rotation der Geraden a um die Achse b entsteht aber ein Rotationshyperboloid, dessen Hauptmeridian eine Hyperbel h。 ist; sie trägt den Punkt S. Die Nebenachse von h, ist b", ihre eine Asymptote fällt mit a" zusammen. Die gerade RS ist die Normale der Hyperbel h im Punkte S. Denn RS steht in S senkrecht zu a und trifft die Achse b des genannten Hyperboloides, d. h. RS ist die Normale dieser Fläche im Punkte S; deshalb ist RS auch eine Normale der Meridianhyperbel durch S, und in der gedrehten Lage ist RS, die Normale von ho in S. Tragen wir auf dieser Normalen nach beiden Seiten hin die gleiche Strecke r auf, so erhalten wir zwei Punkte P und Q, von no. Der Hauptmeridian n der Hüllfläche ist also eine Parallelkurve zu der Hyperbel ho im Abstande r. Die Kurve n besteht aus zwei Teilen, von denen der eine außerhalb ho, der andere im Innern von ho liegt; letzterer hat zwei Spitzen und F. auf der Evolute vo von h und einen Doppelpunkt G auf JK.

561. Zwei Hyperboloide können sich längs einer Erzeugenden berühren. Die Hyperboloide seien A und B, ihre Achsen a und b, die gemeinsame Erzeugende e. Wenn sich die Rotationsflächen längs e berühren sollen, so müssen die gemeinsamen Flächennormalen in den Punkten von e sowohl a wie b treffen. Alle diese Flächennormalen liegen in Ebenen, die zu e senkrecht stehen; sie müssen deshalb die Achsen a und b in ähnlichen Punktreihen schneiden, da sie in parallelen Ebenen liegen. Projizieren wir das Ganze auf eine Ebene П1, die auf e senkrecht steht, so erscheinen die Normalen als Geraden durch den Spurpunkt E, von e; soll aber das Strahlbüschel mit dem Scheitel E, auf a' und b' ähnliche Punktreihen ausschneiden, so muß b'|| a' sein. Die Achsen a, b und die Erzeugende e sind somit zu einer und derselben Ebene parallel, die wir als Aufrißebene benutzen (Fig. 360).

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Geht man nun von einem Hyperboloid A mit der Achse a aus, so giebt es noch unendlich viele Hyperboloide, die dasselbe längs der Erzeugenden e berühren. Sind nämlich 41 und A, resp. E1 und E, die Spurpunkte von a und e in zwei zu e senkrechten

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Ebenen П, und П,, so bildet jede Gerade b, deren Spurpunkte B1 und B, resp. auf 11 und ÃE, liegen und für die В1B ̧ ́|| Â ̧Ã1⁄2'

3

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ist, die Achse eines Rotationshyperboloides B, das A längs e berührt. Denn ist A irgend ein Punkt auf Д und В, ein Punkt auf B1B, derart, daß B2B1: B2Bз

=

2

1

2

3

А4: А ist, so geht BA, durch E1 = E', d. h. B1⁄21⁄2 trifft e, und es liegen ÁВ1, АВ ̧ und AВ2

19 3 3

2

2

in parallelen Ebenen, d. h. es ist B42 Le und deshalb eine gemeinsame Normale von A und B.

Sind wir nun über die gegenseitige Lage der Achsen a, b und der Erzeugenden e orientiert, so sind uns auch un

mittelbar die Mittelpunkte M und N der Flächen A und B bekannt, denn MN ist die gemeinsame Normale von a, b und e. Ist P=MNx e, so sind PM und PN die Radien der Kehlkreise unserer beiden Flächen. Eine Parallele zu e durch M liefert die zu П, parallele Mantellinie des Asymptotenkegels von A, sie ist also eine Asymptote des Hauptmeridians m von A; e" ist Asymptote der Hyperbel m", M" ihr Mittelpunkt, M"Q" M'P' ihre halbe Hauptachse, a" ihre Nebenachse. Ganz ebenso bestimmt sich der Hauptmeridian n von B; e" ist Asymptote der Hyperbel n", N" M" ihr Mittelpunkt, die Länge ihrer halben Hauptachse ist gleich N'P'.

=

Die Erzeugenden von A, die mit e zusammen der gleichen Schar angehören, treffen e nicht, schneiden also B in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten außerhalb e. Die Erzeugenden der anderen Schar von A berühren B je in einem Punkte von e. Daraus geht hervor, daß die Hyperboloide A und B außer der

Erzeugenden e, in der sie sich berühren, noch zwei weitere reelle, oder konjugiert imaginäre Erzeugende der anderen Schar gemein haben. Die Lage dieser Erzeugenden ergiebt sich aus der folgenden Betrachtung.

3

3

1

3

3 3

Die Mantellinien der Asymptotenkegel von A und B sind zu den Erzeugenden der bezüglichen Flächen parallel; haben demnach A und B eine Erzeugende gemein, so weisen ihre Asymptotenkegel ein Paar parallele Mantellinien auf. Verschieben wir nun beide Kegel parallel mit sich selbst, bis sie beide den Punkt P zum Scheitel haben, so berühren sie sich längs e und schneiden sich außerdem in zwei reellen, oder imaginären Mantellinien. Um diese zu zeichnen legen wir nach 113 um P als Mittelpunkt eine Kugel, und benutzen eine zu П, parallele Hilfsebene durch P. Diese Hilfsebene schneide die Kugel in k und die Kegel in den Geraden E, E ̧, FF, resp. EE, G1G. Sind dann E1, E, F1, F ̧, G1, G, die Schnittpunkte dieser Geraden mit k, und ist H= E, G1 × E, F, und J = E1F1 × E ̧G, so enthält die durch HJ senkrecht zu П, gelegte Ebene ▲ zwei gemeinsame Mantellinien der Kegel mit dem Scheitel P. Sind diese Mantellinien reell, so schneidet jede Parallelebene zu ▲ die Kegel mit dem Scheitel P in Hyperbeln mit parallelen Asymptoten, d. h. in ähnlichen und ähnlich liegenden Hyperbeln. Jede Parallelebene zu ▲ schneidet also auch die Asymptotenkegel, und folglich die Hyperboloide A und B in ähnlichen und ähnlich liegenden Hyperbeln; diese letzteren berühren sich in dem auf e liegenden gemeinsamen Punkte, der deshalb das Ähnlichkeitscentrum für sie darstellt. Unter den Parallelebenen zu ▲ giebt es zwei, die A berühren, also in Geradenpaaren schneiden; sie berühren gleichzeitig auch B und schneiden es in Geradenpaaren. Eine solche zu A parallele, gemeinsame Tangentialebene von A und B schneidet diese Flächen in einer, beiden gemeinsamen Erzeugenden und in zwei parallelen Erzeugenden. Es folgt das einfach daraus, daß die zu einem Geradenpaar ähnliche Kurve, falls das Ähnlichkeitscentrum auf einer der Geraden liegt, eben aus dieser Geraden und einer zur anderen parallelen Linie besteht. Die Hyperbeln m" und n" haben dann zwei zu H"J" parallele gemeinsame Tangenten.

In unserer Figur schneidet die Ebene ▲ die Kegel in imaginären Geraden; aber je zwei Geraden dieser Ebene, die in Bezug auf den einen Kegel konjugiert sind, sind es auch in Bezug auf den anderen, da die gemeinsame Potenzlinie der Basiskreise beider Kegel mit den Durchmessern E, F, und E, G, in ▲ liegt. Jede Parallelebene zu ▲ schneidet deshalb beide Kegel in Ellipsen, deren kon

ROHN u PAPPERITZ. II.

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