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der Richtung der Achse verschoben. Die Konstruktion der Schatten auf der Ringfläche ergiebt sich aus 540; sie benützt eine dem Ringe einbeschriebene Hilfskugel, die ihn entlang eines Meridianes berührt. Die Lichtgrenze dieser Hilfskugel ist in einem besonderen Grund- und Aufriß bestimmt, wobei die Aufrißebene zum Lichtstrahl parallel vorausgesetzt wurde. Die Lichtgrenzpunkte sind dann in die einzelnen Meridiane der Ringflächen übertragen. In der Figur bedeuten t die Lichtgrenze auf der Kehlfläche und ihre geradlinige Fortsetzung auf dem Schaftcylinder, u die Lichtgrenze auf dem Basiscylinder und v die auf der Wulstfläche. Die Schlagschatten auf die Grundebene sind durch den unteren Index, die auf das Objekt fallenden durch den oberen Index bereichnet.

Centralkollineation räumlicher Figuren (Reliefperspektive).

907. Zwei Raumfiguren sollen einander Punkt für Punkt in folgender Weise entsprechen:

a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte P und P, gehen durch ein festes Centrum 0.

3) Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei Punkte in gerader Linie und folglich vier Punkten in einer Ebene vier Punkte einer Ebene.

7) Jeder Punkt einer festen Ebene П, der Kollineationsebene, entspricht sich selbst.

Hieraus folgt sofort:

8) Entsprechende Strahlen bezw. Ebenen schneiden sich auf der Ebene ПT; jeder Strahl und jede Ebene durch O entspricht sich selbst; das Gleiche gilt mithin vom Centrum 0.

Durch diese Eigenschaften ist die Beziehung zwischen den beiden Raumfiguren, die wir als Original und Bild unterscheiden, vollständig bestimmt, sobald hinreichende Bestimmungsstücke angegeben werden, um zu jedem Punkte des Originals den entsprechenden Punkt des Bildes finden zu können. Wir nennen diese geometrische Verwandtschaft eine Centralkollineation oder Perspektive räumlicher Figuren. Von ihr gilt der Satz:

908. Die räumliche Centralkollineation ist bestimmt durch Angabe des Centrums O, der Kollineationsebene П und zweier sich entsprechender Punkte P und P1, die auf einem Strahle durch O liegen müssen. Denn zu jedem weiteren Punkte Q des Originals findet man hiernach den Bildpunkt.

Der Strahl PQ = i schneide nämlich П in J, so ist 1 = JP1 sein i Bild, liegt in der Ebene 20 und bestimmt mit dem Strahle OQ den Bildpunkt. Den unendlich fernen Punkten der Geraden i resp. ¿ entsprechen die Gegenpunkte J auf i̟ und J auf i; J heißt der Fluchtpunkt, J, der Verschwindungspunkt (OJ #JJ, OJ #JJ). Der unendlich fernen Ebene im Original- resp. Bildraume entspricht je eine zu П parallele Gegenebene, nämlich die Fluchtebene П und die Verschwindungsebene П. Erstere trägt die Fluchtpunkte, letztere die Verschwindungspunkte aller Geraden des Raumes. Hieraus folgt die Beziehung:

(πT, −1 TT) = (0 – π‰).

Betrachtet man die einander entsprechenden Figuren in irgend einer durch O gelegten Ebene ▲, so zeigt sich, daß sie perspektiv liegen und zwar ist O das Centrum, d▲ X TT die Achse der Perspektive, während d AXП und d Δ Χ Π =AX ПT, die Gegenachsen bilden (vergl. 176 flg.).

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Wir bezeichnen im folgenden den Punkt O als das Auge, die von O ausgehenden Verbindungslinien entsprechender Punkte als Sehstrahlen und die sich selbst entsprechende Ebene als Spurebene ПT.

909. Man kann die Centralkollineation benutzen, um den vom Auge aus hinter der Spurebene П liegenden und sich ins Unendliche ausdehnenden Raum mit den darin enthaltenen Figuren in dem Raume abzubilden, der zwischen П und der Fluchtebene П liegt. Diese Art der Abbildung von Raumfiguren durch andere Raumfiguren nennt man Reliefperspektive. Mit den Reliefs der bildenden Kunst hat sie nur wenig zu thun. Denn der Künstler behandelt das Relief wie eine durch Erhabenheiten des Materials hervorzubringende Zeichnung. Dies ist die ursprüngliche Form der Darstellung, das Flachrelief. Beim Hochrelief lösen sich einzelne Figuren vom Hintergrunde ab; sie werden aber dann ,,rund", d. h. in ihrer wirklichen Gestalt gebildet. Man erkennt also, daß hier kein einheitliches Darstellungsprinzip angewandt wird, wie dies bei der malerischen Perspektive durchführbar ist, sondern die Vermittelung zwischen den verschiedenartigen Darstellungen der Figuren im Vordergrund und Hintergrund bleibt dem subjektiven Ermessen des Künstlers überlassen. Bedeutende Künstler haben versucht, die Gesetze der Reliefperspektive in die plastische Darstellung einzuführen. Aber im strengen Sinne konnte dies nicht geschehen; denn aus praktischen, wie aus ästhetischen Gründen müssen bei den nach dem Hintergrunde (der Fluchtebene) zu immer mehr sich ver

flachenden Figuren die Zwischenräume wegfallen. Hiervon abgesehen, verträgt die Reliefperspektive keine Veränderung des Gesichtspunktes, ohne das Bild verzerrt erscheinen zu lassen. Trotz alledem kann aber die Kenntnis ihrer Regeln dem bildenden Künstler nützlich sein. Sie kommen auch in Verbindung mit den Regeln der malerischen Perspektive in der sog. Theaterperspektive zur Anwendung.

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910. Gegeben sei das Auge 0, die Spurebene ПT, sowie die Fluchtebene П∞, die jedem unendlich fernen Punkte den Durchstoßpunkt seines Sehstrahles zuordnet; dann ist die Kollineation bestimmt. Wir stellen П vertikal; die Horizontalebene H durch O schneide П in h und П in h (Fig. 578); h heißt der Horizont.

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Die Grundebene г, auf der sich die Objekte befinden, liegt parallel zu H und schneidet П in der Grundlinie g. Durch das Auge O ziehen wir die Normale zu П; sie trifft die Ebenen ПT, П∞, П bezw. in A, A, A. A heißt der Hauptpunkt, OA∞ die Distanz und AA die Tiefe des Reliefs. Der in П mit dem Radius 0A um A beschriebene Distanzkreis trifft h in

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den Distanzpunkten D. und E.

911. Die Abbildung einer Geraden i erfolgt nun so, daß man zuerst ihren Spurpunkt J in П und ihren Fluchtpunkt J in П aufsucht; die Reliefgerade i verbindet J mit J. Parallele Gerade haben einerlei Fluchtpunkt, nach welchem ihre Bilder kon

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vergieren; Parallelen zu П, insbesondere die Vertikalen, haben parallele Bilder.

Um einen Punkt P abzubilden, legt man durch ihn eine Gerade i und schneidet ihr Bild mit dem Sehstrahle OP in P1.

Die Abbildung einer Ebene E ergiebt sich als Verbindungsebene E, ihrer Spurlinie e = EXП und ihrer Fluchtlinie e, die in П als Spur der Parallelebene durch das Auge O erhalten wird. Speziell verbindet das Relief r, der Bodenfläche die Grundlinie g mit dem Horizonte h.

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912. Das Objekt sei durch seinen Grund- und Aufriß definiert. Als Grundrißebene benutzen wir r, als Aufrißebene П. Zur Konstruktion des räumlichen Abbildes oder Reliefs dienen folgende Sätze.

a) Die in der Ebene TT aus dem Augpunkte A, entworfene Perspektive des Objektes ist mit dem Aufriß seines Reliefs identisch. In der That: eine beliebige Gerade i, ihre Reliefgerade und deren Aufriß " haben den Spurpunkt J gemein und sind paarweise perspektiv aufeinander bezogen, nämlich i und aus dem Centrum O, ¿ und ¿" aus dem unendlich fernen Punkte von OA, und folglich und " aus einem auf OA gelegenen Centrum (172). Letzteres ist der Punkt 4, weil der Aufriß J" des Fluchtpunktes J dem unendlich fernen Punkte von i entspricht und AJ || OJ || i ist.

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B) Der Grundriß des Reliefs geht aus dem des Gegenstandes durch eine Centralprojektion in der Grundebene hervor; ihr Centrum ist der Grundriß O' des Auges, ihre Achse ist die Grundlinie g und ihre Fluchtlinie × π‰· Der Grundriß des Objektes liegt zu seinem Relief perspektiv aus dem Centrum 0; andererseits ist der Grundriß des Reliefs die senkrechte Projektion vom Relief des Grundrisses, weil Vertikalen Vertikale entsprechen. Hieraus folgt nach 172 die Behauptung.

7) Legt man das Relief des Grundrisses um die Grundlinie g in die Spurebene П um, so bleibt es zum Grundriß des Objektes perspektiv; das neue Centrum ist die Umlegung 0, von O in die Verschwindungsebene П, um die Linie x ПT, (173). Es folgt also: Die in der Ebene TT aus dem Augpunkte 0, entworfene Perspektive des Grundrisses ist mit seinem Relief kongruent.

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Als Beispiel für die Reliefperspektive ist ein Obelisk auf quadratischem Sockel behandelt. Beide, das Objekt und sein Relief sind in Fig. 579 in schiefer Projektion dargestellt. Es erscheint nicht nötig, näher auf die Konstruktion einzugehen.

913. Die Centralkollineation des Raumes umfaßt als Spezialfälle:

a) die perspektive Affinität räumlicher Figuren, wenn das Centrum O ein unendlich ferner Punkt ist;

P) die perspektive Ähnlichkeit, wenn die Kollineationsebene П die unendlich ferne Ebene ist;

7) die Kongruenz, wenn O und П beide unendlich fern liegen. Die Centralkollineation kann dazu dienen, aus den Eigenschaften einer einfach definierbaren Fläche oder Kurve die aller

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ihrer kollinearverwandten Flächen und Kurven abzuleiten. In ähnlicher Weise, wie man alle Kegelschnitte als Centralprojektionen eines Kreises erklären und untersuchen kann, würde man z. B. alle Oberflächen zweiten Grades ableiten können und zwar die Nichtregelflächen 2. Grades aus der Kugel, die Regelflächen aus dem Rotationshyperboloid, die Kegel- und Cylinderflächen 2. Grades aber aus dem Rotationskegel. Je nachdem eine Kugel die Verschwindungsebene П, nicht schneidet, berührt oder schneidet, geht sie durch Centralkollineation über in ein Ellipsoid, ein elliptisches Paraboloid, oder in ein zweischaliges Hyperboloid. Ein einschaliges Rotationshyperboloid ergiebt im allgemeinen als Bild ein einschaliges Hyperboloid; nur wenn der Schnitt der Original

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