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seine Bestimmung bietet daher keine Schwierigkeit mehr dar. Bezüglich der Endtangente (in W) beachte man den Satz (528), wonach die Tangenten von e und e’“ zu der von v und dem Licht

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strahle harmonisch liegen müssen. In der Figur wurde die Bestimmung der Schlagschattengrenze zuerst in Grund- und Aufriß vorgenommen und hieraus die Perspektive abgeleitet (vergl. 8908).

906. Perspektive eines runden Säulen stumpfes. Die Säule steht auf einer quadratischen Plinthe; ihre Basis besteht aus einem Wulst und einer cylindrischen Platte, an die sich eine in den cylindrischen Schaft übergehende Hohlkehle anschließt. Wir behandeln dieses Objekt als ein Beispiel zur perspektiven Darstellung der Rotationsflächen. Der Meridian der Säulenfläche ist im Aufriß gezeichnet; er besteht aus einem Halbkreis, dessen Enddurchmesser der Achse parallel liegt, und dessen hohle Seite der Achse zugekehrt ist, weiter aus einem Stück des verlängerten Durchmessers und einem Viertelkreis mit der hohlen Seite nach außen, dessen Centrum wieder auf der Verlängerung jenes Durchmessers liegt; endlich gehört dazu eine Mantellinie des Schaftcylinders. Die Anfangs- bezw. Endpunkte der genannten Teile des Meridians liegen auf den Parallelkreisen p, q, r, s; die Ebenen des ersten und letzten Parallelkreises begrenzen den Rotationskörper. Zur Konstruktion der Perspektive sind angegeben: der Hauptpunkt A und ein Distanzpunkt D) auf dem Horizont h, die Grundlinie g, sowie Grund- und Aufriß O“, O“ des Auges. Die x-Achse ist senkrecht zum Grundriß l“ des Lichtstrahles l (Parallelbeleuchtung) gelegt, um die Schattenkonstruktion in Grund- und Aufriß bequemer und genauer ausführen zu können (O/O, L x, O'o auf g, O’O“ Lh, O“ auf h). Das umgelegte Auge O% ist unzugänglich. L, L" sind die Fluchtpunkte der Lichtstrahlen und ihrer Grundrisse. Um das perspektive Bild der Säule zu entwerfen, bilden wir zuerst die Plinthe und die vertikale Achse der Säule ab. Das Bild der letzteren trifft h in B. OA ist das um B auf den Horizont niedergelegte Auge O. Hierauf projizieren wir den parallel zur Bildebene TT liegenden Hauptmeridian; sein Bild zeigt ihn in einer ähnlichen Verkleinerung, die wir kurz den Bildmeridian nennen wollen; er ist in die Figur eingetragen. Die Parallelkreise p, q, r, s sind nach dem Verfahren in 898 dargestellt; ebenso die scheinbaren Umrisse der cylindrischen Teile. Der scheinbare Umriß des Rotationskörpers ist identisch mit dem eines ähnlich verkleinerten Körpers, dessen Achse in der Bildebene liegt und dessen Meridian der Bildmeridian ist. Zur Darstellung des scheinbaren Umrisses kann man daher das Kegelverfahren anwenden, wie dies in 884 näher dargelegt ist. Die Bestimmung der Lichtgrenzlinien, sowie der Schlagschatten auf die Grundebene und auf das Objekt selbst, ist zuerst im Grundund Aufriß ausgeführt und sodann nach dem in 890 unter s) angegebenen Verfahren in die Perspektive übertragen. Es kommt hierbei namentlich auf die Wulst- und Kehlfläche der Säulenbasis an und diese sind Teile einer und derselben Kreisringfläche, nur gegeneinander in

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der Richtung der Achse verschoben. Die Konstruktion der Schatten auf der Ringfläche ergiebt sich aus 540; sie benützt eine dem Ringe einbeschriebene Hilfskugel, die ihn entlang eines Meridianes berührt. Die Lichtgrenze dieser Hilfskugel ist in einem besonderen Grund- und Aufriß bestimmt, wobei die Aufrißebene zum Lichtstrahl parallel vorausgesetzt wurde. Die Lichtgrenzpunkte sind dann in die einzelnen Meridiane der Ringflächen übertragen. In der Figur bedeuten t die Lichtgrenze auf der Kehlfläche und ihre geradlinige Fortsetzung auf dem Schaftcylinder, u die Lichtgrenze auf dem Basiscylinder und v die auf der Wulstfläche. Die Schlagschatten auf die Grundebene sind durch den unteren Index , die auf das Objekt fallenden durch den oberen Index - bereichnet.

Centralkollineation räumlicher Figuren (Reliefperspektive).

907. Zwei Raumfiguren sollen einander Punkt für Punkt in folgender Weise entsprechen: a) Die Verbindungslinien entsprechender Punkte P und Po, gehen durch ein festes Centrum O. 3) Drei Punkten in gerader Linie entsprechen drei Punkte in gerader Linie und folglich vier Punkten in einer Ebene vier Punkte einer Ebene. 7) Jeder Punkt einer festen Ebene TT, der Kollineationsebene, entspricht sich selbst. Hieraus folgt sofort: ö) Entsprechende Strahlen bezw. Ebenen schneiden sich auf der Ebene TT; jeder Strahl und jede Ebene durch O entspricht sich selbst; das Gleiche gilt mithin vom Centrum O. Durch diese Eigenschaften ist die Beziehung zwischen den beiden Raumfiguren, die wir als Original und Bild unterscheiden, vollständig bestimmt, sobald hinreichende Bestimmungsstücke angegeben werden, um zu jedem Punkte des Originals den entsprechenden Punkt des Bildes finden zu können. Wir nennen diese geometrische Verwandtschaft eine Centralkollineation oder Perspektive räumlicher Figuren. Von ihr gilt der Satz: 908. Die räumliche Centralkollineation ist bestimmt durch Angabe des Centrums O, der Kollineationsebene TT und zweier sich entsprechender Punkte Po und P, die auf einem Strahle durch O liegen müssen. Denn zu jedem weiteren Punkte Q des Originals findet man hiernach den Bildpunkt. Der Strahl PQ = i schneide nämlich TT in J, so ist , = JP, sein Bild, liegt in der Ebene iO und bestimmt mit dem Strahle OQ den Bildpunkt Q. Den unendlich fernen Punkten der Geraden i resp. i, entsprechen die Gegenpunkte J, auf, und J, auf i; J, heißt der Fluchtpunkt, J, der Verschwindungspunkt (OJ, + JJ, OJ + J„J). Der unendlich fernen Ebene im Original- resp. Bildraume entspricht je eine zu TT parallele Gegenebene, nämlich die Fluchtebene TT, und die Verschwindungsebene TT. Erstere trägt die Fluchtpunkte, letztere die Verschwindungspunkte aller Geraden des Raumes. Hieraus folgt die Beziehung: Betrachtet man die einander entsprechenden Figuren in irgend einer durch O. gelegten Ebene A, so zeigt sich, daß sie perspektiv liegen und zwar ist O das Centrum, d = A x TT die Achse der Perspektive, während d. = A × TT, und d = A × TT, die Gegenachsen bilden (vergl. 176 flg). Wir bezeichnen im folgenden den Punkt O als das Auge, die von O ausgehenden Verbindungslinien entsprechender Punkte als Sehstrahlen und die sich selbst entsprechende Ebene als Spurebene TT. 909. Man kann die Centralkollineation benutzen, um den vom Auge aus hinter der Spurebene TT liegenden und sich ins Unendliche ausdehnenden Raum mit den darin enthaltenen Figuren in dem Raume abzubilden, der zwischen TT und der Fluchtebene TT, liegt. Diese Art der Abbildung von Raumfiguren durch andere Raumfiguren nennt man Reliefperspektive. Mit den Reliefs der bildenden Kunst hat sie nur wenig zu thun. Denn der Künstler behandelt das Relief wie eine durch Erhabenheiten des Materials hervorzubringende Zeichnung. Dies ist die ursprüngliche Form der Darstellung, das Flachrelief. Beim Hochrelief lösen sich einzelne Figuren vom Hintergrunde ab; sie werden aber dann „rund“, d. h. in ihrer wirklichen Gestalt gebildet. Man erkennt also, daß hier kein einheitliches Darstellungsprinzip angewandt wird, wie dies bei der malerischen Perspektive durchführbar ist, sondern die Vermittelung zwischen den verschiedenartigen Darstellungen der Figuren im Vordergrund und Hintergrund bleibt dem subjektiven Ermessen des Künstlers überlassen. Bedeutende Künstler haben versucht, die Gesetze der Reliefperspektive in die plastische Darstellung einzuführen. Aber im strengen Sinne konnte dies nicht geschehen; denn aus praktischen, wie aus ästhetischen Gründen müssen bei den nach dem Hintergrunde (der Fluchtebene) zu immer mehr sich verflachenden Figuren die Zwischenräume wegfallen. Hiervon abgesehen, verträgt die Reliefperspektive keine Veränderung des Gesichtspunktes, ohne das Bild verzerrt erscheinen zu lassen. Trotz alledem kann aber die Kenntnis ihrer Regeln dem bildenden Künstler nützlich sein. Sie kommen auch in Verbindung mit den Regeln der malerischen Perspektive in der sog. Theaterperspektive zur Anwendung.

910. Gegeben sei das Auge O, die Spurebene TT, sowie die Fluchtebene TT,, die jedem unendlich fernen Punkte den Durchstoßpunkt seines Sehstrahles zuordnet; dann ist die Kollineation bestimmt. Wir stellen TT vertikal; die Horizontalebene H durch O schneide TT in h und TT, in h, (Fig. 578); h, heißt der Horizont.

Fig. 578.

Die Grundebene T, auf der sich die Objekte befinden, liegt parallel zu H und schneidet TT in der Grundlinie g. Durch das Auge O ziehen wir die Normale zu TT; sie trifft die Ebenen TT, TT, TT, bezw. in A, A, A. A, heißt der Hauptpunkt, OA, die Distanz und AA, die Tiefe des Reliefs. Der in TI, mit dem Radius = OA, um A, beschriebene Distanzkreis trifft h, in den Distanzpunkten D, und E, . 911. Die Abbildung einer Geraden i erfolgt nun so, daß man zuerst ihren Spurpunkt J in TT und ihren Fluchtpunkt /- in TT, aufsucht; die Reliefgerade i, verbindet / mit J. . Parallele Gerade haben einerlei Fluchtpunkt, nach welchem ihre Bilder kon

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