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aber muß zuvor auf AM der reduzierte Spurpunkt Mr (AM ̃=}AM) bestimmt werden; hierauf ist m, durch M parallel zum reduzierten Bilde m Mr Mr zu ziehen. Trägt man auf h MO = M¿ОTM MTO und NO NO ab, macht 40 2.40 und 404 = 2. 40", so stellen und O die Punkte dar, in die das Auge O gelangt, wenn man es um M oder N auf den Horizont niederlegt; sie dienen als Teilungspunkte für die Seiten des Basisquadrates (vergl. 864). Um die Einteilung der Linien EF und EH in die. Perspektive zu übertragen, hat man sie mit allen Zwischenpunkten um M oder N bis in die Grundlinie herumzudrehen. Die vollzogene Drehung bezeichnet der untere resp. obere Index ▲. Man findet z. B. K als NN X KAOA, u. s. f. Statt des unzugänglichen Punktes F bestimmt man F (MF1 = } MF), macht MT = M¿O, AT = 2 · AT" und findet F als MM。 × F ̧1T, u. s. f. Die Bilder der Parallelen zu m gehen durch M, schneiden also NN∞ und jede dazu parallele Gerade in ähnlichen Punktreihen. Man trage daher auf h die Strecke Ng Mr von N aus ab, ziehe durch ihren Endpunkt die Parallele zu NN und konstruiere auf ihr die Punktreihe, die aus der auf NN liegenden durch Verkleinerung auf die Hälfte entsteht. Übrigens sucht man es meist so einzurichten, daß die wichtigeren, wiederholt zu brauchenden Fluchtpunkte, wie hier M∞, wenn auch nicht in der Zeichnung selbst, so doch auf dem Zeichenbrette markiert werden können. Das Bild des Basiscentrums C, von dem die Vertikalachse des Obelisken aufsteigt, ergiebt sich als Schnittpunkt der Diagonalen EG. und FH. (In der Figur sind nicht alle Bezeichnungen eingefügt, weil sie sonst undeutlich wird.) Die Diagonale EG hat den Spurpunkt D und den Fluchtpunkt D (OD || EG); man bestimme auch ihren Teilungspunkt und benutze die Einteilung der Strecke EG, insbesondere ihre Schnittpunkte mit den nach unten verlängerten Obeliskenkanten. Die Vertikalen durch D resp. D. bilden Spur- und Fluchtlinie einer Diagonalebene des Objektes. Auf erstere trägt man von D aus die Höhen ab, in denen sich die Ecken und Kanten des Gegenstandes über der Grundebene befinden, verbindet die Endpunkte mit D und ermittelt so die Höhen im Bilde, z. B. DP =E"P", EP 1 h, PoPe durch D, oder DSC"S", CS1 h, SS durch D, u. s. f. Für die Zeichnung der Stufenkanten ist es zweckmäßig, die Treppenprofile auf den Frontflächen des vordersten Eckquaders abzubilden. Von den Fluchtpunkten der schrägen Kanten an der Plinthe und an der Spitze des Obelisken konnten nur zwei, R1 und R, angegeben werden; sie liegen auf der Vertikalen durch D symmetrisch zu h. Zeichnet

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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man die Aufrisse der Diagonalen des über dem Quadrate EFGH stehenden Würfels und zieht durch A Parallelen zu ihnen, so gehen sie durch die genannten Fluchtpunkte. An ihrer Stelle kann man auch das Bild des Punktes Q benutzen, in dem sich die schrägen. Kanten der Plinthe treffen. Ähnlich verfährt man bezüglich der im Punkte U der Vertikalachse zusammenlaufenden Kanten des Obelisken. Nach dem Gesagten hat es keine Schwierigkeit, das Bild des Objektes zu vollenden.

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Der Schattenkonstruktion liegt die Annahme paralleler Lichtstrahlen zu Grunde. Die Sonne befindet sich im Gesichtsfeld des Beschauers; ihr reelles Bild L. also über dem Horizont und Ľ senkrecht darunter auf h. Die Lichtstrahlen kommen von L, die Schatten der Vertikalen auf Horizontalflächen von L. Die Schatten horizontaler Kanten auf horizontale Flächen gehen durch Moder No. Ferner kommen Schatten horizontaler Kanten (mit dem Fluchtpunkte M) auf vertikale Flächen (mit der Fluchtlinie NV 1 h) vor; ihr Fluchtpunkt liegt auf ML. Die schrägen Kanten werfen nur auf wagrechte Flächen Schatten; man ermittelt sie aus den Durchstoßpunkten mit der Grundebene und dem Podest und den bezüglichen Schatten der Punkte Q, S, U. Die Fluchtpunkte dieser Schattenlinien liegen auf h mit L. und den Fluchtpunkten der bez. Kanten in gerader Linie. Sind letztere nicht erreichbar, so muß man von anderen Punkten der Kanten die Schatten abbilden. Die Linien, welche die Lichtgrenze auf dem Objekte zusammensetzen, lassen sich sehr einfach feststellen. Zu ihnen gehören beim Obelisken und den vier Eckquadern die in den Diagonalebenen mit der Fluchtlinie DR1 gelegenen Kanten, bei der Plinthe zwei vertikale, zwei horizontale und zwei schräge Kanten, außerdem bei jedem Eckstein zwei Oberkanten und zwei oberste Treppenkanten.

904. Als weiteres Beispiel wählen wir die schräge Ansicht einer gewölbten Halle mit doppeltem Durchgang. (Fig. 575. In dieser und in den beiden folgenden Figuren ist der untere Index c, der zur Bezeichnung der perspektiven Bilder dient, weggelassen). Der quadratische Bau zeigt ein von vier ebenfalls quadratischen Pfeilern getragenes Kreuzgewölbe. Die Wölbflächen liegen auf zwei kongruenten Rotationscylindern, deren horizontale Achsen sich rechtwinklig schneiden; sie endigen in jeder Front mit einem Halbkreis und stoßen in zwei (sich in T kreuzenden) Gratlinien zusammen, die den Diagonalebenen angehören und mithin Halbellipsen sind. An den vier Fronten läuft oben ein einfaches Kranzgesims; seine

schrägen Kanten sind zu den Diagonalen eines Würfels parallel, dessen Seitenflächen in den Fronten liegen.

Die Bildebene legen wir durch die vorderste Pfeilerkante z, machen zwei Seiten des Basisquadrates zur z- und y-Achse und die darüberstehenden Frontebenen mithin zur Aufriß- bezw. Seitenrißebene. Von dem Grund- und Aufriß ist nur soviel gezeichnet, als

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zur Bestimmung der Gestalt und Lage des Objektes gebraucht wird. Zur Festlegung der Distanz ist das reduzierte umgelegte Auge angegeben (40,"= 40). Hieraus kann man die Fluchtpunkte X, Y, Moo, N. der Achsen x, y und der Grundrißdiagonalen m, n finden. Die Abbildung aller geradlinigen Kanten des Gegenstandes erfolgt wie in 903 und bedarf nach dem Vorausgegangenen keiner Erläuterung mehr. Statt der unzugänglichen Fluchtpunkte der schrägen Gesimskanten wurde der Punkt C der vertikalen Mittelachse des Objektes benutzt, in dem ihre Verlängerungen zusammentreffen.

Die vier äußersten Pfeilerkanten laufen bis zu der Deckplatte, die das Gewölbe oben abschließt; die übrigen endigen in der

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Basisebene des Gewölbes. Ihre Endpunkte werden paarweise durch die horizontalen Durchmesser der vier Fronthalbkreise und der beiden elliptischen Gratlinien verbunden, die in ihnen die verlängerten Pfeilerkanten berühren. Alle sechs Gewölblinien projizieren sich als Halbellipsen, denn in ihren Endpunkten sind die Tangenten parallel (vertikal). Hat man mit Hilfe der Fluchtpunkte X∞, Y∞, Mo, No die Bilder jener horizontalen Durchmesser gezeichnet, so bestimme man ihre Mittelpunkte und hieraus die konjugierten (vertikalen) Halbmesser der Bildellipsen (899). Diese Konstruktion läßt sich für die beiden vorderen Fronthalbkreise k, i mit Benutzung ihrer Umlegung in die Bildebene, d. h. mittels des Aufrisses, leicht ausführen. Den vertikalen Radien der Kreise entsprechen vertikale Halbsehnen durch die Bilder der Centra K, J; die Tangenten in ihren Endpunkten gehen durch X resp. Y. Für die übrigen Gewölblinien vereinfacht sich das Verfahren, weil sie je mit einem der Kreise k, i auf einem Cylinder liegen. Den affin gelegenen ebenen Kurven des Originals entsprechen perspektiv gelegene im Bilde; die Fluchtpunkte (X, Y) der Affinitätsstrahlen (Cylindermantellinien) werden die Centra der Perspektivität, die Achsen sind die Bilder der Affinitätsachsen (in unserem Falle laufen sie vertikal durch Y, X, M, N, so daß Vertikalen stets Vertikale entsprechen). Auf Grund dieser Bemerkungen kann die Perspektive des Objektes leicht vervollständigt werden. Je drei perspektive Gewölblinien zeigen eine gemeinsame Tangente (s durch X, t durch Y), die den scheinbaren Umriß einer Wölbfläche bildet.

Um die Darstellung des Objektes mit Schatten zu versehen, setzen wir Sonnenbeleuchtung voraus (L unterhalb h, L' auf h, LL'1 h). Über die Konstruktion der Schlagschatten, welche die geradlinigen Kanten auf die Grundebene und auf die ebenen Flächen des Objektes werfen, ist nichts Neues zu sagen (man vergleiche das vorangehende Beispiel). Die Lichtgrenzen der Wölbflächen sind Mantellinien; man erhält ihre Endpunkte auf den Fronthalbkreisen k und nach 478, indem man die Schatten der Gewölbmantellinien auf die bez. Frontebene sucht und die zu ihnen parallelen Tangenten an k und i zieht. Diese sind hier mit dem Aufriß 7" resp. Seitenriß l'"' eines Lichtstrahles identisch. Nun ist XL die Fluchtlinie der Lichtebenen durch die Mantellinien der einen Wölbfläche und die Vertikale durch Y die Fluchtlinie der zugehörigen Frontebene (Seitenriẞ); der Schnittpunkt L." beider ist der Fluchtpunkt der Schlagschatten (7") jener Mantellinien. Also berührt die aus ihm an das Bild i gelegte Tangente dieses im Punkte R der Lichtgrenze.

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Ähnlich findet man P auf k mittels des Schnittpunktes L" von YL mit der Vertikalen durch X. Die Konstruktion wird genauer, wenn man den um z umgelegten Kreis i""k" und das um YLÄ" (resp. XL") umgelegte Auge 0, (resp. O4) auf h benutzt; eine zu L"O parallele Tangente berührt i'"' in R"" und R""O geht durch das Bild R. Analoges gilt für P. Der Schlagschatten auf den Wölbflächen wird durch die Schatten der Fronthalbkreise k und ¿ begrenzt, die in den Punkten P resp. R beginnen und sich nach innen fortsetzen; ihre Tangenten in diesen Punkten lassen sich nach 528 finden. Die fraglichen Randschatten sind Ellipsenbögen (480, 514). Man findet beliebig viele Punkte derselben aus der Bemerkung, daß eine Mantellinie durch den Randpunkt U ihren Schatten auf die Mantellinie durch den Randpunkt U1 wirft, wenn U" U1" || L"O1 ist (U"O1 und U′′O4 schneiden k in U und U1). Der Schnittpunkt des Lichtstrahles UL mit dem Bilde UY der zweiten Mantellinie stellt einen Punkt U* des Randschattens dar, u. s. f. Ein Teil VW des Fronthalbkreises k wirft Schatten auf den Schaft des rückwärts liegenden Pfeilers. Am Objekt selbst sind die Bögen VW_und_V*W* kongruent, da ihre Ebenen parallel stehen; im Bilde sind sie perspektiv (Centrum L, Achse die Vertikale durch X). W ist ein Endpunkt von k; in W und W* sind die Tangenten vertikal. Um den Punkt V zu finden, zieht man durch den Fußpunkt der Kante, welche V* trägt, den Grundriß eines Lichtstrahles und schneidet ihn mit dem Grundriß des Halbkreises k in '; senkrecht über V' befindet sich auf k. Von dem leicht bestimmbaren Grundschatten des Objektes ist nur wenig sichtbar; zu seiner Begrenzung gehört ein in V beginnender Ellipsenbogen als Schatten eines Teiles der Randlinie k.

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905. Schräge Ansicht einer Nische (Fig. 576). An vertikaler Wand (Bodenkante w) ist eine Nische angebracht, deren Basis eine wenig vorspringende rechteckige Platte bildet. Die Nischenfläche besteht aus zwei Teilen: einem geraden Cylinder über dem Grundhalbkreis f, der in dem Halbkreis c (Centrum C) endet und einer anschließenden Viertelkugel mit dem Halbfrontkreis e (Centrum C, CE vertikaler Halbmesser). Die Nischenfront tritt ein Stück aus der Wandfläche hervor; sie wird von zwei Halbsäulen (Pilastern) eingerahmt, die durch einen Architraven mit aufgesetztem Giebel verbunden sind. An den Kapitälen der Halbsäulen kommen Cylinderflächen vor, als deren Profilschnitt ein Viertelkreis angenommen wurde. Das Profil des Gesimses am Giebel ist geradlinig gewählt. Die Kanten des schräg aufsteigenden Gesimses (wie k

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