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899. Die Abbildung einer Ellipse mit vertikaler Achse (bezw. eines vertikalen Kreises), die z. B. als Gewölblinie vorkommen kann, ergiebt sich aus 898. An Stelle der Horizontalen e, e, h treten die Vertikalen n, n, n, als Spur-, Verschwindungs- und Fluchtlinie der vertikalen Ebene, die die abzubildende Kurve enthält. Ferner tritt an Stelle der Geraden f die horizontale Achse der Ellipse (oder der horizontale Kreisdurchmesser), an Stelle von O, das um n, in die Bildebene umgelegte Auge O'o und statt des

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Distanzpunktes D hat man das um F, auf n, niedergedrehte Auge Oa zu benutzen (Fig. 572). – In der Figur sind die einzelnen Elemente ebenso bezeichnet, wie die entsprechenden in Fig. 571. Eine nähere Erläuterung erscheint daher überflüssig. – Wie vorher kann auch hier, und allgemein bei jedem Kegelschnitte, die perspektive Abbildung mit Hilfe eines ihm umgeschriebenen Vierseits erfolgen (vergl. 880).

900. Schattenkonstruktion. Als Lichtquelle denken wir uns einen Punkt L (über der Grundebene TT) durch sein Bild L. und Grundrißbild L" gegeben (LL" Lh). Von L, gehen alle Bilder der Lichtstrahlen, von L' die ihrer Grundrisse aus. Man spricht von Central- oder Parallelbeleuchtung, je nachdem sich der leuchtende Punkt L in endlicher Entfernung vom Objekte befindet oder unendlich weit liegt. Beide unterscheiden sich aber nicht wesentlich; denn solange L nicht in die Verschwindungsebene fällt, was selten angenommen wird, sind die Bilder L und L’ Punkte im Endlichen. Je nach der Lage von L gegen die Verschwindungsebene ist das Bild reell oder virtuell. Die Beleuchtung der irdischen Gegenstände durch die Sonne darf als Parallelbeleuchtung gelten, weil ihre gegenseitigen Entfernungen im Vergleich mit dem Abstand von der Sonne selbst verschwindend klein sind. Es bedeutet dann L., das Bild des Sonnencentrums. Man hat entweder ein reelles Sonnenbild über dem Horizont, oder ein unendlich fernes, oder ein virtuelles unter dem Horizont, je nachdem die Sonne im Angesicht des Beschauers, oder in der Verschwindungsebene, oder im Rücken des Beschauers steht. Demgemäß läuft der Grundschatten einer von der Grundfläche aufsteigenden Vertikalen entweder auf den Beschauer zu, oder parallel zu h, oder nach dem Horizonte hin. L, ist der Fluchtpunkt der Lichtstrahlen, L" liegt auf dem Horizont und ist der Fluchtpunkt ihrer Horizontalprojektionen. Der Gang der Konstruktionen zur Abbildung der Schatten ist bei der Centralperspektive derselbe wie bei der Parallelprojektion. Man bestimmt zuerst die Lichtgrenzen auf dem Objekt, dann die Schlagschattengrenzen in der Grundebene und zuletzt die Schlagschatten auf dem Objekte selbst, wie dies die nachfolgenden Beispiele zeigen. 901. Ist ein Punkt P durch P. und P" gegeben, so findet man das Bild seines Grundschattens P. als P„= LP, X LP"; l, = PP, ist das Bild eines Lichtstrahles l, l“ = PP, ist das Bild seines Grundrisses l“ und zugleich der Grundschatten der Vertikalen PP. Ebenso wie wir hier den Grundschatten der Vertikalen durch Po benutzten, um auf ihm den des Punktes Pselbst zu finden, geht man bei der Ermittelung des Schattens von Po auf eine beliebig gegebene Ebene E von einer geeigneten Geraden durch P (meist einer Vertikalen oder Horizontalen) und ihrem Schatten auf E aus; dieser ist schließlich mit dem Lichtstrahle durch Po zu schneiden. Sind von einer Geraden i Spur- und Fluchtpunkt J, J, und von der Ebene E Spur- und Fluchtlinie e, e, bekannt, so sucht man Spur- und Fluchtlinie d, d, der durch i gelegten Lichtstrahlenebene A, die E in dem gesuchten Schatten i“ schneidet, und erhält von i“ den Spur- und Fluchtpunkt, hieraus aber das Bild (J* = dx e, J.* = d, × e, i“ = J*J.*). Bei Parallelbeleuchtung verbindet die Fluchtlinie d, den Fluchtpunkt L., der Lichtstrahlen mit dem Fluchtpunkte J, der Geraden i und d geht parallel zu

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d, durch J.

Anwendungen der Perspektive.

902. Wir legen die Regeln der Perspektive in ihrer Anwendung auf einige architektonische Gegenstände dar. Die Objekte sollen die hauptsächlichsten an Bauwerken vorkommenden Formen und Anordnungen der Glieder zeigen, aber nur in möglichst einfacher Weise, sodaß sie leicht geometrisch bestimmt werden können. Bei der Wahl ihrer Verhältnisse sind weniger ästhetische Gesichtspunkte wirksam gewesen, als vielmehr die Rücksicht darauf, daß die Einzelheiten der Konstruktion in der Zeichnung genügend erkennbar werden müssen. – Zuerst behandeln wir nur Körper mit ebenen Seitenflächen, in den späteren Beispielen treten auch krumme Flächen auf

Perspektive eines Säulenganges in gerader Ansicht (Fig. 573). Die doppelte Säulenreihe erstreckt sich in der zur Bildebene senkrechten Richtung nach dem Horizonte hin. Jede einzelne Säule besteht aus Sockel, Schaft und Kapitäl. Diese drei Teile werden von quadratischen Prismen und abgestumpften quadratischen Pyramiden gebildet. Die Prismenflächen stehen vertikal, die schrägen Pyramidenflächen, die am Sockel oben, am Kapitäl unten liegen, sind gegen die Grundebene TT, unter 45° geneigt. – Die Säulenabstände in der Richtung parallel zur Grundlinie g ergeben sich aus dem Grundriß des vordersten Säulenpaares; zur Feststellung der Abstände in der Richtung senkrecht zu g genügt es, die verlängerte Grundrißdiagonale WU einer Säule des folgenden Paares zu zeichnen. Die Kanten der Säulen verlaufen in sieben verschiedenen Richtungen: sie sind nämlich entweder vertikal, oder normal zur Bildebene, oder parallel zur Grundlinie, oder parallel zu einer der vier Diagonalen eines Würfels, von dem zwei Seitenflächen in TT und TT, liegen. Ihre Fluchtpunkte sind folglich der Reihe nach: der unendlich ferne Punkt der Vertikalen, der Hauptpunkt A, der unendlich ferne Punkt des Horizontes h und die Ecken B, B, B, B, des dem Distanzkreis umgeschriebenen Quadrates (B, B, | g durch O%, O„B, = O„B, = AO). Die erreichbaren Spurpunkte der Grundrißdiagonalen auf g sind durch R, S, T, U bezeichnet; ihre Fluchtpunkte sind die Distanzpunkte D

resp. D. Wir beginnen mit der Abbildung der Sockelgrundflächen.

Zu ihren Ecken gehören z. B. die Punkte G, H; ihre Bilder werden

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z --- - - - - - - - - -- r - - G Z 7 z. TZ7 3 - - - - - - > - , - - z - - - -------- - - - „Z, - „- - - - - - - - „- --- - - zz- Z - – – – – – – ----------- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - „- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -– – – – – – – - - - - - - - - Fig. 573.

gefunden, wenn man G“ und H“ mit A und den Spurpunkt R der der durch H gelegten Diagonale mit D verbindet, sowie durch H. die Parallele zu g zieht (H. = AH“ x DR, G, auf G“A, H„G, [g). Hat man in dieser Weise alle in TI, liegenden Quadrate abgebildet (und kontrolliert, daß ihre je in einer Parallelen zu g gelegenen Seiten gleiche Längen haben), so zieht man durch alle ihre Ecken vertikale Linien aufwärts. Diese stellen die vertikalen Sockelkanten dar; ihre oberen Endpunkte bestimmen wieder horizontale Quadrate. Im Bilde liegt eine Reihe ihrer Ecken auf J"A; zieht man durch sie Parallelen zu g, so findet man die übrigen Ecken, die zugleich auf drei weiteren Geraden durch A liegen müssen. Jetzt sind die Bilder der schrägen Sockelkanten zu ziehen; sie laufen von den vorderen Ecken nach B, resp. B, von den hinteren nach B, resp. B. Eine Reihe ihrer Endpunkte liegt auf K“A, die übrigen finden sich wie vorhin. Nunmehr werden die vertikalen Schaftkanten gezogen, die auf M“A, u. s. w. endigen. Die schrägen Kapitälkanten laufen vorn nach B, resp. B, hinten nach B, resp. B; ihre Endpunkte liegen auf No“A, u. s. w. Man zeichnet ferner die vertikalen Kapitälkanten, deren Endpunkte sich auf Po“A, u. s. w. befinden. Zuletzt sind die Bilder aller horizontalen Kanten auszuziehen, die unsere Konstruktion bereits als Hilfslinien benutzt hat. Welche Linien sichtbar sind und welche nicht, wird der Zeichner leicht auch ohne nähere Erklärung beurteilen. Hierauf bestimmen wir die Grundschatten, und um dies leicht ausführen zu können, haben wir wenigstens für die vordersten Säulen die Grundrißbilder aller Ekpunkte angegeben. Wir wählen Parallelbeleuchtung; das (virtuelle) Sonnenbild L., liegt unter dem Horizonte h, der Fluchtpunkt L" der Lichtstrahlgrundrisse senkrecht darüber auf h selbst. Die Lichtgrenze setzt sich bei jeder Säule aus 14 Kanten zusammen; zwei davon liegen in der Grundfläche, zwei andere in der horizontalen Endfläche des Kapitäls, die übrigen sind in der Diagonalebene mit der Fluchtlinie B„B, enthalten. Zur Lichtgrenze gehören die Ecken, in denen das Bild bezw. Grundrißbild eines Lichtstrahles das der Säule streift. Die Grundschatten der Ecken, z. B. Q, stellt man durch Q„= QL, x Q "L" dar, u. s. f. Die Grundschatten der horizontalen Kanten sind zu diesen parallel, ihre Bilder laufen folglich parallel zu h oder nach dem Hauptpunkte A. Die Grundschatten der Vertikalen konvergieren im Bilde nach L’, die der schrägen Kanten haben die Fluchtpunkte W=h × B„L. und W. =h × B„L, (in der Figur konnte nur W angegeben werden). Diese Angaben genügen zur Verzeichnung aller Schlagschatten auf die Bodenfläche. In unserem Beispiele kommt der Schlagschatten einer Säule auf eine zweite vor (ihre Grundschatten überdecken sich zum Teil). Zieht man aus dem Kreuzungspunkte der Grundschatten zweier Kanten rückwärts bis zu der beschatteten Kante einen Lichtstrahl, so endigt er in einer Ecke der Schlagschattenfigur.

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