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897. In den Anwendungen tritt es oft ein, daß einer oder mehrere der Punkte, die zur Konstruktion nötig sind, außerhalb der Zeichenfläche liegen. Man hilft sich dann durch eine Reduktion, d. h. durch eine ähnliche Verkleinerung der Zeichnung, wie

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sie sich ergeben würde, wenn man bei ungeändertem Objekt und Auge die Bildebene zu sich parallel in der Richtung 40 verschiebt und hierdurch die ursprüngliche Distanz auf ihren n. Teil reduziert.

Statt der unzugänglichen Elemente benutzt man die reduzierten Elemente, die wir durch den oberen Index r bezeichnen. Sie befinden sich mit jenen in ähnlicher Lage und zwar ist der Hauptpunkt A das Ähnlichkeitscentrum; ihre Abstände von A aber verhalten sich zu denen der ursprünglichen Elemente wie 1:n, won eine passend gewählte ganze Zahl bedeutet (in der Figur n = 2). Ist das umgelegte Auge 0, unzugänglich, so trägt man auf 40。 die Strecke 40" Distanz auf; O ist das reduzierte umgelegte Auge. Man findet dann den Fluchtpunkt M aus dem

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MQ, Kann

reduzierten Fluchtpunkte M, indem man OM || m und AMn AM macht. Fällt M auch außerhalb der Zeichenfläche. so zeichnet man den reduzierten Spurpunkt Mr, indem man AMAM abträgt, dann ist m|| MM durch M zu ziehen. Man findet ferner den Teilungspunkt O aus dem reduzierten Teilungspunkte Or durch die Beziehungen: Mr Or = MO1", AО= n· AО ̧”. Sind MP und MQA auf g die wahren Längen der Strecken MP und MQ, so gehen ОPA und O durch P. und Q.. Ist O unzugänglich, so mache man auf h die Strecke MT= 1. MOA = MO und auf g zugleich MR = 1 MP und MS so gehen TR und TS offenbar wieder durch P. und Q. hierbei M nicht gezeichnet werden, so mache man zuerst Mr T = MO und dann AT = n· AT". Ist endlich auch M nicht benutzbar, so bedient man sich der reduzierten Grundlinie, die man parallel zu h in dem Abstand (gh) zieht; auf ihr findet man den reduzierten Spurpunkt Mr, indem man in dem Abstand = 1 · (4 – m) von A die Linie m" || m zieht. Die weitere Konstruktion gründet sich auf die perspektiv-ähnliche Beziehung zwischen den gegebenen Elementen und den reduzierten wie umgekehrt zwischen den hieraus gefundenen und den gesuchten Elementen.

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898. Abbildung eines horizontalen Kreises (Fig. 571). Die Ebene E des Kreises k hat den Horizont h zur Fluchtlinie, die Spur e und die Verschwindungslinie e, sind zu h parallel. Der Abstand (e− h) hängt von der Lage der Ebene E ab, der Abstand (e̱, − e) ist gleich der Distanz (Oh). Wir betrachten nur den gewöhnlichen Fall, wo der Kreis k die Verschwindungslinie e, nicht trifft, sein Bild also eine Ellipse wird. Der Kreis sei durch seine Umlegung um e gegeben. Die Umlegungen seiner Elemente werden ebenso wie diese selbst bezeichnet. K sei der Mittelpunkt und MN auf ƒ der zu e rechtwinklige Durchmesser; sein Bild MN findet man auf f. = FA nach 880. Ist J der Mittelpunkt von MN und liegt der Punkt J auf MN zu J perspektiv, so entspricht umgekehrt der zu e parallelen Kreissehne PQ durch J der zu MN, konjugierte Durchmesser P. (e durch J) der Bildellipse k.. Ist Ufx e, und schneiden die Kreistangenten UP, UQ die Spur e in R, S, so sind ihre Bilder RP und SQ parallel zu f. Durch die konjugierten Durchmesser MN und PQ, ist die Ellipse k bestimmt; ihre Achsen können nach 417 gefunden werden. Die vertikalen Tangenten der Ellipse (die z. B. als Umriẞlinien einer über dem Grundkreise k stehenden runden Säule öfter gezeichnet werden müssen) entsprechen

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und gehen

den Tangenten des Kreises k aus dem Punkte V=AO ̧ × e̟„ durch deren Schnittpunkte X, Y mit der Spurlinie e. Sind W, Z die Berührungspunkte der Kreistangenten und ist Tex WZ, so liegen die Berührungspunkte W., Z. der Ellipsentangenten auf dem

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Durchmesser TJ. Häufig benutzt man zur Abbildung des horizontalen Kreises k ein ihm umgeschriebenes Polygon, z. B. ein regelmäßiges Achteck, dessen Seiten zu g parallel, senkrecht und unter 45° geneigt sind. Die Fluchtpunkte seiner Seiten sind bezw. der unendlich ferne Punkt von h, der Hauptpunkt A und die beiden Distanzpunkte D, D1. Die Seiten bilden zwei dem Kreise k umgeschriebene Quadrate, deren Diagonalen den Seiten des Achtecks parallel laufen und ihre Berührungspunkte mit k bestimmen. Die Abbildung der geschilderten Figur ergiebt demnach acht Punkte der Bildellipse nebst den zugehörigen Tangenten. Die Einzelheiten der Konstruktion ergeben sich bei ihrer Ausführung ohne Schwierigkeit.

899. Die Abbildung einer Ellipse mit vertikaler Achse (bezw. eines vertikalen Kreises), die z. B. als Gewölblinie vorkommen kann, ergiebt sich aus 898. An Stelle der Horizontalen e, e h treten die Vertikalen n, n,, n als Spur-, Verschwindungs- und Fluchtlinie der vertikalen Ebene, die die abzubildende Kurve enthält. Ferner tritt an Stelle der Geraden f die horizontale Achse der Ellipse (oder der horizontale Kreisdurchmesser), an Stelle von O das um n in die Bildebene umgelegte Auge 0° und statt des

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niedergedrehte

Distanzpunktes D hat man das um F auf n Auge O zu benutzen (Fig. 572). In der Figur sind die einzelnen Elemente ebenso bezeichnet, wie die entsprechenden in Fig. 571. Eine nähere Erläuterung erscheint daher überflüssig. Wie vorher kann auch hier, und allgemein bei jedem Kegelschnitte, die perspektive Abbildung mit Hilfe eines ihm umgeschriebenen Vierseits erfolgen (vergl. 880).

900. Schattenkonstruktion. Als Lichtquelle denken wir uns einen Punkt L (über der Grundebene ПT1) durch sein Bild L und Grundrißbild L gegeben (LL1h). Von L gehen alle Bilder der Lichtstrahlen, von L die ihrer Grundrisse aus. Man spricht von Central- oder Parallelbeleuchtung, je nachdem sich der

leuchtende Punkt L in endlicher Entfernung vom Objekte befindet oder unendlich weit liegt. Beide unterscheiden sich aber nicht wesentlich; denn solange Z nicht in die Verschwindungsebene fällt, was selten angenommen wird, sind die Bilder L und Lé Punkte im Endlichen. Je nach der Lage von L gegen die Verschwindungsebene ist das Bild reell oder virtuell.

Die Beleuchtung der irdischen Gegenstände durch die Sonne darf als Parallelbeleuchtung gelten, weil ihre gegenseitigen Entfernungen im Vergleich mit dem Abstand von der Sonne selbst verschwindend klein sind. Es bedeutet dann L. das Bild des Sonnencentrums. Man hat entweder ein reelles Sonnenbild über dem Horizont, oder ein unendlich fernes, oder ein virtuelles unter dem Horizont, je nachdem die Sonne im Angesicht des Beschauers, oder in der Verschwindungsebene, oder im Rücken des Beschauers steht. Demgemäß läuft der Grundschatten einer von der Grundfläche aufsteigenden Vertikalen entweder auf den Beschauer zu, oder parallel zu h, oder nach dem Horizonte hin. L ist der Fluchtpunkt der Lichtstrahlen, L liegt auf dem Horizont und ist der Fluchtpunkt ihrer Horizontalprojektionen.

Der Gang der Konstruktionen zur Abbildung der Schatten ist bei der Centralperspektive derselbe wie bei der Parallelprojektion. Man bestimmt zuerst die Lichtgrenzen auf dem Objekt, dann die Schlagschattengrenzen in der Grundebene und zuletzt die Schlagschatten auf dem Objekte selbst, wie dies die nachfolgenden Beispiele zeigen.

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901. Ist ein Punkt P durch P. und P gegeben, so findet man das Bild seines Grundschattens P als PLP x L'P'; 1. =PP ist das Bild eines Lichtstrahles 1, PP ist das Bild seines Grundrisses und zugleich der Grundschatten der Vertikalen P'P. Ebenso wie wir hier den Grundschatten der Vertikalen durch P benutzten, um auf ihm den des Punktes P selbst zu finden, geht man bei der Ermittelung des Schattens von P auf eine beliebig gegebene Ebene E von einer geeigneten Geraden durch P (meist einer Vertikalen oder Horizontalen) und ihrem Schatten auf E aus; dieser ist schließlich mit dem Lichtstrahle durch P zu schneiden.

Sind von einer Geraden i Spur- und Fluchtpunkt J, J und von der Ebene E Spur- und Fluchtlinie e, e bekannt, so sucht man Spur- und Fluchtlinie d, do der durch i gelegten Lichtstrahlenebene ▲, die E in dem gesuchten Schatten * schneidet, und erhält von i* den Spur- und Fluchtpunkt, hieraus aber das Bild

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