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insbesondere den Hauptpunkt A als Fluchtpunkt aller Normalen zu П. Der Distanzkreis wird in П um A beschrieben, seine Schnittpunkte D, D, mit h heißen die Distanzpunkte. Die Fluchtlinien der unter 45° gegen П geneigten Ebenen berühren d, die Fluchtpunkte der Geraden von der Neigung 45° gegen П liegen auf d; speziell sind D und D, die Fluchtpunkte der Horizontalen mit der Bildneigung von 45o.

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Das Objekt wird hinter der Bildebene befindlich angenommen. Seinen Grundriß entwerfen wir in der Grundebene П, und legen ihn um die Grundlinie g in die Bildebene um, so daß der hinter der Bildebene befindliche Teil von П1 nach unten kommt, der oberhalb g liegende Teil von П aber für das perspektive Bild des Objektes frei bleibt. Die umgelegten Elemente des Grundrisses werden ebenso bezeichnet wie diese selbst. Das Auge O gelangt bei gleichsinniger Drehung um den Horizont h in den Punkt 0, des Distanzkreises (40 h), der schlechthin als das umgelegte Auge bezeichnet wird. Der Grundriß O des Auges findet sich auf 40, und zwar ist (O'g) gleich der Distanz, mithin auch 0,0' (4g). Die Aufrißebene П, stellen wir natürlich vertikal und parallel zu den wichtigsten wagrechten Kanten des Gegenstandes. Die Schnittlinie ПT, X П, bezeichnen wir wie früher durch z. Die meisten Objekte und namentlich die architektonischen besitzen vertikale Seitenflächen in zwei zu einander rechtwinkligen Stellungen, die wir kurz als Frontflächen bezeichnen können. Ist die Bildebene П zu einer Front des Gegenstandes parallel, so giebt sein Bild eine gerade Ansicht; anderenfalls spricht man von einer schrägen. Ansicht.

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Im ersten Falle läßt man die Aufrißebene П2 mit der Bildebene П und folglich mit g zusammenfallen. x Im zweiten Falle wird П1⁄2 parallel zu einer Front und folglich gegen П geneigt angenommen. Wir ziehen durch den Bildspurpunkt von x auf 9 die Vertikale z = П × П und die Horizontale y rechtwinklig zu x. Den Aufriß legen wir um z in П um und benennen die umgelegten Aufrißelemente ebenso wie diese selbst. Die Umlegung suche man so einzurichten, daß das perspektive Bild und der Aufriß des Objektes sich nicht gegenseitig in störender Weise verdecken. Wichtig ist es, die Fluchtpunkte X, Y der Achsen x und y (0X。 ||x, GoYy, X und Y auf h), sowie den umgelegten Aufriß 0" des Auges anzugeben. O" liegt auf h und die von O′ resp. O" auf x resp. g gefällten Lote sind von q xxx z gleich entfernt (vergl. Fig. 567)..

Ο

890. Die Konstruktion der Perspektive eines Punktes P mit gegebenem Grund- und Aufriß P', P" richtet sich danach, ob П mit П identisch ist oder nicht, d. h. ob eine gerade oder schräge Ansicht des Objektes verlangt wird. Wir stellen die einfachsten Verfahren kurz zusammen.

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Erstens: bei gerader Ansicht.

a) Man zieht in П, durch P' zwei Gerade normal resp. unter 45° geneigt gegen g. Ihre Spurpunkte seien N und M auf g; ihre Fluchtpunkte sind der Hauptpunkt A und einer der Distanzpunkte

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D; ihre Bilder NA und MD schneiden sich im Bilde P' des Grundrisses P'. Das Bild von PP' geht vertikal durch P., das Bild von PP" ist P"A; ihr Schnittpunkt P. ist folglich die Perspektive von P (Fig.563).

6) Die Vertikalebene durch OP schneidet П, in O'P' und П in der Vertikalen durch GgxO'P', die auf P"A das Bild P. bestimmt. P' wird wieder auf NA gefunden (Fig. 564).

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"

7) Trägt man auf die Vertikale P'P' den zweiten Tafelabstand des Punktes als P"P=NP' auf, legt also P"P als P"Po 40 in die Bildebene um, so liegt P. auf OP (vergl. 864). Man findet also P., wenn man die Vertikale durch Ggx O'P' mit 0.Po schneidet. Speziell findet man P auf derselben Vertikalen und auf OP' (Fig. 565).

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0

с

Fig. 565.

Zweitens: bei schräger Ansicht.

0

8) Eine in П, beliebig durch P' gezogene Gerade m habe das Bild MM。 (M= m × g, M。 auf h, O̟M。 || m), so ist P= MM ×0 P'. Zieht man MQ P'P, also 1g und

Fig. 566.

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(P" g), so ist MQ das Bild von PQm und geht durch P (Fig. 566).

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с

ε) Das Bild der zu П, normalen Linie PP" geht durch den Fluchtpunkt N∞ (=Y) der Normalen von П; andererseits liegt es in der Ebene OPP", die auch O" enthält und die z-Achse in H = 0"P" x z trifft; folglich ist HN PP" dieses Bild (877). Auf ihm wird P. mittels der Ver

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tikalen durch GOP' xg bestimmt (Fig. 567).

Die unter B) resp. a) genannten Methoden sind die einfachsten. Bei ) hat man drei, bei ɛ) vier gerade Linien zu ziehen. Das eine

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Verfahren geht aus dem anderen

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hervor, wenn man П1⁄2 mit П, folglich g mit x, sowie O" und No mit A zusammenfallen läßt. Die Konstruktion ) läßt sich auch durch einen mechanischen Apparat (Perspektograph) ausführen, denn werden P und demgemäß P', P" bewegt, so drehen sich die Geraden O'P', O"P" um die festen Punkte O' resp. O" und führen die Punkte G, H auf den festen Geraden g resp. z; die vertikale Gerade wird zu sich selbst parallel verschoben und die Gerade HP dreht sich um den festen Punkt No.

891. Das Bild einer geraden Linie ist durch die Bilder zweier ihrer Punkte bestimmt. Aber je kürzer die von ihnen begrenzte Strecke ausfällt, desto weniger genau ergiebt sich die Richtung der Bildgeraden. Man ermittelt daher besser zuerst ihren

Fluchtpunkt. Hierdurch wird nicht allein die Genauigkeit der Zeichnung erhöht, sondern auch Mühe erspart, denn an den Objekten treten oft zahlreiche parallele Linien auf, deren Bilder nach. demselben Fluchtpunkte laufen.

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Der Fluchtpunkt einer Geraden ist die Bildspur J des zu ihr parallelen Sehstrahles OJ = i. Fällt П mit π, Fällt П, mit П, also a mit g zusammen, so zieht man Grund- und Aufriß des Sehstrahles durch Grund- und Aufriß des Auges, d. h. i' durch O' und i" durch A (Fig. 568). Die Vertikale durch J' = ixg trifft i" in J und den Horizont h in dem Fluchtpunkte J' der Horizontalprojektion der Geraden. Liegt П gegen TT geneigt, so zeichne man die Fluchtlinie z (z) von П2, lege O um z nach O um und bestimme Yo Die Parallele zu i" durch O schneidet dann z im Fluchtpunkte von "; seine Verbindungslinie mit Y aber bestimmt J auf der Vertikalen durch J' (vergl. 877).

A

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Fig. 568.

h

892. Wir erwähnen zwei besondere Arten von Fluchtpunkten, die oft benutzt werden. Bei architektonischen Gegenständen stoßen häufig schräge Begrenzungsflächen von gleicher Neigung gegen die Grundebene in schrägen Kanten zusammen. Bei gerader Ansicht sind diese Kanten parallel zu den Diagonalen eines Würfels, dessen Kanten parallel und senkrecht zu П und П, liegen oder parallel zu den Diagonalen einer ebenso gestellten quadratischen Säule. In dem ersten Falle sind ihre Fluchtpunkte die Ecken B1, B2, B3, B des dem Distanzkreise umgeschriebenen Quadrates mit je zwei horizontalen und vertikalen Seiten (vergl. Fig. 562); im anderen Falle liegen die Fluchtpunkte C1, C2, C3, C4 auf den Vertikalen durch die Distanzpunkte D und D, und auf den beiden Geraden, die durch A parallel zu den Aufrissen gezogen sind. Bei schräger Ansicht hat man das vorhin angegebene Verfahren zur Bestimmung der Fluchtpunkte einzuschlagen.

893. Sieht man von der Grundebene П, ab, deren Spur- und Fluchtlinie als g und h stets angegeben werden müssen, so kommt die Darstellung einer Ebene durch Spur- und Fluchtlinie in der angewandten Perspektive nicht vor. Wohl aber werden diese Elemente zu konstruktiven Zwecken gebraucht. Bei vielen Gegenständen ist es zweckmäßig, von vornherein die Fluchtlinien zu

bestimmen: erstens für die Frontebenen und zweitens für die Diagonalebenen, welche die von jenen gebildeten rechten Winkel halbieren.

894. Im XV. Kapitel sind die Grundaufgaben der darstellenden Geometrie durch Centralprojektion gelöst worden. Wir haben daher hier nur wenige Aufgaben mit Bezug auf die besondere Art zu besprechen, in der sie am häufigsten angewandt werden. Sie betreffen: 1. die Teilung vertikaler und horizontaler Strecken, sowie in Verbindung hiermit

2. die ähnliche Verkleinerung der Zeichnung durch Reduktion der Distanz,

3. die Darstellung von Kreisen und Ellipsen in horizontalen oder vertikalen Ebenen,

4. die Schattenkonstruktion.

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895. Die Teilung einer zur Bildebene parallelen, also speziell jeder vertikalen Strecke erfolgt im Bilde nach demselben Verhältnis, wie im Original. Um sie auszuführen, muß das Bild einer Teilstrecke bekannt sein. Ist auf einer Vertikalen vom Punkte P aus die Strecke PQ abzutragen, so ziehe man durch das Bild R ihres Grundspurpunktes R eine beliebige Gerade, die g in S und h in Mo schneiden mag, errichte in S die Vertikale und schneide sie mit MP. in M (Fig. 569); dann ist SMPR ein Rechteck und SM die wahre Länge von RP. Macht man MN auf SM der wahren Länge von PQ gleich, so geht NM durch Qe

Fig. 569.

-9

с

896. Die Teilung einer horizontalen Strecke erfolgt nach 864. Seien M und M Spur- und Fluchtpunkt einer in П, liegenden Geraden m, welche die Strecke PQ trägt. Dreht man m und MO um M resp. M in gleichem Sinne, bis sie mit g resp. h zusammenfallen, so gelangen die Punkte P, Q und O, in die Lagen PA, QA und O (Fig. 570) und die Geraden OPA, OQA schneiden m=MM in den gesuchten Punkten P, Q. Hierbei heißt O der Teilungspunkt der Geraden m und aller ihrer Parallelen. Legt man nämlich eine solche Horizontale um ihren Spurpunkt in die Bildebene parallel zu h um, so treffen die von O nach den Punkten der umgelegten Geraden gezogenen Strahlen die Bildgerade in den zugehörigen Bildpunkten.

A

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