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aus an sie gelegten Tangenten in P und Q berührt, so gehören diese Punkte dem Umriẞ u an. Ihre Bilder P und Q, werden auf d von den Strahlen OP und OQ ausgeschnitten; man konstruiert sie durch Umlegen der Ebene Od in die Bildebene (0° auf AB, 0oB=0,B, O'P und 0°Q tangieren m). Nun ist der Umriß u zur Ebene Od symmetrisch, seine Tangenten in P und Q stehen sonach auf Od senkrecht. Demnach gehen die Tangenten von u in P. und Q. durch den Fluchtpunkt N aller Normalen der Ebene Od (N auf AB, NË O。 10, B).

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Durch die Achse d drehe dieselbe um

885. Auch bei beliebiger Richtung der Rotationsachse d gegen die Bildebene kann die vorher beschriebene Konstruktion mit einer kleinen Abänderung verwendet werden (Fig. 560). lege man eine Normalebene zur Bildebene und ihre Spur d' in die Bildebene, so erhält man d", m'; zugleich drehe man das Auge um AF (|| d′) nach O".

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Jeder Punkt K von d ist der
Mittelpunkt eines Parallel-
kreises k, seine Ebene sei Ʌ,
ihre Spur- und Fluchtlinie
seien und (l‰ || l Id', l
durch M=k" x d', FO′′ || k′′
l durch F). Ist S auf d
wieder der Scheitel des
Kegels, der die Fläche längs
k tangiert, und S auf d sein
Bild (SO"S" × de), so sind
die Tangenten von S an k
zu bestimmen. Legt man k
um 7 nach k。 und O um l
nach 0, um (0。F∞

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O'F),

so sind k und k perspektiv.

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Dem Punkt S entspricht S (FS × 1 = G, GS || FA, S auf OS); die Tangenten aus S an k, berühren in C, und E, denen die Punkte C und E entsprechen (S, C, x1 = C12, S2 E2 × 1 = E1, C1 = SC1 × OC, E SE, XO,E). Der Umriß u geht durch C und E und berührt daselbst die Geraden SC und SE.

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= ×

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Ist die Rotationsachse senkrecht zur Bildebene, so sind die Bilder der Parallelkreise selbst Kreise und der scheinbare Umriß umhüllt alle diese Kreise.

886. Den Umriß einer Fläche 2. Grades zu zeichnen, von der drei konjugierte Durchmesser im Bilde gegeben sind (Fig. 561). Es seien M das Bild des Mittelpunktes und AB, CD, EF die Bilder der konjugierten Durchmesser, dann werden diese durch M und die bezüglichen Fluchtpunkte X, Y und Z harmonisch geteilt. Denn jeder Durchmesser wird durch den Mittel- und den unendlich fernen Punkt harmonisch geteilt. Man konstruiere also entweder direkt zu A, B, M den vierten harmonischen Punkt, u. s. w. oder man zeichne die Punkte 4DX BC und AC X BD, die auf X Y liegen, u. s. w. Nun ergeben sich die Bilder per le re der zugehörigen Diametralschnitte sofort; so geht p. durch A, B, Ce, De und berührt daselbst die Geraden AY, BY, CX, DX; beliebig viele Punkte und Tangenten von p. findet man mit Hilfe umgeschriebener Vierseite (268).

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Längs p wird die Fläche von einem Cylinder berührt, dessen Mantellinien zu EF parallel laufen; ihre Bilder gehen durch Z., und die beiden von Z an P. gelegten Tangenten bilden den scheinbaren Umriß des Cylinders. Berühren diese Tangenten die Ellipse p. in den beiden Punkten P. und Q, so gehen die gemeinPe samen Tangentialebenen von Cylinder und Fläche in P und Q durch das Auge. Demnach liegen P. und Q auf dem Umriß u der Fläche und dieser berührt in diesen Punkten die Ellipse P. Ganz analog wird der Umriß u die Kurven q, und r in je zwei Punkten R, S, resp. T, U berühren. Die Konstruktion gestaltet sich wie folgt. Man schneide AB, CD, EF mit den Seiten des Dreiecks XYZ bezüglich in J1, K1, L1 und suche die drei Punkte J, K, L。 die mit jenen zusammen die drei genannten Strecken harmonisch teilen ((4BJJ): = 1, u. s. w.). Da 4.B die Polare von Y in Bezug auf p. ist, liegt der Pol von YZ auf ÆВ und zwar in J; analog stellt K ̧ den Pol von XZ in Bezug auf p. vor. Somit ist JK die Polare von Z in Bezug auf p, und es sind Z K1, Z, Ke sowie ZJ, ZJ harmonische Polaren von p.. Diese beiden Geradenpaare definieren aber eine Involution, deren Doppelstrahlen die gesuchten Tangenten von p, sind (289); ihre Berührungspunkte liegen auf JK. Diese Doppelstrahlen ergeben sich nach 327 unter Zuhilfenahme eines Kreises.

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Hiernach lassen sich also die drei Paar Berührungspunkte des Umrisses u mit den Kurven P., e re leicht finden und aus sechs Punkten und den zugehörigen Tangenten der Umriß u zeichnen. Die Ebene des wahren Umrisses u schneidet die drei gegebenen Durchmesser in den Punkten J, K und Z.

Es mag hier darauf hingewiesen werden, daß drei beliebige Strecken AB, C.D. und EF, die einen Punkt M. gemein haben, nicht immer die Bilder dreier Achsen eines Ellipsoides darstellen. Das ist offenbar nur dann der Fall, wenn das Dreieck ihrer Fluchtpunkte ((4.B.MX)=-1) spitzwinklig ist. Denn sein Höhenschnittpunkt ist der Hauptpunkt und dieser liegt stets zwischen dem Fluchtpunkt einer Geraden und der Fluchtlinie einer zu ihr normalen Ebene (871). Falls es sich um die Bilder der Achsen

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handelt, kann man auch die Länge der Achsen sofort angeben, da man ja Hauptpunkt und Auge in diesem Falle kennt. Freilich muß noch die Entfernung des Mittelpunktes von der Bildebene bekannt sein, sonst ergeben sich nur die Verhältnisse der Achsen.

887. Haben wir es mit drei konjugierten Durchmessern einer beliebigen Fläche 2. Grades zu thun, so werden einer oder zwei von diesen Durchmessern imaginär sein, was jedoch die obige Konstruktion nur wenig ändert. Ist z. B. AB ein imaginärer Durchmesser, d. h. sind A, B die Gleichpunkte der auf dieser Geraden liegenden Involution harmonischer Pole der Fläche (vergl. 693-695), so ergiebt

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sich wie vorher, dagegen bildet J mit J zusammen ein Punktepaar der Involution, die durch die beiden Paare XM und AВ. definiert ist. Die Tangenten aus Z an pe sind wieder die Doppelstrahlen der Involution, der die Strahlenpaare durch K,, K, und J, J angehören.

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SECHSZEHNTES KAPITEL.

Angewandte Perspektive.

Allgemeines.

888. Das perspektive Bild eines räumlichen Gegenstandes erleichtert uns seine Vorstellung in höherem Maße als seine Darstellung in orthogonaler oder schiefer Parallelprojektion. Der Grund davon ist, daß die geometrischen Gesetze der Centralprojektion dem Vorgange beim Sehen wirklicher Dinge insofern genau entsprechen, als man von dem,,Körperlich-Sehen" abstrahiert, das durch das Zusammenwirken beider Augen zustande kommt. Denn beim Sehen mit einem Auge erzeugen die vom Objekte ausgehenden Lichtstrahlen, durch die Augenlinse vereinigt, auf der Netzhaut ein perspektives Bild. Man kann folglich auch jede perspektive Zeichnung in eine solche Lage zum Auge bringen, daß sich die Netzhautbilder ihrer Linien mit denen der entsprechenden Linien des Gegenstandes decken und hierdurch wird der höchste Grad von Anschaulichkeit erreicht, den eine Zeichnung gewähren kann. Dagegen kann man aus einer Perspektive die wahren Größen von Strecken und Winkeln nicht so einfach und genau entnehmen wie aus einer Parallelprojektion. Bei letzterer ergeben z. B. parallele und gleiche Strecken auch parallele und gleiche Bilder, während bei der Centralprojektion sowohl die Richtung als auch die Größe ihrer Bilder verschieden ausfällt, u. s. f. Man wird also die Art der Projektion nach dem Zwecke wählen, den man durch die Darstellung erreichen will. Kommt es vor allem anderen auf die anschauliche Wirkung an, wie in der Malerei und den zeichnenden Künsten, so hat man die Centralperspective zu wählen. Wir haben uns darauf zu beschränken, die Anwendung ihrer Regeln auf solche Objekte zu zeigen,

die geometrisch gesetzmäßige Formen haben. Dies trifft namentlich für die architektonischen Gegenstände zu; und wie es bei diesen üblich ist, wollen wir uns die abzubildenden Figuren durch Grundund Aufriß gegeben denken; an ihre Stelle kann natürlich auch die Angabe von Maßen treten. Wir erkennen also die Hauptaufgabe der angewandten Perspektive darin, in einer gegebenen Ebene und für einen gegebenen Augenpunkt das perspektive Bild eines durch Grund- und Aufriß gegebenen Objektes zu konstruieren.

Die zur Lösung dieser Aufgabe dienlichen Methoden sind größtenteils bereits im vorhergehenden Kapitel entwickelt worden. Die dort bewiesenen Sätze werden wir uns jetzt für die Anwendungen zurecht zu legen haben.

889. Wir denken uns eine horizontale Ebene П1, die Grundebene oder Bodenfläche; auf ihr und über ihr sollen sich die Objekte befinden. Die Bildebene П stellen wir vertikal, so daß jede vertikale Gerade des Raumes auch ein vertikales Bild erhält; dies trägt wesentlich zur Erhöhung der Anschaulichkeit bei, weil unser Auge infolge vielfältiger Übung für die Abweichung gerader Linien von der vertikalen Richtung sehr empfindlich ist. Die Schnittlinie g der Bildebene П mit der Grundebene П, heißt die Grundlinie (Grundschnitt, Basislinie). Das Auge O (Augpunkt, Gesichtspunkt) wird vor П und oberhalb π1

zu Π

gewählt. Die Parallelebene durch das Auge heißt die Verschwindungsebene; sie enthält die Verschwindungslinien aller Ebenen und die Verschwindungspunkte aller Geraden des Raumes. Die senkrechte Projektion des Auges O auf die Bildebene П heißt der Hauptpunkt (Fig. 562) und die Länge OA die Distanz. Die Parallelebene H zu ПT, durch wird die Horizontebene und ihre Schnittlinie h mit ПT wird Horizont

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(Horizontlinie) genannt; h ist die Fluchtlinie aller horizontalen Ebenen und trägt die Fluchtpunkte aller horizontalen Geraden,

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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