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(OE, | BC). Daraus ergiebt sich das Bild der Schnittlinie beider Ebenen, das durch die genannten Berührungspunkte hindurchgeht. Um hiernach für einen beliebigen leuchtenden Punkt L die Lichtgrenze l auf der Kugel und ihr Bild l., zu finden, hat man folgendermaßen zu verfahren. Man drehe L um den zur Bildebene normalen Kugeldurchmesser MM" in die Lage J, so daß die gedrehte Ebene durch das Auge O geht. Diese möge die Kugel im Kreise s schneiden, dann suche man die Polare PQ von J in Bezug auf s, schneide sie mit JK in R, und lege durch R. eine Ebene parallel zur Bildebene, sie wird die Kugel in einem Kreise h schneiden. Jetzt zeichne man die Bilder Po, Q, R, und h, sowie Spur- und Fluchtpunkt von PQ, alsdann Spur- und Fluchtpunkt der gedrehten Geraden ST. Auf dieser Bildgeraden liegt ein Durchmesser S„T“ von 1, während der konjugierte YX, auf M'L' senkrecht steht und von h, begrenzt wird. 884. Rotationsflächen. Soll der Umriß zu einer Rotationsfläche, deren Achse d zur Bildebene parallel ist, gefunden werden, so suche man zunächst das Bild d der Achse und das Bild m, der zur Bildebene parallelen Meridiankurve m. Läßt man jetzt m, um d. rotieren, so entsteht eine zur ursprünglichen Fläche ähnliche Rotationsfläche; das Ähnlichkeitscentrum liegt in O, so daß beide Flächen den nämlichen scheinbaren Umriß aufweisen. Wir können deshalb gleich annehmen, daß die Achse d und die Meridiankurve m der Rotationsfläche, deren scheinbaren Umriß wir suchen sollen, in der Bildebene liegen (Fig. 559). Ist k ein beliebiger Parallelkreis unserer Fläche, der m in H und J treffen mag, so wird sie (527) längs k von einem Rotationskegel berührt, durch dessen Spitze S auf d die Tangenten von m in den Punkten J und H gehen. Die beiden Tangenten von S an das Bild k des Parallelkreises bilden den scheinbaren Umriß des Rotationskegels; sie berühren k., in zwei Punkten C und E, in denen sie zugleich den Umriß u, berühren. Denn C und E auf k gehören dem wahren Umriß des Kegels an; ihre Tangentialebenen gehen somit durch O, und da sie zugleich die Rotationsfläche tangieren, liegen C und E auch auf u. Während aber k den wahren Umriß u auf der Fläche schneidet, muß sein Bild k den scheinbaren Umriß u. berühren; u. und k., berühren sich also in C und E, so daß SC und SE, die bezüglichen Tangenten sind. Um die Punkte C- und Ezu bestimmen, legen wir k um JH als k in die Bildebene um und benutzen die perspektive Beziehung zwischen k. und k. Die Fluchtlinie aller Parallelkreisebenen ist das vom Hauptpunkte A auf die Achse d gefällte Lot AB. Das um AB in die Bildebene umgelegte Auge O, ist das Centrum jener perspektiven Beziehung, JH ist ihre Achse, AB ihre Fluchtlinie. Nun suchen wir zu S den entsprechenden Punkt S, indem wir SA ziehen, in ihrem Schnittpunkte G mit JH auf dieser eine Normale errichten und dieselbe mit SO, in S,

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schneiden. In der That entspricht der Geraden GA die Gerade GS, (|AO) und SO, geht durch S. Die von S, an k, gelegten Tangenten mögen diesen Kreis in C und E, berühren und JH in C und E, schneiden, dann sind SC und SE, die entsprechenden Tangenten an ki, ihre Berührungspunkte C und E liegen auf O„C, resp. O„E%. Der scheinbare Umriß u, berührt die Meridiankurve m in zwei Punkten L und M., deren Tangenten durch A gehen. Die Tangentialebenen unserer Fläche in L und M sind nämlich zur Bildebene senkrecht, sie enthalten deshalb die Gerade AO, gehen also durch das Auge, so daß ihre Berührungspunkte dem Umriß angehören. Liegt in der Ebene Od die Meridiankurve n und wird sie von den aus O an sie gelegten Tangenten in Po und Q berührt, so gehören diese Punkte dem Umriß u an. Ihre Bilder Po und Q, werden auf d von den Strahlen OP und OQ ausgeschnitten; man konstruiert sie durch Umlegen der Ebene Od in die Bildebene (09 auf AB, 09B=0, B, 0'P und O'Q, tangieren m). Nun ist der Umriß u zur Ebene Od symmetrisch, seine Tangenten in Po und Q stehen sonach auf Od senkrecht. Demnach gehen die Tangenten von u. in P. und Q. durch den Fluchtpunkt N. aller Normalen der Ebene Od. (N, auf AB, N„O% LO„B). 885. Auch bei beliebiger Richtung der Rotationsachse d gegen die Bildebene kann die vorher beschriebene Konstruktion mit einer kleinen Abänderung verwendet werden (Fig. 560). Durch die Achse d lege man eine Normalebene zur Bildebene und drehe dieselbe um ihre Spur d' in die Bildebene, so erhält man d'“, – – – – – – – – – – – – – – - A. m“; zugleich drehe man das Auge um AF, (|d") nach O“. Jeder Punkt K. von d ist der Mittelpunkt eines Parallelkreises k, seine Ebene sei A, ihre Spur- und Fluchtlinie seien l und l, (l, | l L. d', l durch M-k“x d', F, 0" k“, l, durch F.). Ist S auf d wieder der Scheitel des Kegels, der die Fläche längs k tangiert, und S. auf d sein Bild (S = O'S“ ×d), so sind die Tangenten von S. an k. zu bestimmen. Legt man k um l nach k und O um 1, nach O, um (O„F, = O"F), Fig, so so sind k. und k., perspektiv. Dem Punkt S. entspricht S, (F„S, x l= G, GS | F„A, S, auf O„S); die Tangenten aus S, an k, berühren in C und E, denen die Punkte C und E, entsprechen (S„C, x l= C, S„E, x l= E, C = SC

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E, und berührt daselbst die Geraden SC, und S„E.

Ist die Rotationsachse senkrecht zur Bildebene, so sind die Bilder der Parallelkreise selbst Kreise und der scheinbare Umriß umhüllt alle diese Kreise.

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886. Den Umriß einer Fläche 2. Grades zu zeichnen, von der drei konjugierte Durchmesser im Bilde gegeben sind (Fig.561). Es seien M, das Bild des Mittelpunktes und A, B, C, D, E, F, die Bilder der konjugierten Durchmesser, dann werden diese durch M. und die bezüglichen Fluchtpunkte X, Y, und Z, harmonisch geteilt. Denn jeder Durchmesser wird durch den Mittel- und den unendlich fernen Punkt harmonisch geteilt. Man konstruiere also entweder direkt zu A, B, M, den vierten harmonischen Punkt, u. s.w. oder man zeichne die Punkte A, D, X B, C und AC, X B„D, die auf X, Y, liegen, u. s. w. Nun ergeben sich die Bilder p, q, r, der zugehörigen Diametralschnitte sofort; so geht p, durch A, B, C, D, und berührt daselbst die Geraden A, M, BP, C-X, DX„; beliebig viele Punkte und Tangenten von p, findet man mit Hilfe umgeschriebener Vierseite (268). Längs p wird die Fläche von einem Cylinder berührt, dessen Mantellinien zu EF" parallel laufen; ihre Bilder gehen durch Z., und die beiden von Z, an p. gelegten Tangenten bilden den scheinbaren Umriß des Cylinders. Berühren diese Tangenten die Ellipse p, in den beiden Punkten Po und Q, so gehen die gemeinsamen Tangentialebenen von Cylinder und Fläche in Pound Q durch das Auge. Demnach liegen P. und Q, auf dem Umriß u, der Fläche und dieser berührt in diesen Punkten die Ellipse p. Ganz analog wird der Umriß u, die Kurven q, und r, in je zwei Punkten R, S, resp. T, U, berühren. Die Konstruktion gestaltet sich wie folgt. Man schneide A, B, C, D, E, F, mit den Seiten des Dreiecks X, Y„Z, bezüglich in J, K, L, und suche die drei Punkte J, K, L, die mit jenen zusammen die drei genannten Strecken harmonisch teilen ((A, B, JJ)=– 1, u. s.w). Da A, B, die Polare von Y, in Bezug auf p, ist, liegt der Pol von Y„Z, auf A, B, und zwar in J.; analog stellt K., den Pol von X„Z, in Bezug auf p, vor. Somit ist J„K, die Polare von Z, in Bezug auf p, und es sind Z„K, Z„K, sowie Z„J, Z„J, harmonische Polaren von p. Diese beiden Geradenpaare definieren aber eine Involution, deren Doppelstrahlen die gesuchten Tangenten von p, sind (289); ihre Berührungspunkte liegen auf J„K. Diese Doppelstrahlen ergeben sich nach 327 unter Zuhilfenahme eines Kreises. Hiernach lassen sich also die drei Paar Berührungspunkte des Umrisses u. mit den Kurven p, q, r, leicht finden und aus sechs Punkten und den zugehörigen Tangenten der Umriß u, zeichnen. Die Ebene des wahren Umrisses u schneidet die drei gegebenen Durchmesser in den Punkten J, K und L.

Es mag hier darauf hingewiesen werden, daß drei beliebige Strecken A, B, C, D und E„F, die einen Punkt M, gemein haben, nicht immer die Bilder dreier Achsen eines Ellipsoides darstellen. Das ist offenbar nur dann der Fall, wenn das Dreieck ihrer Fluchtpunkte (A, B, MX.)=– 1) spitzwinklig ist. Denn sein Höhenschnittpunkt ist der Hauptpunkt und dieser liegt stets zwischen dem Fluchtpunkt einer Geraden und der Fluchtlinie einer zu ihr normalen Ebene (871). Falls es sich um die Bilder der Achsen

Fig. 561.

handelt, kann man auch die Länge der Achsen sofort angeben, da man ja Hauptpunkt und Auge in diesem Falle kennt. Freilich muß noch die Entfernung des Mittelpunktes von der Bildebene bekannt sein, sonst ergeben sich nur die Verhältnisse der Achsen.

887. Haben wir es mit drei konjugierten Durchmessern einer beliebigen Fläche 2. Grades zu thun, so werden einer oder zwei von diesen Durchmessern imaginär sein, was jedoch die obige Konstruktion nur wenig ändert. Ist z. B. AB ein imaginärer Durchmesser, d. h. sind A, B die Gleichpunkte der auf dieser Geraden liegenden Involution harmonischer Pole der Fläche (vergl. 693–695), so ergiebt

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