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wie die Punkte in ПT, selbst). Die Ebene des wahren Umrisses k steht auf П, senkrecht, dieser schneidet s in zwei Punkten B und C, deren Tangenten durch O laufen. Das Bild BC der Kugelsehne BC ist die große Achse des scheinbaren Umrisses k und ihr Mittelpunkt K ist das Bild des Punktes K der Sehne BC, der dem zur Bildebene normalen Kugeldurchmesser angehört (K = MM' × BC). Ist nämlich M'P 40, so ist OP die Polare von K, denn sie muß erstens durch den Pol O von BC gehen und zweitens auf MK senkrecht stehen. Demnach sind die vier Strahlen OB, OC, OK, OP harmonisch (289) und folglich auch ihre Schnittpunkte mit ; einer derselben ist aber unendlich fern, also halbiert K die Strecke BC Das Bild der Kugelsehne DE, die in K auf П, senkrecht steht, stellt die kleine Achse des scheinbaren Umrisses dar; denn DE ist zur Bildebene parallel, so daß DE zu x normal wird. Zur Konstruktion kann man die orthogonalen Projektionen von D und E auf die Bildebene benutzen, und zwar liegen D', E' zu x symmetrisch und es ist D'E' QR (der zu z parallelen Kugelsehne durch K); x dann tragen AD' und AE' die gesuchten Bildpunkte D. und E.

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Alle zur Bildebene parallelen Kugelkreise liefern kreisförmige Bilder; sie schneiden den wahren Umriß k in je zwei Punkten, während ihre Bilder den scheinbaren Umriß k in den entsprechenden Punkten berühren. So gehört zu dem zur Bildebene parallelen Kugelkreise mit dem Mittelpunkt K als Bild der Kreis mit dem Durchmesser DE; sein auf x liegender Durchmesser ist das Bild der Kugelsehne QR. Legt man durch C den zur Bildebene parallelen Kugelkreis i mit dem Mittelpunkt J, so berührt er k in C; sein Bild ist deshalb der Krümmungskreis der Ellipse k im Endpunkte C ihrer großen Achse, J ist der zugehörige Krümmungsmittelpunkt. Analog ergiebt sich der Krümmungskreis im Punkte B. Die Bilder F, G. der Endpunkte des zur Bildebene normalen Kugeldurchmessers FG sind die Brennpunkte der Ellipse k. Denn der Rotationskegel mit dem Scheitel O und dem Leitkreise k wird von der Tangentialebene im Punkte F der Kugel in einer Ellipse mit dem Brennpunkte F geschnitten (388). Diese Ellipse ist zu k ähnlich und in ähnlicher Lage mit O als Ähnlichkeitscentrum, woraus die vorstehende Behauptung folgt.

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Der scheinbare Umriẞ k kann demnach auch in der Weise bestimmt werden, daß man auf r die Bilder der Punkte B, C, F und G zeichnet und um F mit der halben großen Achse als Radius einen Kreis schlägt; dieser geht dann durch die Endpunkte der kleinen Achse.

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883. Die Lichtgrenze auf der Kugel bei Centralbeleuchtung (Fig. 558). Wir bestimmen zunächst in der vorher geschilderten Weise den wahren Umriß k und den scheinbaren Umriß k der Kugel, indem wir durch das Auge O und den Kugelmittelpunkt M eine Ebene П, senkrecht zur Bildebene legen. In der

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umgelegten Ebene П, seien, wie vorher, der Schnittkreis mit s, das Auge mit 0, die Berührungspunkte der von 0 ans gelegten Tangenten mit B und C und der Schnittpunkt von BC mit dem zu П normalen Kugeldurchmesser mit K bezeichnet. Wir wollen nun die beiden Fälle behandeln, wo der leuchtende Punkt in der Ebene П2 liegt und wo er eine allgemeine Lage besitzt. Der erste Fall läßt sich leicht erledigen und der zweite kann dann auf ihn zurückgeführt werden.

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Ist der leuchtende Punkt in П, und sind J' und J auf æ gegeben, so zeichne man den mit ПT, umgelegten Punkt J. Die Polarebene des leuchtenden Punktes schneidet die Kugel in der Lichtgrenze i. Die von J an den Kreis s gelegten Tangenten berühren ihn also in den Endpunkten eines der Lichtgrenze i angehörigen Durchmessers PQ. Da er alle zur Bildebene parallelen Sehnen von i halbiert, so ist sein Bild P.Q. (auf x) ein Durchmesser und zwar eine Achse von . Die andere Achse UV ist das Bild derjenigen Sehne UV

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von i, deren Pol der Verschwindungspunkt W von PQ ist (WO || x); denn die Bilder der Tangenten WU, WV werden zu x parallel. Nun ist JK die Polare von W in Bezug auf s, denn K ist der Pol von OW und J der Pol von PQ. Demnach liegt R = PQ X JK auf der Polarebene des Punktes W in Bezug auf die Kugel; folglich steht UV in Rauf П2 senkrecht. Die Punkte U, V liegen auf einem zur Bildebene parallelen Kugelkreise h, dessen Ebene durch R geht; sein Bild h schneidet deshalb die in R. auf x errichtete Normale in den Bildpunkten U, V. Das Bild der Lichtgrenze hat somit die Achsen PQ und UV.

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Wie ändern sich nun die Verhältnisse, wenn an Stelle des leuchtenden Punktes J ein leuchtender Punkt Z tritt, der aus J durch eine Drehung um den Kugeldurchmesser MM (П) hervorgeht (M'J' M'L', J'M'L' = a, L. auf AL', JL ̧ || J'L', da JL || T = ■ ist)? Dann geht offenbar auch die Lichtgrenze 7 für den leuchtenden Punkt aus dem Kreise i durch Drehung um die Achse MM' hervor; speziell mögen hierbei die Punkte P, Q, U, V von i in die Punkte S, T, X, Y von 7 übergehen. Die Bilder der Sehnen ST und XY von 7 sind alsdann konjugierte Durchmesser des Bildes der Lichtgrenze 7. Denn ST halbiert alle zur Bildebene parallelen Sehnen von 7, und der Pol der Sehne XY, oder der gedrehte Punkt W, liegt in der Verschwindungsebene, d. h. in der zur Bildebene parallelen Ebene durch das Auge. Da alle Punkte eine Drehung um den gleichen Winkel a und um die gleiche Achse MM' erfahren, sind die Sehnen PS und QT zu J'I' parallel und also auch ihre Bilder. Die Punkte X, Y liegen auf h, ihre Bilder auf h, und es ist XY zu M'L' normal, da XY M'L' ist und beide Linien zur Bildebene parallel laufen.

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Sind F, F. Spur- und Fluchtpunkt der Geraden PQ, so ergeben sich aus ihnen Spur- und Fluchtpunkt G und G. der gedrehten Geraden ST ( FM'G = L FAG = a, M'G = M'F, AG AF∞). = Zieht man durch P, Q, Re Parallele zu J'I', so schneiden sie auf GG den Durchmesser ST von und seinen Mittelpunkt Z aus (Z = ST × XY). Das von Z. auf M'L' gefällte Lot trifft he in den Endpunkten X, Y des zu ST konjugierten Durchmessers von 1, wodurch diese Kurve bestimmt ist. Die Lichtgrenze 7 und der Umriẞk schneiden sich in zwei Punkten, ihre Bilder und k berühren sich in den Bildern dieser Punkte. Spur- und Fluchtlinie der Ebene der Lichtgrenze stehen auf M'L' senkrecht und gehen durch G, resp. G; Spur- und Fluchtlinie der Ebene des Umrisses stehen auf x senkrecht und gehen durch E (= BC × x), resp. E

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(OE || BC). Daraus ergiebt sich das Bild der Schnittlinie beider Ebenen, das durch die genannten Berührungspunkte hindurchgeht.

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Um hiernach für einen beliebigen leuchtenden Punkt Z die Lichtgrenze auf der Kugel und ihr Bild 7 zu finden, hat man folgendermaßen zu verfahren. Man drehe I um den zur Bildebene normalen Kugeldurchmesser MM' in die Lage J, so daß die gedrehte Ebene durch das Auge O geht. Diese möge die Kugel im Kreise st schneiden, dann suche man die Polare PQ von J in Bezug auf s, schneide sie mit JK in R, und lege durch R eine Ebene parallel zur Bildebene, sie wird die Kugel in einem Kreise h schneiden. Jetzt zeichne man die Bilder P, Q, R und h, sowie Spur- und Fluchtpunkt von PQ, alsdann Spur- und Fluchtpunkt der gedrehten Geraden ST. Auf dieser Bildgeraden liegt ein Durchmesser ST von 1, während der konjugierte YX auf M'L' senkrecht steht und von he begrenzt wird.

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884. Rotationsflächen. Soll der Umriß u einer Rotationsfläche, deren Achse d zur Bildebene parallel ist, gefunden werden, so suche man zunächst das Bild d der Achse und das Bild m der zur Bildebene parallelen Meridiankurve m. Läßt man jetzt m um d rotieren, so entsteht eine zur ursprünglichen Fläche ähnliche Rotationsfläche; das Ähnlichkeitscentrum liegt in O, so daß beide Flächen den nämlichen scheinbaren Umriß aufweisen. Wir können deshalb gleich annehmen, daß die Achse d und die Meridiankurve m der Rotationsfläche, deren scheinbaren Umriß wir suchen sollen, in der Bildebene liegen (Fig. 559).

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Ist kein beliebiger Parallelkreis unserer Fläche, der m in H und J treffen mag, so wird sie (527) längs k von einem Rotationskegel berührt, durch dessen Spitze S auf d die Tangenten von m in den Punkten J und H gehen. Die beiden Tangenten von S an das Bild k des Parallelkreises bilden den scheinbaren Umriß des Rotationskegels; sie berühren k ̧ in zwei Punkten C und E, in denen sie zugleich den Umriß u berühren. Denn C und E auf k gehören dem wahren Umriß des Kegels an; ihre Tangentialebenen gehen somit durch O, und da sie zugleich die Rotationsfläche tangieren, liegen C und E auch auf u. Während aber k den wahren Umriß u auf der Fläche schneidet, muß sein Bild k den scheinbaren Umriß u berühren; u und k ̧ berühren sich also in C und E, so daß SC. und SE die bezüglichen Tangenten sind. Um die Punkte C, und E zu bestimmen, legen wir k um JH als k, in die Bildebene um und benutzen die perspektive Beziehung zwischen k und ko. Die Fluchtlinie aller Parallelkreisebenen ist das vom Hauptpunkte A auf die

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Achse d gefällte Lot AB. Das um AB in die Bildebene umgelegte Auge 0, ist das Centrum jener perspektiven Beziehung, JH ist ihre Achse, AB ihre Fluchtlinie. Nun suchen wir zu S den entsprechenden Punkt S, indem wir SA ziehen, in ihrem Schnittpunkte G mit JH auf dieser eine Normale errichten und dieselbe mit SO, in S

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Fig. 559.

schneiden. In der That entspricht der Geraden GA die Gerade GS (40) und SO, geht durch S. Die von S, an ko gelegten Tangenten mögen diesen Kreis in C, und E berühren und JH in C1 und E schneiden, dann sind SC, und SE, die entsprechenden Tangenten an k, ihre Berührungspunkte C und E liegen auf OoCo, resp. OE。.

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Der scheinbare Umriß u berührt die Meridiankurve m in zwei Punkten L und M, deren Tangenten durch A gehen. Die Tangentialebenen unserer Fläche in I und M sind nämlich zur Bildebene senkrecht, sie enthalten deshalb die Gerade 40, gehen also durch das Auge, so daß ihre Berührungspunkte dem Umriß angehören. Liegt in der Ebene Od die Meridiankurve n und wird sie von den

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