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ihre Spurlinie in die Bildebene um. Diese Ebene ist normal zur Spur e, da die Kegelachse auf E normal steht; sie schneidet deshalb E in einer Falllinie f durch den Kreismittelpunkt K (AF, Le, K"FL e, A0% = Distanz, f | O„F, fi, durch F). Wir errichten jetzt im Punkte K., (FK, = FK") auff, eine Normale K„S, gleich der Kegelhöhe, dann geht der Strahl O„S, durch das Bild S. des Kegelscheitels S. Dieses Bild liegt aber auch auf dem Bilde K„N, der in K. auf E errichteten Normalen (N, auf AF, M,O, IL OF.) und ist hierdurch bestimmt. Der scheinbare Umriß des Kegels wird von den beiden aus S, an k gelegten Tangenten gebildet, die man dadurch findet, daß man zuerst die entsprechenden Tangenten an k” sucht. Bei der perspektiven Zuordnung von k. und ko entspricht S, ein Punkt So; von ihm aus gehen zwei Tangenten an den Kreis ko, deren Berührungspunkte B" und Co sein mögen. Die entsprechenden Bildpunkte B und C auf k, gehören dem Umriß an. Die Lichtgrenze des Kegels für einen leuchtenden Punkt L besteht aus den beiden Mantellinien, deren Tangentialebenen durch L gehen. Diese Ebenen enthalten die Gerade LS und folglich auch ihren Schnittpunkt T' mit der Basisebene E; sie schneiden daher E in den aus T" an k gezogenen Tangenten, deren Berührungspunkte D und E sein mögen. Somit sind SD und SE die Mantellinien der Lichtgrenze. Ist L auf einer Geraden g (G, G„) gegeben, so lege man durch sie eine Ebene senkrecht zu E. und schneide sie mit ihr in h (H,=e, × G„N, Haufe, HG |N, G.). Dann ist T =h,><LS, das Bild des gesuchten Punktes T, und die aus ihm an k gelegten Tangenten berühren diese Kurve in den gesuchten Punkten D und E. Um sie zu zeichnen, bestimme man wieder in der perspektiven Beziehung zwischen k. und ko den entsprechenden Punkt T9 zu T. und die Berührungspunkte D’, E" der von ihm an k’ gelegten Tangenten, diesen entsprechen dann rückwärts D und E . In der Figur sind die orthogonalen Projektionen L/ und L“ des Punktes L auf die Ebenen TT, und E als bekannt vorausgesetzt. L/ ist um die Spur von TI, nach L, L“ um die Spur e nach L“ umgelegt (die Projektionen und ihre Umlegungen tragen die nämliche Bezeichnung). Dabei sind die Projektionen in der bekannten Weise miteinander verknüpft, d. h. die Fußpunkte der Lote, die man von L' auff, und von L“ auf FK9 fällt, stehen gleichweit von F ab. Es ergiebt sich hier T" = S„L/xf, als Projektion von T' auf TT, und daraus der um die Spur e umgelegte Punkt T” auf K"F" (FT“ = FT"). Demnach ist T9 der Schnittpunkt der Geraden KoL' mit der Parallelen zu e durch To", woraus dann Do, E" und die Punkte T', D, E, folgen (K979 x e = H, T = KH × O'T"). Schneidet man noch KH mit L'O", so erhält man L“ und L, als Schnittpunkt von L'N, mit ST.

Der sichtbare Teil des Kegelmantels ist der Geraden SO zugekehrt; er geht durch den Teil des Kreises k, der dem Punkte SO x E zugekehrt ist (dessen Bild mit S, zusammenfällt, da dieser auf der Strecke SO liegt). Durch Umlegung um die Spur e gelangt dieser Schnittpunkt nach So, dem der Kreisbogen BoDoCo zugekehrt ist, so daß der Bogen BDC, auf dem sichtbaren Teile des Kegelmantels liegt. Ähnlich erkennt man, daß der Teil des Mantels durch DCE im Lichte liegt.

882. Die Kugel (Fig. 557). Legt man vom Auge O den Tangentialkegel an eine Kugel K, so berührt er dieselbe in einem

z+ F“ -------Kreise k – dem wahren Umriß der Kugel – während er die Bildebene in einem Kegelschnitte k – dem scheinbaren Um

risse – schneidet. Um k zu konstruieren, benutzen wir eine zur Bildebene normale Hilfsebene TT, durch das Auge O und den Mittelpunkt M der Kugel. Letzterer mag durch sein Bild M. und seine orthogonale Projektion M" gegeben sein, außerdem sei der Radius r der Kugel bekannt. Die Hilfsebene TT, legen wir um ihre Spur x = M'MA um, dann gelangt der Kugelmittelpunkt nach M (AOL, A0= Distanz, MM" L x, M = MM"x OM) und der in TT, liegende Kugelkreis nach s (die umgelegten Punkte sind ebenso bezeichnet, wie die Punkte in TT, selbst). Die Ebene des wahren Umrisses k steht auf TT, senkrecht, dieser schneidet s in zwei Punkten B und C, deren Tangenten durch O laufen. Das Bild B, C, der Kugelsehne BC ist die große Achse des scheinbaren Umrisses k. und ihr Mittelpunkt K., ist das Bild des Punktes K der Sehne BC, der dem zur Bildebene normalen Kugeldurchmesser angehört (K = MM"x BC). Ist nämlich M'PH AO, so ist OP die Polare von K, denn sie muß erstens durch den Pol O von BC gehen und zweitens auf MK senkrecht stehen. Demnach sind die vier Strahlen OB, OC, OK, OP harmonisch (289) und folglich auch ihre Schnittpunkte mit x; einer derselben ist aber unendlich fern, also halbiert K., die Strecke BC. Das Bild der Kugelsehne DE, die in K auf TI, senkrecht steht, stellt die kleine Achse des scheinbaren Umrisses dar; denn DE ist zur Bildebene parallel, so daß D, E, zu - normal wird. Zur Konstruktion kann man die orthogonalen Projektionen von D und E auf die Bildebene benutzen, und zwar liegen D, E" zu r symmetrisch und es ist D/E" = QR (der zu x parallelen Kugelsehne durch K); dann tragen AD" und AE" die gesuchten Bildpunkte D, und E.

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Alle zur Bildebene parallelen Kugelkreise liefern kreisförmige Bilder; sie schneiden den wahren Umriß k in je zwei Punkten, während ihre Bilder den scheinbaren Umrißk, in den entsprechenden Punkten berühren. So gehört zu dem zur Bildebene parallelen Kugelkreise mit dem Mittelpunkt K als Bild der Kreis mit dem Durchmesser DE; sein auf r liegender Durchmesser ist das Bild der Kugelsehne QR. Legt man durch C den zur Bildebene parallelen Kugelkreis i mit dem Mittelpunkt J, so berührt er k in C; sein Bild , ist deshalb der Krümmungskreis der Ellipse k, im Endpunkte C. ihrer großen Achse, J. ist der zugehörige Krümmungsmittelpunkt. Analog ergiebt sich der Krümmungskreis im Punkte B. Die Bilder F, G, der Endpunkte des zur Bildebene normalen Kugeldurchmessers FG sind die Brennpunkte der Ellipse k. Denn der Rotationskegel mit dem Scheitel O und dem Leitkreise k wird von der Tangentialebene im Punkte F der Kugel in einer Ellipse mit dem Brennpunkte F geschnitten (388). Diese Ellipse ist zu k ähnlich und in ähnlicher Lage mit 0 als Ahnlichkeitscentrum, woraus die vorstehende Behauptung folgt.

Der scheinbare Umrißk, kann demnach auch in der Weise bestimmt werden, daß man auf x die Bilder der Punkte B, C, F und G zeichnet und um F" mit der halben großen Achse als Radius einen Kreis schlägt; dieser geht dann durch die Endpunkte der kleinen Achse.

883. Die Lichtgrenze auf der Kugel bei Centralbeleuchtung (Fig. 558). Wir bestimmen zunächst in der vorher geschilderten Weise den wahren Umriß k und den scheinbaren Umriß k. der Kugel, indem wir durch das Auge O und den Kugelmittelpunkt M eine Ebene TT, senkrecht zur Bildebene legen. In der

Fig. 558.

umgelegten Ebene TT, seien, wie vorher, der Schnittkreis mit s, das Auge mit O, die Berührungspunkte der von O an s gelegten Tangenten mit B und C und der Schnittpunkt von BC mit dem zu TT normalen Kugeldurchmesser mit K bezeichnet. Wir wollen nun die beiden Fälle behandeln, wo der leuchtende Punkt in der Ebene TT, liegt und wo er eine allgemeine Lage besitzt. Der erste Fall läßt sich leicht erledigen und der zweite kann dann auf ihn zurückgeführt werden. Ist J der leuchtende Punkt in TI, und sind J’ und J. auf 2 gegeben, so zeichne man den mit TT, umgelegten Punkt J. Die Polarebene des leuchtenden Punktes schneidet die Kugel in der Lichtgrenze i. Die von Jan den Kreis s gelegten Tangenten berühren ihn also in den Endpunkten eines der Lichtgrenze i angehörigen Durchmessers PQ. Da er alle zur Bildebene parallelen Sehnen von i halbiert, so ist sein Bild PQ (auf) ein Durchmesser und zwar eine Achse von i. Die andere Achse U„W, ist das Bild derjenigen Sehne UV von i, deren Pol der Verschwindungspunkt W von PQ ist (WO |2); denn die Bilder der Tangenten WU, WW werden zu x parallel. Nun ist JK die Polare von Win Bezug aufs, denn K ist der Pol von OW und J der Pol von PQ. Demnach liegt R = PQ × JK auf der Polarebene des Punktes W in Bezug auf die Kugel; folglich steht UV in R auf TT, senkrecht. Die Punkte U, W liegen auf einem zur Bildebene parallelen Kugelkreise h, dessen Ebene durch R. geht; sein Bild h, schneidet deshalb die in R, auf r errichtete Normale in den Bildpunkten U-, W. Das Bild i, der Lichtgrenze hat somit die Achsen PQ, und UW. Wie ändern sich nun die Verhältnisse, wenn an Stelle des leuchtenden Punktes J ein leuchtender Punkt L tritt, der aus J. durch eine Drehung um den Kugeldurchmesser MM" (LTT) hervorgeht (M"J" = M'L, z. J"M"L/= a, L, auf AL, JL |J"L", da JL | TT ist)? Dann geht offenbar auch die Lichtgrenze l für den leuchtenden Punkt L aus dem Kreise i durch Drehung um die Achse MM“ hervor; speziell mögen hierbei die Punkte P, Q, U, W von i in die Punkte S, T, X, Y von l übergehen. Die Bilder der Sehnen ST" und XY von l sind alsdann konjugierte Durchmesser des Bildes l, der Lichtgrenze l. Denn ST" halbiert alle zur Bildebene parallelen Sehnen von l, und der Pol der Sehne XY, oder der gedrehte Punkt W, liegt in der Verschwindungsebene, d. h. in der zur Bildebene parallelen Ebene durch das Auge. Da alle Punkte eine Drehung um den gleichen Winkel an und um die gleiche Achse MM" erfahren, sind die Sehnen PS und QT" zu J"L/ parallel und also auch ihre Bilder. Die Punkte X, Y liegen auf h, ihre Bilder auf h, und es ist XX. zu M'L/ normal, da XX L. M'L/ ist und beide Linien zur Bildebene parallel laufen. Sind F, F, Spur- und Fluchtpunkt der Geraden PQ, so ergeben sich aus ihnen Spur- und Fluchtpunkt G. und G., der gedrehten Geraden ST" (z. FM'G = z. F„AG,= a, M'G = M'F, AG,= AF.). Zieht man durch Po, Q, R. Parallele zu J"L, so schneiden sie auf GG, den Durchmesser S„T“ von l, und seinen Mittelpunkt Z. aus (Z = ST’x XX). Das von Z. auf M'L/ gefällte Lot trifft h, in den Endpunkten X, Y, des zu ST" konjugierten Durchmessers von 1, wodurch diese Kurve bestimmt ist. Die Lichtgrenze l und der Umriß k schneiden sich in zwei Punkten, ihre Bilder 1. und k., berühren sich in den Bildern dieser Punkte. Spur- und Fluchtlinie der Ebene der Lichtgrenze stehen auf M'L/ senkrecht und gehen durch G, resp. G.; Spur- und Fluchtlinie der Ebene des Umrisses stehen auf x senkrecht und gehen durch E (= BC x x), resp. E„

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