auf, dann besitzen die von G an den Kreis ko gelegten Tangenten parallele Bilder, die k in den Endpunkten des zu e parallelen Durchmessers berühren.

с

с

с

Die Bilder der Mantellinien unseres Cylinders laufen verlängert durch M, sein scheinbarer Umriß wird also von den beiden aus M an k gelegten Tangenten gebildet. Sind U, V ihre Berührungspunkte mit ke, so ist M. der Pol von UV; die entsprechende Sehne UoVo von ko ist also die Polare eines Punktes Mo, der dem Punkte M bei der perspektiven Beziehung von k und ko entspricht (MMo durch Oo, MC durch F, CM° e). Man kann die Sache auch folgendermaßen auffassen. Die aus dem Auge an den Cylinder gelegten Tangentialebenen berühren ihn im wahren Umriß, sie schneiden sich in einer Parallelen zu den Mantellinien durch das Auge 0. Diese trifft die Ebene E in einem Punkte M, so daß die Tangenten von k in U und V sich in M schneiden. M ist das Bild von M, daher entsprechen sich M und der umgelegte Punkt M° in der perspektiven Beziehung zwischen k und ko. Man zeichne deshalb k ̧ Mo, U°V und dann die entsprechende Gerade UV.

с

Сс

Um das Bild der Schnittkurve c unseres Cylinders mit der Ebene ▲ zu gewinnen, kann man die perspektive Beziehung zwischen Сс e und benutzen. M ist das Centrum und s. (s = AXE) die k Achse dieser Perspektive; dabei entsprechen sich die Bilder je zweier Geraden von E und ▲, die in einer zu den Mantellinien parallelen Ebene liegen. Jede zu e und den Mantellinien parallele Ebene besitzt die Fluchtlinie MW (e), sie schneidet ▲ in einer Geraden mit dem Fluchtpunkte W (auf d) und E in einer Parallelen zu e. Bei der perspektiven Beziehung zwischen k und c, entsprechen also den Parallelen zu e die Geraden durch W (spezielle und do), folglich entspricht der unendlich fernen Geraden des ersten Systems eine Parallele zu s durch W. Ähnlich entspricht der unendlich fernen Geraden des zweiten Systems eine Parallele z zu s。 durch X auf e, wenn SX = SX = WM ist. Dem Pol Y von 2 in Bezug auf k entspricht hiernach der Mittelpunkt von c. Man suche also ro und seinen Pol Yo in Bezug auf ko und ziehe durch Yo zwei konjugierte Polaren. Dann zeichne man ihre Bilder es sind konjugierte Polaren von k - diesen entsprechen zwei konjugierte Durchmesser von c.. In der Zeichnung geht die Konstruktion von einem dem Kreise ko umschriebenen Quadrate aus, dessen Seiten zu e parallel, resp. normal sind, dessen Diagonalen also mit e einen Winkel von 45° einschließen. Die Bilder der Diagonalen (Fluchtpunkte O resp. 04) und der Quadratseiten, sowie ihrer Berührungspunkte sind gezeichnet, daraus

с

с

с

с

с

с

ergiebt sich k. Das Quadrat ist die Grundfläche eines Prisma, dessen Seiten den Cylinder längs je einer Mantellinie berühren. Das Prisma wird von ▲ in einem Viereck geschnitten, dessen Bild der Ellipse c. umgeschrieben ist. Der Fluchtpunkt zweier Quadratseiten ist F, folglich ist Hd X MF der Fluchtpunkt der entsprechenden Seiten des Vierecks; die anderen Quadratseiten sind zu e parallel, folglich haben die zugehörigen Viereckseiten den Fluchtpunkt W. Überhaupt liegen die Fluchtpunkte entsprechender Geraden in ▲ und E auf d und e so, daß ihre Verbindungslinie durch M geht, ihre Spurpunkte auf d und e liegen auf einer Parallelen hierzu. Hierdurch bestimmen sich Seiten, Diagonalen und Berührungssehnen des der Ellipse e umschriebenen Vierecks. Die Umrißlinien berühren c in R und T und es schneiden sich RT und UV auf s; in der Figur ist noch der Schnittpunkt von RT mit einer Vierecksseite gezeichnet.

с

с

c

Die Ellipse c läßt sich aus diesem umgeschriebenen Viereck einfach zeichnen, da sich nach 268 die Diagonalen und die Verbindungslinien der Berührungspunkte der Gegenseiten eines jeden umschriebenen Vierecks in einem Punkte schneiden. Nimmt man also drei feste Tangenten der Kurve und verbindet die Berührungspunkte zweier, so bildet jeder Punkt der Verbindungslinie den Diagonalschnittpunkt eines umgeschriebenen Vierecks, von dem drei Seiten. auf den festen Tangenten liegen. Man erhält so beliebig viele Tangenten mit ihren Berührungspunkten.

=

Wir wollen nun noch die Lichtgrenze auf dem Cylinder für einen beliebigen leuchtenden Punkt Z konstruieren. I sei durch sein Bild L. und seine orthogonale Projektion I gegeben. Die Tangentialebenen durch L an den Cylinder berühren ihn in den Mantellinien der Lichtgrenze und haben die durch den leuchtenden Punkt gehende Parallele zu den Mantellinien gemein. Letztere schneidet die Basisebene E in einem Punkte Z (Ne∞ × M∞ A, NL' || M∞A, N auf e, Z = MÅL ̧× NN); die von ihm an den Kreis k gelegten Tangenten berühren denselben in zwei Punkten P und Q der Lichtgrenze. Man suche zuerst Z° und seine Polare PoQo in Bezug auf ko und daraus PQ.; die Mantellinien der Lichtgrenze treffen die Ellipse c in zwei Punkten D und E und es schneiden sich die Geraden DE, PQ, und s。 in dem nämlichen Punkte B. Flucht- und Spurpunkte der Geraden PQ, DE sind nach dem oben Gesagten sofort anzugeben.

с

с

с

с

Über den sichtbaren und unsichtbaren Teil des Cylinders kann man sich in folgender Weise orientieren. Seine Mantellinien liegen

ebenso gegen die Ebene E, wie OM gegen die Ebene Oe, und zwar nicht nur der Richtung, sondern auch dem Sinne nach, wie man leicht aus der Lage ihrer Bilder gegen M erkennt. Infolge dessen liegen Cylinder und Auge auf der nämlichen Seite der Basisebene E, so daß die Fläche des Basiskreises unsichtbar ist. Noch einfacher kommt man zum Ziele, wenn man bedenkt, daß der sichtbare Teil des Cylindermantels dem Auge und folglich dem Punkte M = EX MO zugekehrt ist. Da der Kreisbogen U°Poyo dem Punkte M° zugekehrt ist, ist der Teil des Cylindermantels sichtbar, der durch den Kreisbogen UPV auf E geht. Aus gleichen Gründen. ist der Teil des Cylindermantels durch PVQ beleuchtet, da P°V°Q° dem Punkte Z° zugekehrt ist.

881. Der gerade Kreiskegel und seine Lichtgrenze (Fig. 556). Sei E (e, e) die Basisebene des Kegels und sei der in

ihr liegende Basiskreis k durch seine Umlegung ko gegeben; dann konstruieren wir zunächst das Bild k dieses Kreises ganz wie in der vorausgehenden Nummer. Hierauf legen wir durch die Kegelachse eine Hilfsebene П, senkrecht zur Bildebene und legen sie um

0

=

00

ihre Spurlinie in die Bildebene um. Diese Ebene ist normal zur Spur e, da die Kegelachse auf E normal steht; sie schneidet deshalb E in einer Falllinie f durch den Kreismittelpunkt K (AF∞∞ K°F | e, AO。 = Distanz, fo || OF∞, f。 durch F). Wir errichten jetzt im Punkte K。 (FK。 FKo) auf f。 eine Normale KS, gleich der Kegelhöhe, dann geht der Strahl OS durch das Bild & des Kegelscheitels S. Dieses Bild liegt aber auch auf dem Bilde KN der in K auf E errichteten Normalen (N auf AF, NO. 10F) und ist hierdurch bestimmt. Der scheinbare Umriß des Kegels wird von den beiden aus S an ke gelegten Tangenten gebildet, die man dadurch findet, daß man zuerst die entsprechenden Tangenten an ko sucht. Bei der perspektiven Zuordnung von k und ko entspricht S ein Punkt S°; von ihm aus gehen zwei Tangenten an den Kreis ko, deren Berührungspunkte Bo und Co sein mögen. Die entsprechenden Bildpunkte B und C auf k gehören dem Umriß an.

с

с

с

с

Die Lichtgrenze des Kegels für einen leuchtenden Punkt Z besteht aus den beiden Mantellinien, deren Tangentialebenen durch L gehen. Diese Ebenen enthalten die Gerade LS und folglich auch ihren Schnittpunkt 7 mit der Basisebene E; sie schneiden daher E in den aus T an k gezogenen Tangenten, deren Berührungspunkte D und E sein mögen. Somit sind SD und SE die Mantellinien der Lichtgrenze. Ist I auf einer Geraden g (G, G) gegeben, so lege man durch sie eine Ebene senkrecht zu E und schneide sie mit ihr in h (H = e × GN, H auf e, HG || NG). Dann ist Th× L.Sc das Bild des gesuchten Punktes T, und die aus ihm an k gelegten Tangenten berühren diese Kurve in den gesuchten Punkten D ̧ und E. Um sie zu zeichnen, bestimme man wieder in der perspektiven Beziehung zwischen k und ko den entsprechenden Punkt 7o zu T und die Berührungspunkte Do, E° der von ihm an ko gelegten Tangenten, diesen entsprechen dann rückwärts D und E. In der Figur sind die orthogonalen Projektionen L' und I" des Punktes L auf die Ebenen П und E als bekannt vorausgesetzt. I ist um die Spur von П1 nach L', I" um die Spur e nach I' umgelegt (die Projektionen und ihre Umlegungen tragen die nämliche Bezeichnung). Dabei sind die Projektionen in der bekannten Weise miteinander verknüpft, d. h. die Fußpunkte der Lote, die man von I auf fo und von I" auf FK° fällt, stehen gleichweit von Fab. Es ergiebt sich hier TSL T S.L'fo als Projektion von 7 auf П, und daraus der um die Spur e umgelegte Punkt T′ auf K°F (FT' = FT'). Demnach ist 7o der Schnittpunkt der Geraden K°L" mit der Parallelen zu e durch T', woraus dann Do, E° und die Punkte T, De, E. folgen

=

с

=

C

(KT X e = H, T. × e = KH × OoT). Schneidet man noch KH mit L'Oo, so erhält man L′′ und L. als Schnittpunkt von LÄN. mit ST.

с

с

с

Der sichtbare Teil des Kegelmantels ist der Geraden SO zugekehrt; er geht durch den Teil des Kreises k, der dem Punkte SO E zugekehrt ist (dessen Bild mit S zusammenfällt, da dieser auf der Strecke SO liegt). Durch Umlegung um die Spur e gelangt dieser Schnittpunkt nach So, dem der Kreisbogen B°D°C° zugekehrt ist, so daß der Bogen BDC auf dem sichtbaren Teile des Kegelmantels liegt. Ähnlich erkennt man, daß der Teil des Mantels durch DCE im Lichte liegt.

882. Die Kugel (Fig. 557). Legt man vom Auge O den Tangentialkegel an eine Kugel K, so berührt er dieselbe in einem ぷ

T

1

2

с

Kreise k dem wahren Umriß der Kugel während er die Bildebene in einem Kegelschnitte k dem scheinbaren Umrisse schneidet. Um k zu konstruieren, benutzen wir eine zur Bildebene normale Hilfsebene П2 durch das Auge O und den Mittelpunkt M der Kugel. Letzterer mag durch sein Bild M und seine orthogonale Projektion M' gegeben sein, außerdem sei der Radius r der Kugel bekannt. Die Hilfsebene ПT2 legen wir um ihre Spur x= MMA um, dann gelangt der Kugelmittelpunkt nach M (AO | x, AO Distanz, MM' _ x, M = MM' × OM) und der in П2 liegende Kugelkreis nach s (die umgelegten Punkte sind ebenso bezeichnet,

=

2

2