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aller zu E normalen Geraden, also auch von JH, so geht G„MW, durch K., denn die drei Geraden BH, HJ und BJ liegen in einer Ebene. Die Bilder aller parallelen Kanten des Prisma sind nach K, gerichtet; als Endpunkt von k., findet sich J. = B„K„x II, N.. Nach 877 liegen B, II. und J. auch auf Geraden, die auf a in den Schnittpunkten mit O„B“, O„H“ und OJ" senkrecht stehen. Die Bilder paralleler Seiten der Endpolygone des Prisma schneiden sich auf e.. Bestimmt man auf AK, den Punkt U, gemäß der Relation: K„A-AU, =(AO)“, so ist die in U, auf AK, errichtete Normale in „ die Fluchtlinie aller zu den Prismenkanten senkrechten Ebenen. Durch die Wahl der Spur n (|n,) wird eine bestimmte Normalebene N herausgegriffen, und es soll der in ihr liegende Normalschnitt gezeichnet werden. Zieht man durch K. und K., den Spurund Fluchtpunkt der Kante BJ, irgend zwei Parallelen und schneidet sie mit in resp. n„, so geht die Verbindungslinie dieser Punkte durch das Bild P., der auf BJ liegenden Ecke des Normalschnittes. Wäre dagegen P. als Ecke eines Normalschnittes gegeben, so würde sich durch Umkehrung der Konstruktion die Spur in der Ebene des Normalschnittes ergeben. Um eine Seite des Normalschnittes zu erhalten, hat man eine Seitenfläche des Prisma mit N zu schneiden. Die Grundlinie CD hat den Fluchtpunkt M, also ist M, K, die Fluchtlinie der Seitenfläche durch CD und ihr Schnittpunkt L, mit n, der Fluchtpunkt einer Seite unseres Schnittes. Der zugehörige Spurpunkt L liegt auf n und es ist LM | M. K„; auf LL, liegt das Bild der Seite QR. Die Geraden CD und QR treffen sich in einem Punkte T' von s = Ex N, ihre Bilder gehen also durch den nämlichen Punkt T. von s... Die Sichtbarkeit der Kanten des Prisma erkennt man sofort aus der gegenseitigen Lage von O%, r und J". Offenbar liegen Prisma und Auge zu verschiedenen Seiten der Ebene E. 880. Der schiefe Cylinder und sein Schnitt (Fig. 555). Gegeben sei eine Ebene E (e, e,), in ihr liege ein Kreis k als Basiskurve des Cylinders; ferner sei der Fluchtpunkt M, seiner Mantellinien und die schneidende Ebene A (d, d.) bekannt. Man suche zunächst das Bild k des Kreises k, indem man ihn um e nach k“ und das Auge um e, nach Oo umlegt. Ein Durchmesser von k. ist das Bild FF, der durch den Mittelpunkt K gehenden Falllinie (K"F" L. e), seine Endpunkte liegen mit denen des umgelegten Durchmessers auf Strahlen durch O9. Genauer erhält man diese End

punkte, wenn man den betreffenden Durchmesser von ko um F ROHN u. PAPPERITZ. II. - 28

dreht, bis er sich mit der Spur e deckt; dann liegen seine Endpunkte mit denen des gesuchten Durchmessers auf Strahlen durch O. (F„O% =F, OA = F„O). Der dem ersten Durchmesser konjugierte

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Durchmesser von k., ist zu e parallel und geht durch seinen Mittelpunkt J. Sucht man den zugehörigen Punkt J" und zieht durch ihn die zu e parallele Kreissehne, so begrenzen die aus O9 nach ihren Endpunkten gezogenen Strahlen den zu e parallelen Durchmesser von k. Faßt man die perspektive Beziehung zwischen k’ und k, mit dem Centrum O%, der Achse e und der Fluchtlinie e, ins Auge, so entspricht dem Mittelpunkt J. von k, als Pol der unendlich fernen Geraden, der Pol Jo der Verschwindungslinie er in Bezug auf k’. Da die Entfernung der Geraden er von e gleich der des Punktes 09 von e, ist (175), so trage man auf KoF die Strecke FG = F„09 auf, dann besitzen die von G an den Kreis k’ gelegten Tangenten parallele Bilder, die k in den Endpunkten des zu e parallelen Durchmessers berühren. Die Bilder der Mantellinien unseres Cylinders laufen verlängert durch M., sein scheinbarer Umriß wird also von den beiden aus M, an k, gelegten Tangenten gebildet. Sind U., W. ihre Berührungspunkte mit k, so ist M., der Pol von UV; die entsprechende Sehne U9W) von ko ist also die Polare eines Punktes M", der dem Punkte M., bei der perspektiven Beziehung von k. und ko entspricht (M, M9 durch O%, M, C durch F., CM" Le). Man kann die Sache auch folgendermaßen auffassen. Die aus dem Auge an den Cylinder gelegten Tangentialebenen berühren ihn im wahren Umriß, sie schneiden sich in einer Parallelen zu den Mantellinien durch das Auge O. Diese trifft die Ebene E in einem Punkte M, so daß die Tangenten von k in U und W sich in M schneiden. M, ist das Bild von M. daher entsprechen sich M, und der umgelegte Punkt M9 in der perspektiven Beziehung zwischen k. und k.o. Man zeichne deshalb M", U"W" und dann die entsprechende Gerade UW. Um das Bild der Schnittkurve c unseres Cylinders mit der Ebene A zu gewinnen, kann man die perspektive Beziehung zwischen c, und k benutzen. M, ist das Centrum und s. (s=A × E) die Achse dieser Perspektive; dabei entsprechen sich die Bilder je zweier Geraden von E und A., die in einer zu den Mantellinien parallelen Ebene liegen. Jede zu e und den Mantellinien parallele Ebene besitzt die Fluchtlinie M, W„ (|e), sie schneidet A in einer Geraden mit dem Fluchtpunkte W„ (auf d..) und E in einer Parallelen zu e. Bei der perspektiven Beziehung zwischen k und c, entsprechen also den Parallelen zu e die Geraden durch W., (speziell e, und d..), folglich entspricht der unendlich fernen Geraden des ersten Systems eine Parallele zu s, durch W„. Ähnlich entspricht der unendlich fernen Geraden des zweiten Systems eine Parallele , zu s, durch X auf e, wenn SX = S„X, = W„M, ist. Dem Pol Y. von x, in Bezug auf k. entspricht hiernach der Mittelpunkt von c. Man suche also x" und seinen Pol Y" in Bezug auf ko und ziehe durch Y9 zwei konjugierte Polaren. Dann zeichne man ihre Bilder – es sind konjugierte Polaren von k – diesen entsprechen zwei konjugierte Durchmesser von c. In der Zeichnung geht die Konstruktion von einem dem Kreise ko umschriebenen Quadrate aus, dessen Seiten zu e parallel, resp. normal sind, dessen Diagonalen also mit e einen Winkel von 45° einschließen. Die Bilder der Diagonalen (Fluchtpunkte Oa resp. OA) und der Quadratseiten, sowie ihrer Berührungspunkte sind gezeichnet, daraus ergiebt sich k. Das Quadrat ist die Grundfläche eines Prisma, dessen Seiten den Cylinder längs je einer Mantellinie berühren. Das Prisma wird von A in einem Viereck geschnitten, dessen Bild der Ellipse c, umgeschrieben ist. Der Fluchtpunkt zweier Quadratseiten ist F„, folglich ist H, = d, X M, F, der Fluchtpunkt der entsprechenden Seiten des Vierecks; die anderen Quadratseiten sind zu e parallel, folglich haben die zugehörigen Viereckseiten den Fluchtpunkt W„. Überhaupt liegen die Fluchtpunkte entsprechender Geraden in A und E auf d... und e, so, daß ihre Verbindungslinie durch M, geht, ihre Spurpunkte auf d und e liegen auf einer Parallelen hierzu. Hierdurch bestimmen sich Seiten, Diagonalen und Berührungssehnen des der Ellipse c, umschriebenen Vierecks. Die Umrißlinien berühren c, in R. und T. und es schneiden sich RT und U„W, auf s; in der Figur ist noch der Schnittpunkt von RT" mit einer Vierecksseite gezeichnet. Die Ellipse c, läßt sich aus diesem umgeschriebenen Viereck einfach zeichnen, da sich nach 268 die Diagonalen und die Verbindungslinien der Berührungspunkte der Gegenseiten eines jeden umschriebenen Vierecks in einem Punkte schneiden. Nimmt man also drei feste Tangenten der Kurve und verbindet die Berührungspunkte zweier, so bildet jeder Punkt der Verbindungslinie den Diagonalschnittpunkt eines umgeschriebenen Vierecks, von dem drei Seiten auf den festen Tangenten liegen. Man erhält so beliebig viele Tangenten mit ihren Berührungspunkten. Wir wollen nun noch die Lichtgrenze auf dem Cylinder für einen beliebigen leuchtenden Punkt L konstruieren. L sei durch sein Bild L. und seine orthogonale Projektion L/ gegeben. Die Tangentialebenen durch L an den Cylinder berühren ihn in den Mantellinien der Lichtgrenze und haben die durch den leuchtenden Punkt gehende Parallele zu den Mantellinien gemein. Letztere schneidet die Basisebene E in einem Punkte Z. (N. = e, × M„A, NL/|M, A, N aufe, Z = M, L x NN); die von ihm an den Kreis k gelegten Tangenten berühren denselben in zwei Punkten Po und Q der Lichtgrenze. Man suche zuerst Zoo und seine Polare P999 in Bezug auf ko und daraus PQ; die Mantellinien der Lichtgrenze treffen die Ellipse c in zwei Punkten D und E und es schneiden sich die Geraden D„E, PQ, und s, in dem nämlichen Punkte B. Flucht- und Spurpunkte der Geraden PQ, D, E, sind nach dem oben Gesagten sofort anzugeben. Über den sichtbaren und unsichtbaren Teil des Cylinders kann man sich in folgender Weise orientieren. Seine Mantellinien liegen ebenso gegen die Ebene E, wie OM, gegen die Ebene Oe, und zwar nicht nur der Richtung, sondern auch dem Sinne nach, wie man leicht aus der Lage ihrer Bilder gegen M, erkennt. Infolge dessen liegen Cylinder und Auge auf der nämlichen Seite der Basisebene E, so daß die Fläche des Basiskreises unsichtbar ist. Noch einfacher kommt man zum Ziele, wenn man bedenkt, daß der sichtbare Teil des Cylindermantels dem Auge und folglich dem Punkte M= E x M,O zugekehrt ist. Da der Kreisbogen U9PoW'o dem Punkte Moo zugekehrt ist, ist der Teil des Cylindermantels sichtbar, der durch den Kreisbogen UPW auf E geht. Aus gleichen Gründen ist der Teil des Cylindermantels durch PVQ beleuchtet, da P9W 999 dem Punkte Zoo zugekehrt ist. 881. Der gerade Kreiskegel und seine Lichtgrenze (Fig. 556). Sei E (e, e,) die Basisebene des Kegels und sei der in

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Fig. 556.

ihr liegende Basiskreis k durch seine Umlegung ko gegeben; dann konstruieren wir zunächst das Bild k dieses Kreises ganz wie in der vorausgehenden Nummer. Hierauf legen wir durch die Kegelachse eine Hilfsebene TT, senkrecht zur Bildebene und legen sie um

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