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In gleicher Weise findet man M., den Spurpunkt von m. Die Gerade l trifft die gegebenen Geraden g und h in Po und Q, die Gerade m trifft sie in R und S; es existieren noch zwei weitere Geraden von der verlangten Art, sie sind jedoch nicht in die Zeichnung eingetragen.

Perspektive Darstellung von Körpern und Flächen.

876. Bei dieser Darstellung werden wir öfters von der orthogonalen Projektion dieser Gebilde auf gewisse Hilfsebenen Gebrauch machen und behandeln deshalb jetzt die Frage nach dem Zusammenhang der Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenen in orthogonaler und Centralprojektion. Dabei werden wir drei wesentlich verschiedene Fälle unterscheiden. Erstens: Die eine Projektionsebene TI, fällt mit der Bildebene TT zusammen, die andere TT, ist zu ihr senkrecht (Fig. 552). Seix die Schnittlinie der Projektionsebenen TI, und TT, r A der Hauptpunkt und d V- der Distanzkreis. Dann ziehen wir durch A = O" die Fluchtlinie a, (|x) von TI, legen das Auge um a, nach O% um und suchen O", d. h. die in gleichem Sinne um x umgelegte erste Projektion des Auges (400/L , 0,0 = (A – 2). Sind nun e, es die Spuren einer Ebene E, so ist e = e, ihre Spur in der Bildebene und ihre Fluchtlinie e, (|e) geht durch den Fluchtpunkt E, von e, (E, auf a, E„O% |e). Sind g', - g“ die Projektionen einer GeFig. 552. raden g, so fällt ihr Spurpunkt G in der Bildebene mit G, zusammen, während ihr Fluchtpunkt G, sich aus OG, | g ergiebt (AG, |g“, O'G„' g'| O„H). Aus den Projektionen Po, P“ eines Punktes Po findet man sein Bild P. als Spurpunkt der Geraden OP in der Bildebene; man errichtet also im Punkte O'P'X x aufar eine Normale, diese schneidet AP“ in P. Das Bild g, einer Geraden g wurde soeben durch Konstruktion ihres Spur- und Fluchtpunktes gewonnen; es läßt sich indes auch leicht der Schnittpunkt G, des Bildes g, mit der Geraden x angeben. G, ist der Schnittpunkt von x mit der Ebene Og, die Parallelen g und OG, treffen also TI, in zwei Punkten G, und U, deren Verbindungslinie 2 in G., schneidet (0'Ug, AG, × x = U", UU" L 3). Diese Konstruktion ist besonders von Bedeutung, wenn die Bilder von einer Anzahl paralleler Geraden gefunden werden sollen, deren Spurpunkte in TT, bekannt sind. Man hat dann zunächst G., und U zu suchen, darauf projiziert man die ersten Spurpunkte der einzelnen Geraden aus dem Punkte U auf x und verbindet diese Projektionen mit G„, so sind diese Linien die gesuchten Bildgeraden. 877. Zweitens: Die Ebene TT, schließt mit der Bildebene einen Winkel a ein, die Ebene TT, steht auf TI, und

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Fig. 553.

der Bildebene senkrecht (Fig. 553). Es sei r wiederum die Schnittlinie der Projektionsebenen, ferner seien a und a, (|a durch A)

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Spur- und Fluchtlinie von TI, b(La) und b, (b) Spur- und Fluchtlinie von TI,. Dann lege man TI, um b und gleichzeitig das Auge um b, nach O" um; dabei mögen die umgelegten Punkte und Geraden von TI, ebenso wie die Punkte und Geraden in TI, selbst bezeichnet werden; eine Verwechselung wird sich bei der Darlegung leicht vermeiden lassen. Ferner lege man TI, um a und gleichzeitig das Auge um a, nach O, um; auch hier sollen die umgelegten Punkte und Geraden von TT, die gleiche Bezeichnung wie die Punkte und Geraden in TI, selbst erhalten. In der Figur erscheint die x-Achse zweimal, nämlich um a umgelegt als x | O„B, und um b umgelegt als x L b. Nun zeichnet man noch O' und O“, die ebenfalls mit TI, und TT, in die Bildebene umgelegt sind (0A La, 0,0 = (A – a), BAB, Lb, B,0% |B0“ L 0,0%“, B0" = B0“), sowie den Fluchtpunkt Y. aller zu TT, normalen Geraden (O% M, L O% B.,). Sind Po, Po" die orthogonalen Projektionen eines Punktes P, so kann man ihre Bilder Po", Po" in der früheren Weise konstruieren. Natürlich sind die Projektionen Po, P" so zu wählen, daß die Fußpunkte der von ihnen auf die x-Achse gefällten Lote von a × b gleichweit abstehen, sich also decken, wenn die beiden Geraden x durch Drehung zur Deckung gebracht werden. Man ziehe durch P" und O" irgend zwei Parallelen, schneide sie mit b, resp. b, in R und S., dann trifft die Verbindungslinie RS die Gerade O'P" in Po"; ähnlich ergiebt sich P. Da sich in P die in Po und P” auf TT, und TI, errichteten Normalen schneiden, so schneiden sich in Po, das von P' auf a gefällte Lot und die Gerade P'X,.. Die Konstruktion von P. aus Po und Po“ läßt sich noch wesentlich einfacher gestalten, ohne vorher die Bilder dieser Projektionen zu zeichnen. Die Gerade PP“ ist zu TT, normal, ihr Bild steht in =a × OP“ auf a senkrecht und trägt P. Die Gerade PP“ ist zu TI, normal, ihr Bild liegt in der Ebene OPP“. Diese schneidet TT, in O"P" und die Spurlinie b in R=b × O'P“; demnach ist K„R das Bild von PP“ und geht ebenfalls durch P. Die Konstruktion von P. erfordert also nur das Ziehen der vier Geraden OP, O"P", QP" (La) und Y„R; dabei kann an Stelle der Geraden O"P“ in TT, die in die Bildebene umgelegte Gerade O'P“ treten, da es nur auf ihren Schnittpunkt R mit b ankommt. Es kann vorkommen, daß K., auf b oder in der Nähe von b liegt, dann wird die Gerade K„R – das Bild von PP" – ungenau und man benutzt besser ihren Schnittpunkt S mit b,. S liegt in der Ebene OPP“, diese schneidet die Ebene Ob, in einer zu O'P“ parallelen Geraden durch O; demnach ist O'S zu der umgelegten Geraden O"P" parallel. Sind g', g“ die orthogonalen Projektionen einer Geraden g, so liegt sie in den beiden Ebenen, die in g/ resp. g” auf TT, resp. TT, senkrecht stehen. Ist J der Fluchtpunkt der Geraden g” in TI, (J auf b, O"J|g“), so besitzt die erste der genannten Ebenen die Fluchtlinie JF, und eine dazu parallele Spurlinie durch g”x b. Ist ebenso K der Fluchtpunkt der Geraden g' in TT, (Kaufa, O„K|g), so gehen Spur- und Fluchtlinie der zweiten Ebene durch g/x a resp. K und sind zu a normal. Die Spur- und Fluchtlinien beider Ebenen schneiden sich in dem Spurpunkt G, resp. Fluchtpunkt G„ der gesuchten Geraden g. Kennt man von einer Ebene E die orthogonalen Spuren e, und e, (ihre Schnittpunkte mit den bezw. Geraden x haben den gleichen Abstand von a × b), so geht ihre Fluchtlinie e, durch die Fluchtpunkte Lund M von e, und e, (L aufb, O'L|e, M auf a, O„Me) und ihre Spurlinie e(|e,) durch den Punkt II =e, × b. 878. Drittens: Beide Projektionsebenen TT, und TT, sind gegen die Bildebene geneigt. Seien wiederum a, a, resp. b, b, Spur- und Fluchtlinien von TI, resp. TI, seien ferner X und X, Spur- und Fluchtpunkt der Schnittlinie x beider Ebenen, seien endlich Y, resp. Z, die Fluchtpunkte der Normalen von TI, resp. TT, (Z, auf b, Y, auf a.). Dann suche man zunächst die Projektionen 0, 0" des Auges und lege sie mit den Ebenen TT, und TT, in die Bildebene um. Aus den Projektionen Po, P“ eines Punktes findet man jetzt sein Bild, indem man a mit OP“ und b mit O"P" schneidet und diese Punkte mit Z, resp. Y„ verbindet; diese Geraden schneiden sich in dem gesuchten Bilde P. Man erkennt die Richtigkeit des Gesagten unmittelbar aus der voranstehenden Nummer. Die Flucht- und Spurlinie einer Ebene E verbinden die Fluchtund Spurpunkte ihrer orthogonalen Spuren e, und es. Der Fluchtpunkt einer Geraden g erscheint als Schnittpunkt zweier Geraden, von denen die eine den auf a, liegenden Fluchtpunkt von g' mit Z, die andere den auf b, liegenden Fluchtpunkt von go“ mit K", verbindet. 879. Das schiefe Prisma und sein Normalschnitt (Fig. 554). Sei E (e, e,) die Ebene des Grundpolygons BCD ..., so legen wir das Auge um e, nach O" um und nehmen das Polygon in der Umlegung um e als B"C"D"... an; dann findet man nach 863 sein Bild B, C, D . . . (C"D9 x e = M, 09"M, [C"D", M, auf e, MM,= C, D, O'Co durch C). Ist nun BJ eine Prismenkante und ist ihre orthogonale Projektion BH auf die Grundebene E als B„H%, sowie die Höhe JH des Prisma bekannt, so gewinnt man sein Bild nach 877. Man lege durch das Auge eine Ebene senkrecht zu e, die also auch zu E normal ist und sie in einer Falllinie er schneidet; Spur- und Fluchtlinie dieser Ebene bildet das von A auf e gefällte

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