2 2 2 Spur- und Fluchtlinie von П1, b(1a) und b ̧ (||b) Spur- und Fluchtlinie von П. Dann lege man П1⁄2 um b und gleichzeitig das Auge um b nach 0° um; dabei mögen die umgelegten Punkte und Geraden von П, ebenso wie die Punkte und Geraden in П, selbst bezeichnet werden; eine Verwechselung wird sich bei der Darlegung leicht vermeiden lassen. Ferner lege man П1 um a und gleichzeitig das Auge um a nach 0, um; auch hier sollen die umgelegten Punkte und Geraden von П, die gleiche Bezeichnung wie die Punkte und Geraden in П, selbst erhalten. In der Figur erscheint die x-Achse zweimal, nämlich um a umgelegt als || OB und um b umgelegt als 1 b. Nun zeichnet man noch O' und O", die ebenfalls mit П, und П in die Bildebene umgelegt sind (O'A 1a, 0,0 = (1 − a), BAB ̧1 b, В || BO′′ 1 0,0′′, BO"= BO"), sowie den Fluchtpunkt Y aller zu П, normalen Geraden (Oo Y∞ 10B). 2 0 0 Sind P', P" die orthogonalen Projektionen eines Punktes P, so kann man ihre Bilder P, P" in der früheren Weise konstruieren. Natürlich sind die Projektionen P', P" so zu wählen, daß die Fußpunkte der von ihnen auf die x-Achse gefällten Lote von axb gleichweit abstehen, sich also decken, wenn die beiden Geraden r durch Drehung zur Deckung gebracht werden. Man ziehe durch P" und 0° irgend zwei Parallelen, schneide sie mit b, resp. b, in R und S, dann trifft die Verbindungslinie RS die Gerade OoP" in P"; ähnlich ergiebt sich P. Da sich in P die in P' und P′′ auf П, und П, errichteten Normalen schneiden, so schneiden sich in P das von P auf a gefällte Lot und die Gerade P"Y· с 2 с Die Konstruktion von P. aus P' und P" läßt sich noch wesentlich einfacher gestalten, ohne vorher die Bilder dieser Projektionen zu zeichnen. Die Gerade PP' ist zu П, normal, ihr Bild steht in Q=ax O'P' auf a senkrecht und trägt P. Die Gerade PP" ist zu П, normal, ihr Bild liegt in der Ebene OPP". Diese schneidet П in О"P" und die Spurlinie b in R=bx 0"P"; demnach ist YR das Bild von PP" und geht ebenfalls durch P. Die Konstruktion von P. erfordert also nur das Ziehen der vier Geraden O'P', O′′P", QP.(1a) und YR; dabei kann an Stelle der Geraden O"P" in П1⁄2 die in die Bildebene umgelegte Gerade O"P" treten, da es nur auf ihren Schnittpunkt R mit b ankommt. 2 с 2 Es kann vorkommen, daß Y auf b oder in der Nähe von b liegt, dann wird die Gerade YR das Bild von PP" ungenau und man benutzt besser ihren Schnittpunkt S mit b. S liegt in der Ebene OPP", diese schneidet die Ebene Ob in einer zu O"P" parallelen Geraden durch O; demnach ist 0°S zu der umgelegten Geraden O"P" parallel. 1 Sind g', g" die orthogonalen Projektionen einer Geraden g, so liegt sie in den beiden Ebenen, die in g' resp. g' auf П, resp. П2 senkrecht stehen. Ist J der Fluchtpunkt der Geraden g" in П2 (J auf b, 0°J||g"), so besitzt die erste der genannten Ebenen die Fluchtlinie JY und eine dazu parallele Spurlinie durch g′′x b. Ist ebenso K der Fluchtpunkt der Geraden g' in TT, (K auf a, OK ||g'), so gehen Spur- und Fluchtlinie der zweiten Ebene durch g'× a resp. K und sind zu a normal. Die Spur- und Fluchtlinien beider Ebenen schneiden sich in dem Spurpunkt G, resp. Fluchtpunkt G der gesuchten Geraden g. Kennt man von einer Ebene E die orthogonalen Spuren e und e2 (ihre Schnittpunkte mit den bezw. Geraden z haben den gleichen. Abstand von ab), so geht ihre Fluchtlinie e durch die Fluchtpunkte Lund M von e, und e1 (L auf b, O°L || e2, M auf α, O̟ ̧M|| e1) und ihre Spurlinie e (e) durch den Punkt II = e, × b. 2 878. Drittens: Beide Projektionsebenen П1 und П sind gegen die Bildebene geneigt. Seien wiederum a, a, resp. b, b x Spur- und Fluchtlinien von П, resp. П, seien ferner X und X Spur- und Fluchtpunkt der Schnittlinie z beider Ebenen, seien endlich Y resp. Z die Fluchtpunkte der Normalen von П, resp. T1 (Z, auf b, Y, auf a). Dann suche man zunächst die Projektionen O', O' des Auges und lege sie mit den Ebenen П und П, in die Bildebene um. Aus den Projektionen P', P" eines Punktes findet man jetzt sein Bild, indem man a mit O'P' und b mit O"P" schneidet und diese Punkte mit Z resp. Y verbindet; diese Geraden schneiden sich in dem gesuchten Bilde P. Man erkennt die Richtigkeit des Gesagten unmittelbar aus der voranstehenden Nummer. Die Flucht- und Spurlinie einer Ebene E verbinden die Fluchtund Spurpunkte ihrer orthogonalen Spuren e, und e. Der Fluchtpunkt einer Geraden g erscheint als Schnittpunkt zweier Geraden, von denen die eine den auf a, liegenden Fluchtpunkt von g' mit Z, die andere den auf b liegenden Fluchtpunkt von g" mit Y verbindet. 879. Das schiefe Prisma und sein Normalschnitt (Fig. 554). Sei E (e, e) die Ebene des Grundpolygons BCD..., so legen wir das Auge um e nach Oo um und nehmen das Polygon in der Umlegung um e als B°C°Do... an; dann findet man nach 863 sein Bild BCD ̧ . . . (C°Do × e = M, O°M, || CoDo, M auf ei MMCD, 0°C° durch C). Ist nun BJ eine Prismenkante und ist ihre orthogonale Projektion BH auf die Grundebene E als BH, sowie die Höhe JH des Prisma bekannt, so gewinnt man sein Bild nach 877. Man lege durch das Auge eine Ebene senkrecht zu e, die also auch zu E normal ist und sie in einer Falllinie x schneidet; Spur- und Fluchtlinie dieser Ebene bildet das von A auf e gefällte = Fig. 554. Lot a = FF. Diese Ebene legen wir um die Linie a in die Bildebene um (0,4 || e, 0,4 Distanz, x || OF, x durch F), und suchen in ihr die orthogonale Projektion der Kante BJ. Indem wir von Bo und H° auf xo Lote fällen und die Abstände ihrer Fußpunkte von F auf x auftragen, erhalten wir B' und H' und daraus J' (J'H' \ x, J'H' = JH). Spur- und Fluchtpunkt K und K ̧ der Kante k = BJ liegen einerseits auf zwei Geraden, die in K' k' x a und Kauf a senkrecht stehen (O̟K'|| k'), andererseits auf zwei Parallelen durch G = ex BН ̧ und G∞ (OoG || BoHo). Ist N der Fluchtpunkt = 0 с с = aller zu E normalen Geraden, also auch von JH, so geht G N durch K, denn die drei Geraden BH, HJ und BJ liegen in einer Ebene. Die Bilder aller parallelen Kanten des Prisma sind nach Ka gerichtet; als Endpunkt von k findet sich J BKXHN. Nach 877 liegen B, H und J auch auf Geraden, die auf a in den Schnittpunkten mit 0,B', OH' und OJ' senkrecht stehen. Die Bilder paralleler Seiten der Endpolygone des Prisma schneiden sich auf e.. Bestimmt man auf AK den Punkt U gemäß der Relation: KÚ A · AU ̧ = (AO)2, so ist die in U auf AK errichtete Normale n die Fluchtlinie aller zu den Prismenkanten senkrechten Ebenen. Durch die Wahl der Spur n (n) wird eine bestimmte Normalebene N herausgegriffen, und es soll der in ihr liegende Normalschnitt gezeichnet werden. Zieht man durch K und K, den Spurund Fluchtpunkt der Kante BJ, irgend zwei Parallelen und schneidet sie mit n resp. n, so geht die Verbindungslinie dieser Punkte durch das Bild P. der auf BJ liegenden Ecke des Normalschnittes. Wäre dagegen P als Ecke eines Normalschnittes gegeben, so würde sich durch Umkehrung der Konstruktion die Spur n der Ebene des Normalschnittes ergeben. Um eine Seite des Normalschnittes zu erhalten, hat man eine Seitenfläche des Prisma mit N zu schneiden. Die Grundlinie CD hat den Fluchtpunkt M, also ist MK die Fluchtlinie der Seitenfläche durch CD und ihr Schnittpunkt L mit n der Fluchtpunkt einer Seite unseres Schnittes. Der zugehörige Spurpunkt liegt auf n und es ist LM || MK; auf LL liegt das Bild der Seite QR. Die Geraden CD und QR treffen sich in einem Punkte T von s = EX N, ihre Bilder gehen also durch den nämlichen Punkt T von se Die Sichtbarkeit der Kanten des Prisma erkennt man sofort aus der gegenseitigen Lage von 0, x und J. Offenbar liegen Prisma und Auge zu verschiedenen Seiten der Ebene E. с 880. Der schiefe Cylinder und sein Schnitt (Fig. 555). Gegeben sei eine Ebene E (e, e), in ihr liege ein Kreis k als Basiskurve des Cylinders; ferner sei der Fluchtpunkt M seiner Mantellinien und die schneidende Ebene ▲ (d, d) bekannt. Man suche zunächst das Bild k des Kreises k, indem man ihn um e nach ko und das Auge um e nach 0° umlegt. Ein Durchmesser von k ist das Bild FF der durch den Mittelpunkt K gehenden Falllinie (K°F 1e), seine Endpunkte liegen mit denen des umgelegten Durchmessers auf Strahlen durch Oo. Genauer erhält man diese Endpunkte, wenn man den betreffenden Durchmesser von ko um F ROHN u. PAPPERITZ. II. 28 dreht, bis er sich mit der Spur e deckt; dann liegen seine Endpunkte mit denen des gesuchten Durchmessers auf Strahlen durch O1 (FO1 =F04F06). Der dem ersten Durchmesser konjugierte A с C Fig. 555. Durchmesser von k ist zu e parallel und geht durch seinen Mittelpunkt J. Sucht man den zugehörigen Punkt J° und zieht durch ihn die zu e parallele Kreissehne, so begrenzen die aus Oo nach ihren Endpunkten gezogenen Strahlen den zu e parallelen Durchmesser von k.. Faßt man die perspektive Beziehung zwischen ko und k mit dem Centrum 0o, der Achse e und der Fluchtlinie e ins Auge, so entspricht dem Mittelpunkt J von k, als Pol der unendlich fernen Geraden, der Pol Jo der Verschwindungslinie e, in Bezug auf ko. Da die Entfernung der Geraden e, von e gleich der des Punktes 0o von e ist (175), so trage man auf K°F die Strecke FG F‰0° = |