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OM, O°G und O°H zeichnet. Dazu trage man nach 126 an

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O'G den Winkel G OoH1 = ẞ an, wähle H ̧ in beliebigem Abstande von Oo, ziehe HH' 10°G, dann ist H'

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(No A G∞ H∞, No AX G∞ H∞ = F

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B

Go-

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(AO)2= AF AN). Die ge

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meinsame Normale n = PQ liegt einerseits mit g, andererseits mit h

с

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in einer Ebene, ihr Spurpunkt N liegt also auf den Geraden NG (NG) und NH (NH). NNn schneidet g. und h in den Punkten P und Q. Es soll noch die wahre Länge des Abstandes PQ der beiden Geraden gezeichnet werden. Nach 864 trage man NON 0° auf N G als NO auf, dann projiziert sich P. Qc aus O auf NG in seiner wahren Größe PsQs

A

A

Δ

875. Die Geraden zu zeichnen, die mit einer gegebenen Geraden g einen bestimmten Winkel a und mit einer gegebenen Geraden h einen bestimmten Winkel einschließen (Fig. 551). Die Aufgabe wurde bereits in 117 für orthogonale Pro

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sich in

vier Geraden (113), die zu den gesuchten Geraden parallel laufen und unter denen sich auch die Gerade OL befindet. Es kommt also alles darauf an, die Schnittlinien dieser Kegel zu konstruieren. Zu diesem Zwecke drehen wir die Kegelachsen OG. und OH und mit ihnen die Kegelflächen selbst um e GH, bis das Auge O in die Bildebene nach Oo gelangt (0°A 1 e, 0oA xe = F, 0°F = 0,F, 04|| e, О。 auf d), und bestimmen zunächst die gemeinsamen Geraden dieser gedrehten Kegelflächen nach 113. Ist DO°G = ɑ, so

0

e=

ist DOo eine in der Bildebene П liegende Mantellinie des Kegels mit der Achse O°G; ebenso ist OoC eine in П liegende Mantellinie des Kegels mit der Achse OoH, wenn ▲ COoH=ẞ ist. Um 0° als Mittelpunkt beschreiben wir eine Kugel, die П in c und die Mantellinien OoD und 0°C in D, D1, resp. C, C, schneiden mag. Diese Kugelfläche schneidet die Kegel in je zwei Kreisen, deren Ebenen zu OoG∞, resp. OoH ̧ normal sind; ihre senkrechten Projektionen werden von zwei zu OoG normalen Geraden durch D und D1 und von zwei zu OoH normalen Geraden durch Cund C, gebildet. Die beiden Kreise durch C, resp. D schneiden sich in zwei Punkten J, und J, deren gemeinsame orthogonale Projektion auf П der Punkt J' ist (CJ' 0°H, DJ' OoG∞). Die Abstände der Punkte J, und J2 von der Bildebene sind gleich JJ', wenn JJ' 0°J' ist und J auf c liegt. 0° und OoJ, sind zwei gemeinsame Mantellinien der gedrehten Kegelflächen; sie besitzen noch zwei weitere OoK, und OoK2, deren gemeinsame orthogonale Projektion O°K' ist (CK' OoH D1K' OoG∞), auf die wir jedoch nicht weiter eingehen wollen.

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2

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Wir legen jetzt durch e eine Ebene E, die zur Ebene Oe symmetrisch liegt in Bezug auf die Bildebene; sie wird die Strahlen 0°, und 0°, in zwei Punkten L, resp. M schneiden. Führen wir nun um e eine der früheren entgegengesetzte Drehung aus, so daß 0° wieder nach O gelangt, dann nehmen die beiden Kegel wieder ihre ursprüngliche Lage an, während E mit der Bildebene zur Deckung kommt. Demnach gehen bei dieser neuen Drehung die Punkte L und M in zwei Punkte L und M der Bildebene über; OL und OM sind zu zweien der gesuchten Geraden parallel, d. h. Z und M sind die Fluchtpunkte dieser Geraden. Um diese Punkte zu zeichnen, benutzen wir П als Grundrißebene und eine dazu senkrechte Ebene durch OoAF als Aufrißebene; dann liegt O in der Aufrißebene, die wir um OoA so umlegen, daß O nach O, gelangt. Nun ist J' die erste Projektion von J und J2 und es sind " und J1⁄2′′ ihre zweiten Projektionen (JJ"J‚1⁄2′′ 10°A, J‚"J¿"= 2JJ); zugleich ist FO die zweite Spur der Ebene E, wenn 0,0 ein Durchmesser von d ist, denn es muß 0 FOo = ≤ 0oFO。 sein. Hieraus ergeben sich Le2 0°J," und M" e, X 0°J," und ihre ersten ProjekL": = tionen l' und M' auf OoJ' (L'L' || M"M' 1 0°A), sowie durch Drehung um e die Punkte L und M. (L," auf OoA, L′′F = L"F, L ̧L" || e, L. L'e).

e2

=

× 2

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1 2

=

2

1 2

==

Die Gerade 7 mit dem Fluchtpunkt L., die die gegebenen Geraden g und h trifft, besitzt einen Spurpunkt Z, in dem sich die Spurlinien der Ebenen gl und hl schneiden (GL|| GÜL, HL || HÅL∞)·

In gleicher Weise findet man M, den Spurpunkt von m. Die Gerade 7 trifft die gegebenen Geraden g und h in P und Q, die Gerade m trifft sie in R und S; es existieren noch zwei weitere Geraden von der verlangten Art, sie sind jedoch nicht in die Zeichnung eingetragen.

Perspektive Darstellung von Körpern und Flächen.

876. Bei dieser Darstellung werden wir öfters von der orthogonalen Projektion dieser Gebilde auf gewisse Hilfsebenen Gebrauch machen und behandeln deshalb jetzt die Frage nach dem Zusammenhang der Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenen in orthogonaler und Centralprojektion. Dabei werden wir drei wesentlich verschiedene Fälle unterscheiden.

2

Erstens: Die eine Projektionsebene П2 fällt mit der Bildebene П zusammen, die andere П1 ist zu ihr senkrecht (Fig. 552). Sei r die Schnittlinie der Projektionsebenen П, und П,

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=

A der Hauptpunkt und d
der Distanzkreis. Dann ziehen
wir durch = 0" die Flucht-
A =0′′
linie a (a) von П1, legen
das Auge um a nach 0, um
und suchen O', d. h. die in
gleichem Sinne um x umge-
legte erste Projektion des
Auges (400' x, O̟。0' =
(A)). Sind nun e, e
die Spuren einer Ebene E,
so ist ee2 ihre Spur in
der Bildebene und ihre Flucht-
linie e (e) geht durch den
Fluchtpunkt E。 von e1 (Ex
auf a, E. e). Sind g',
g" die Projektionen einer Ge-
raden g, so fällt ihr Spur-
punkt G in der Bildebene mit

0

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G, zusammen, während ihr Fluchtpunkt G sich aus OG ||g ergiebt (AG ||g", O'G'g'||OH). Aus den Projektionen P', P" eines Punktes P findet man sein Bild P. als Spurpunkt der Geraden OP

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с

in der Bildebene; man errichtet also im Punkte O'P' × x auf eine Normale, diese schneidet AP" in P..

Das Bild g. einer Geraden g wurde soeben durch Konstruktion ihres Spur- und Fluchtpunktes gewonnen; es läßt sich indes auch leicht der Schnittpunkt G, des Bildes g. mit der Geraden z angeben. G ist der Schnittpunkt von z mit der Ebene Og, die Parallelen g und OG treffen also TT, in zwei Punkten G, und U, deren Verbindungslinie a in G schneidet (O'U || g', AG ̧ × x = U", UU" ¦ x). Diese Konstruktion ist besonders von Bedeutung, wenn die Bilder von einer Anzahl paralleler Geraden gefunden werden sollen, deren Spurpunkte in П, bekannt sind. Man hat dann zunächst G und U zu suchen, darauf projiziert man die ersten Spurpunkte der einzelnen Geraden aus dem Punkte U auf x und verbindet diese Projektionen mit G, so sind diese Linien die gesuchten Bildgeraden.

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877. Zweitens: Die Ebene П schließt mit der Bildebene einen Winkel a ein, die Ebene П, steht auf П, und

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der Bildebene senkrecht (Fig. 553). Es sei z wiederum die Schnittlinie der Projektionsebenen, ferner seien a und a (||a durch A)

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