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(N, O. = N, O%) und von ihm aus Po, auf NF" projizieren als Pa; macht man PAQA gleich der gegebenen Strecke, dann geht QaOa durch Q. Nimmt man statt der Falllinie durch Po eine beliebige Gerade g der Ebene E (also GG, durch P., G auf e, G, aufe,), so wird NG || N„G, und aus dem Teilungspunkte OA auf N„G, (N„OA = N„O) projiziert sich PQ, in wahrer Größe auf NG als PAQ. Ist also P. und die Länge der Normale bekannt, so findet sich hiernach ihr Endpunkt Q. Es braucht kaum hervorgehoben zu werden, daß bei den genannten Konstruktionen sich zwei Lösungen ergeben, wenn nicht angegeben ist, auf welcher Seite der Ebene die Normale liegen soll. In einem Punkte Po einer Geraden in die Normalebene E zu errichten (Fig. 547). Diese Aufgabe ist die Umkehrung der vorigen und es folgt aus der vorausgehenden Behandlung unmittelbar die Konstruktion von E. Man ziehe N„A und lege um diese Gerade das Auge O nach O, um, dann findet man auf N„A den Punkt F. durch die Beziehung F„O, L N„O. Die Fluchtlinie e. der gesuchten Ebene steht in F, auf N, A senkrecht, ihre Spurlinie e ergiebt sich in folgender Weise. Ein beliebiger Punkt G„ auf e, ist der Fluchtpunkt einer bestimmten Geraden g durch P, die offenbar auch der gesuchten Ebene angehört. Da auch g und n in einer Ebene liegen, so gewinnt man G. aus der Relation NG || N„G, (G = NG X G„P“) und damit e(|e,) durch G. Eine Gerade in steht somit auf einer Ebene E senkrecht, wenn das vom Hauptpunkte A auf die Fluchtlinie e. der Ebene gefällte Lot den Fluchtpunkt N., der Geraden trägt und das Produkt der Abstände des Hauptpunktes von Fluchtpunkt und Fluchtlinie gleich dem Quadrat der Distanz ist. Dabei muß A zwischen Fluchtpunkt und Fluchtlinie liegen. Jede Gerade, deren Fluchtpunkt sich auf e, befindet, ist zu n normal; jede Ebene, deren Fluchtlinie durch N. geht, ist zu E normal. 872. Durch eine Gerade g eine Ebene B senkrecht zu einer gegebenen Ebene E zu legen (Fig. 548). Man bestimme wie vorher M. (N„A Le, N, Axe,= F., N. O% L O„F“), so ist N, G„=b, die Fluchtlinie der gesuchten Ebene und die durch G gezogene Parallele b ihre Spurlinie. Die Schnittlinie s = B × E (S = b × e, S. =b, × e.) ist die orthogonale Projektion von g auf E und R=s ×g der Schnittpunkt von g und E (R = s, xg). Fällt man von einem Punkte Po der Geraden g auf E ein Lot, so liegt sein Fußpunkt Q auf s (PQ, durch M., Q, auf SS.). Durch Umlegen der Ebene B um ihre Spurlinie b gewinnt man einerseits den Winkel a = AgE = Z. gs und andererseits die wahre Länge des Lotes PQ. Ist O'das um b, umgelegte Auge (O'AL b, N„O'=N, O%), O'M, O'G, und O'H zeichnet. Dazu trage man nach 126 an

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O'G, den Winkel G, OH = 3 an, wähle H. in beliebigem Abstande

von O9, ziehe H„H" _L O'G„, dann ist H' auf O'M, die orthogonale Projektion von H, und die Kanten O9M, und O'H schließen den gesuchten Z 7 ein, so daß 7 = z. H'O9HA ist (HAH" L O'M, IIA 09 = H„O). Legt man schließlich noch das Auge um e, nach O, um und zieht durch O, die beiden Geraden, die mit O„M, den A 7 einschließen, so treffen sie e, in den gesuchten Fluchtpunkten K„ und L... Ist S, das Bild von S=g × E (867), so sind S„Kund SL, die Bilder der verlangten Geraden, deren Spurpunkte dann auf e liegen. 874. Die gemeinsame Normale zweier Geraden g und h zu finden (Fig. 550). Die Verbindungslinie G„H, der Fluchtpunkte beider Geraden ist die Fluchtlinie für alle Ebenen, die zu den beiden Geraden parallel laufen. Die gesuchte Gerade ist zu diesen Ebenen normal, ihr Fluchtpunkt N. wird deshalb nach 871 aus

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Fig. 550.

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in einer Ebene, ihr Spurpunkt N liegt also auf den Geraden NG (|N, G„) und NH (|N„H„). NN,= n, schneidet g, und h, in den Punkten Po und Q. Es soll noch die wahre Länge des Abstandes PQ der beiden Geraden gezeichnet werden. Nach 864 trage man N„O = N„Oo auf N„G, als M,O, auf, dann projiziert sich PQ. aus O% auf NG in seiner wahren Größe P% Q. 875. Die Geraden zu zeichnen, die mit einer gegebenen Geraden g einen bestimmten Winkel an und mit einer gegebenen Geraden h einen bestimmten Winkel 3 einschließen (Fig. 551). Die Aufgabe wurde bereits in 117 für orthogonale Projektion behandelt, hier soll nun die Konstruktion für Centralprojektion durchgeführt werden. Ist l eine Gerade von der vorgeschriebenen Beschaffenheit, so gelten für die Fluchtpunkte der Geraden g, h, l die Beziehungen: Z G„OL, =a und z. H. OL, =3. Die beiden Rotationskegel mit dem gemeinsamen Scheitel O und den Achsen OG, resp. OH„, deren Mantellinien

, Z- mit den zugehörigen Z- Achsen den Winkel de Fig. 551. resp. 3 einschließen,

schneiden sich in vier Geraden (113), die zu den gesuchten Geraden parallel laufen und unter denen sich auch die Gerade OL, befindet. Es kommt also alles darauf an, die Schnittlinien dieser Kegel zu konstruieren. Zu diesem Zwecke drehen wir die Kegelachsen OG, und OH, und mit ihnen die Kegelflächen selbst um e = G, H„, bis das Auge O in die Bildebene nach 09 gelangt (094 Le, 094 × e = F, 09F = 0, F, O„A |e, O% auf d), und bestimmen zunächst die gemeinsamen Geraden dieser gedrehten Kegelflächen nach 113. Ist A DO9G, = ar, so ist DOo eine in der Bildebene TT liegende Mantellinie des Kegels mit der Achse O'G„; ebenso ist O’C eine in TT liegende Mantellinie des Kegels mit der Achse O'H, wenn z. CO'H,= 3 ist. Um 09 als Mittelpunkt beschreiben wir eine Kugel, die TT in c und die Mantellinien O’D und O’C in D, D, resp. C, C, schneiden mag. Diese Kugelfläche schneidet die Kegel in je zwei Kreisen, deren Ebenen zu O'G, resp. O'H, normal sind; ihre senkrechten Projektionen werden von zwei zu O'G, normalen Geraden durch D und D, und von zwei zu O'H, normalen Geraden durch C und C, gebildet. Die beiden Kreise durch C, resp. D schneiden sich in zwei Punkten J, und J., deren gemeinsame orthogonale Projektion auf TT der Punkt / ist (CJ"L O’II, DJ'L O'G.). Die Abstände der Punkte J, und / von der Bildebene sind gleich JJ", wenn JJ“ L 0"J" ist und J% auf c liegt. O'J und O"J, sind zwei gemeinsame Mantellinien der gedrehten Kegelflächen; sie besitzen noch zwei weitere 0"K, und O'K, deren gemeinsame orthogonale Projektion O'K“ ist (CK“ L O'H, D„K“ L O9G„), auf die wir jedoch nicht weiter eingehen wollen. Wir legen jetzt durch e eine Ebene E, die zur Ebene Oe symmetrisch liegt in Bezug auf die Bildebene; sie wird die Strahlen O'J, und O"J, in zwei Punkten L, resp. M schneiden. Führen wir nun um e eine der früheren entgegengesetzte Drehung aus, so daß O" wieder nach O gelangt, dann nehmen die beiden Kegel wieder ihre ursprüngliche Lage an, während E mit der Bildebene zur Deckung kommt. Demnach gehen bei dieser neuen Drehung die Punkte L und M in zwei Punkte L, und M, der Bildebene über; OL, und OM, sind zu zweien der gesuchten Geraden parallel, d. h. L, und M, sind die Fluchtpunkte dieser Geraden. Um diese Punkte zu zeichnen, benutzen wir TT als Grundrißebene und eine dazu senkrechte Ebene durch O'AF" als Aufrißebene; dann liegt O in der Aufrißebene, die wir um O'A so umlegen, daß O nach O% gelangt. Nun ist J" die erste Projektion von J. und J., und es sind J" und J" ihre zweiten Projektionen (J"J"J" LO'A, J"J"=2/J); zugleich ist e, = FO, die zweite Spur der Ebene E, wenn O„O ein Durchmesser von d ist, denn es muß zO FO" = z. O'FO, sein. Hieraus ergeben sich L“ e, × 09/“ und M“=e, × 0"J" und ihre ersten Projektionen L/ und M" auf O9/(L"L/ M“M” L O'A), sowie durch Drehung um e die Punkte L, und M, (L „“ auf O'A, L „“F = L/L', L, XL, "|e, L, L/L e). Die Gerade l mit dem Fluchtpunkt L., die die gegebenen Geraden g und h trifft, besitzt einen Spurpunkt L, in dem sich die Spurlinien der Ebenen gl und hl schneiden (GL]|G„L, HL | H„L.).

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