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Durch einen Punkt P zu der Ebene E eine Parallelebene▲ zu legen. P mag durch sein Bild P. und seine ortho

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gonale Projektion P' gegeben sein
(PP' durch A, Fig. 542). Ziehen
wir durch P irgend eine Gerade g
parallel zu E (g durch P), so
liegt ihr Fluchtpunkt G auf e
und ihr Spurpunkt G auf einer
Parallelen zu AG durch P'. Denn
die Parallelen AG und P'G
bilden Flucht- und Spurlinie einer
Ebene durch die Geraden PP'
und g.
Die gesuchte Ebene A
enthält die Gerade g, besitzt also
die Fluchtlinie de und eine

dazu parallele Spurlinie d durch G.

869. Durch einen Punkt P eine Gerade s zu legen, die zwei Gerade k und trifft (Fig. 543). Der Punkt sei wieder durch sein Bild P. und seine Orthogonalprojektion P' gegeben.

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Fig. 543.

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(P ̧P' geht durch A). Wir legen
durch P eine Parallele d zu k,
dann ist D= K ihr Flucht-
punkt und d = DP, ihr Bild;
ihr Spurpunkt D liegt auf einer
Parallelen zu K A durch P'.
Denn PP' und d liegen in
einer Ebene mit Do-
mit DA als
Flucht- und DP' als Spurlinie.
Ebenso ziehen wir durch P eine
Parallele e zu 7, dann ist L
E ihr Fluchtpunkt, e E Po
ihr Bild und E

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с

с

=

=

с

eX P'E (L4) ihr Spurpunkt. Die gesuchte Gerade s erscheint nun als Schnitt der Ebenen kd und le, also ist ihr Spurpunkt SDK × EL, während ihr Fluchtpunkt S auf den Geraden KS (KD) und LS (LE) liegt.

Soll man eine Gerade s zeichnen, die zwei Gerade k und 7 trifft und zu einer dritten, etwa g, parallel ist, so fällt S mit G zusammen und S ist der Schnittpunkt der Geraden KS (|| KG) und LS (LG).

Von einer Geraden s = QR seien Spur- und Flucht

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Sc

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punkt zu finden (Fig. 544). Die Punkte QR mögen zwei Geraden k resp. angehören und seien durch ihre Bilder Q und R auf den Bildgeraden k und gegeben. Wir suchen nach 868 die Spur- und Fluchtlinien der Ebenen kR und 1Q, indem wir durch R eine zu k parallele Gerade m (M。=K‰, ML || ML) und durch Qeine zu parallele Gerade n legen (N= L∞, NK||NK...). Die Spurlinien von kR und IQ sind KM und LN, ihre Fluchtlinien gehen durch K resp. L; erstere schneiden sich im Spurpunkt S, letztere im Fluchtpunkt S. der gesuchten Geraden s. Da wir s = QR kennen, genügt es, Spur- und Fluchtlinie von einer der beiden Ebenen k R resp. 1Q zu konstruieren.

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M

Fig. 544.

870. In einer Ebene E durch einen gegebenen Punkt P die beiden Geraden mit dem Neigungswinkel y gegen die Bildebene zu zeichnen (Fig. 545). Die Fluchtpunkte aller Geraden mit der Neigung y gegen die Bildebene П liegen auf einem Kreise c mit dem Mittelpunkte A. Der Radius dieses Kreises ist

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die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes, in dem die Distanz die zweite Kathete und den dieser gegenüberliegenden Winkel bildet. Die Schnittpunkte J und K von c und e sind die Fluchtpunkte der gesuchten Geraden i und k, ihre Spurpunkte J und K liegen auf e und ihre Bilder JJ und KK gehen durch P

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Den Winkel ẞ zweier Geraden k und l zu finden (Fig. 546). Da OK || k und OL || ist, so ist ẞ = KOL; die wahre Größe dieses Winkels ergiebt sich aber durch Umlegen des Auges 0 um die Gerade K L in die Bildebene. Zu diesem Zwecke zieht man AFKL und 400 || K L (0, auf d) und trägt dann OF OF auf AF als O°F auf, dann ist ẞK OL.

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871. In einem Punkte P einer Ebene E eine Normale n von gegebener Länge zu errichten (Fig. 547). Ist e die Fluchtlinie von E und N der Fluchtpunkt von n, so folgt aus n E, daß auch ON Oe, ist. Die Ebene Oe, hat in der Bild

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Ebene gefällten Lotes AF. Auf dieser Geraden bestimmt sich No durch die Beziehung ON 1 OF; zur Konstruktion lege man das Auge um AF in die Bildebene als 0, um (40, 1 AF, 0, auf d), dann ziehe man ON normal zu OF. Hieraus folgt zugleich die Relation AN AF = (40)2.

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со

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Das Bild der gesuchten Normalen ist n = NP, ihr Spurpunkt N ergiebt sich folgendermaßen. Jede durch P verlaufende Gerade der Ebene E bestimmt mit ʼn eine Ebene, auf deren Spurlinie N liegt. Man wähle etwa die Falllinie durch P, deren Fluchtpunkt F ist und deren Bild durch P. geht; dann liegt die Normale n in der Ebene mit der Fluchtlinie NF und einer dazu parallelen Spurlinie durch F und ihr Spurpunkt N auf dieser Spurlinie (NF || No Fe). Jetzt ist noch auf n ein Punkt Qe zu finden, so daß PQ eine vorgeschriebene Länge besitzt. Man erreicht dieses durch Umlegen der Geraden n um ihre orthogonale Projektion n' = NF und erhält so no || ON durch N und auf n den Punkt Po =nX OP. Trägt man auf no die Strecke Po。 gleich der по gegebenen Strecke PQ auf, so ist Qen x 9% 2%.

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Man kann auch den Teilungspunkt O auf NF benutzen

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(NO1 = NO) und von ihm aus P. auf NF projizieren als P▲; macht man PAQA gleich der gegebenen Strecke, dann geht Q11 durch Q Nimmt man statt der Falllinie durch P eine beliebige Gerade g der Ebene E (also GG durch P., G auf e, G auf e), so wird NG || NG, und aus dem Teilungspunkte 04 auf N G (N‰ Oa NO) projiziert sich PQ in wahrer Größe auf NG als PA QA. Ist also P und die Länge der Normale bekannt, so findet sich hiernach ihr Endpunkt Q. Es braucht kaum hervorgehoben zu werden, daß bei den genannten Konstruktionen sich zwei Lösungen ergeben, wenn nicht angegeben ist, auf welcher Seite der Ebene die Normale liegen soll.

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In einem Punkte P einer Geraden n die Normalebene E zu errichten (Fig. 547). Diese Aufgabe ist die Umkehrung der vorigen und es folgt aus der vorausgehenden Behandlung unmittelbar die Konstruktion von E. Man ziehe NA und lege um diese Gerade das Auge O nach O, um, dann findet man auf N 4 den Punkt F durch die Beziehung F O 1 NO. Die Fluchtlinie e der gesuchten Ebene steht in F auf N. A senkrecht, ihre Spurlinie e ergiebt sich in folgender Weise. Ein beliebiger Punkt G auf e ist der Fluchtpunkt einer bestimmten Geraden g durch P, die offenbar auch der gesuchten Ebene angehört. Da auch g und n in einer Ebene liegen, so gewinnt man G aus der Relation NG || NÅ GÅ (G = NG × GÅP) und damit e (|| e) durch G.

со

Eine Geraden steht somit auf einer Ebene E senkrecht, wenn das vom Hauptpunkte A auf die Fluchtlinie e der Ebene gefällte Lot den Fluchtpunkt N der Geraden trägt und das Produkt der Abstände des Hauptpunktes von Fluchtpunkt und Fluchtlinie gleich dem Quadrat der Distanz ist. Dabei muß A zwischen Fluchtpunkt und Fluchtlinie liegen. Jede Gerade, deren Fluchtpunkt sich auf e befindet, ist zun normal; jede Ebene, deren Fluchtlinie durch N geht, ist zu E normal.

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872. Durch eine Gerade g eine Ebene B senkrecht zu einer gegebenen Ebene E zu legen (Fig. 548). Man bestimme wie vorher N (щ▲ ¦е ̧‚ Ñ ̧Â× е= F ̧, NO, 10F), so ist (NË NË No Gb die Fluchtlinie der gesuchten Ebene und die durch G gezogene Parallele b ihre Spurlinie. Die Schnittlinie s = BXE (S = b × e, S。 = b∞ × e) ist die orthogonale Projektion von g auf E und R =sxg der Schnittpunkt von g und E (R = se × g.). Fällt man von einem Punkte P der Geraden g auf E ein Lot, so liegt sein Fußpunkt auf s (P.Q. durch N., Q. auf SS). Durch Um

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legen der Ebene B um ihre Spurlinie b gewinnt man einerseits den Winkel a gĒL gs und andererseits die wahre Länge des Lotes PQ. Ist O° das um b, umgelegte Auge (0°Alb‰, N 0° = Na 0%),

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α

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C

Fig. 548.

so ist α = GO°S. Zugleich ist P°Q° die wahre Länge von PQ, wenn P°Q° || O°N durch N geht (N = 6 x PN) und Po, Q° auf den Strahlen O°P, O'Q, liegen. In der Figur sind auch go und so eingezeichnet (g|| G Oo, so || S‰% Oo). Die wahre Länge von PQ erhält man auch, wenn man die Strecke NO auf b als NO aufträgt und die Bildstrecke PQ, von О auf b als P▲▲ projiziert.

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873. Gegeben eine Ebene E und eine Gerade g, man soll in E die beiden Geraden suchen, die mit g einen bestimmten Winkel einschließen (Fig. 549). Sind e, e und G, G bekannt, so bestimme man zunächst wie vorher den Fluchtpunkt N der Normalen von E (NAL, N∞ 4 × е∞ = F NO 10F). Die Fluchtpunkte K und L. der gesuchten Geraden k und 7 müssen erstens auf e liegen und zweitens muß LK OG∞ =LL OG ẞ sein. Betrachtet man aber das Dreikant mit den Kanten OK, OG und OM, wo Me × G N ist, so sind seine letzten beiden Kanten bekannt, während man die erste Kante OK durch folgende Überlegung erhält. Die Seite M OG des Dreikantes steht auf der Seite M OK senkrecht, denn GM geht durch N; außerdem kennt man zwei Kanten winkel oder Seiten desselben (vergl. 123), nämlich K OG = ẞ und M, OG∞ = ≤ M ̧ OoG∞, wenn Oo das um N G umgelegte Auge ist (0°ANG, NË 0o= NO). Hieraus ergiebt sich seine dritte Seite y = L M OK, indem man zu dem genannten Dreikant ein kongruentes mit den Kanten

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