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Gerade g in der Ebene E, so bestimme man auf e, einen der Punkte OA oder O%, für welche G„OA = G„O% = G„O = G„09 ist; aus jedem dieser beiden Punkte projiziert sich eine jede Bildstrecke PQ, von g, in wahrer Länge auf e (P% Q% = PQ = PoQ"). Der Punkt O%, resp. O% heißt Teilungspunkt von g, weil er dazu dienen kann, jede Bildstrecke auf g, so zu teilen, daß die wahren Längen dieser Teile in einem vorgeschriebenen Verhältnisse stehen. 865. Legt man zweitens durch g eine Ebene senkrecht zur Bildebene, so ist G„A ihre Fluchtlinie und g/(| G„A) durch G ihre Spurlinie, dabei ist g' die Orthogonalprojektion von g auf die Bildebene (Fig. 540). Legt man jetzt das Auge um G„A nach O, um (0,4 L G„A, O, auf d) und die Gerade g um ihre Orthogonalprojektion g' nach g, (g, | O„G, g, durch G), so projiziert sich jede Bildstrecke PQ von g, aus O, in wahrer Größe auf g. Projiziert man PQ, aus A auf g”, so erhält man die Orthogonalprojektion PQ" von PQ; denn die von Po und Q f“ auf die Bildebene gefällten Lote haben A zum Fluchtpunkte und ihre Spurpunkte Po und Q" liegen auf g/. Die Strecken PP, und QQ, stehen aufg' senkrecht und geben die Abstände der Punkte Po und Q von der Bildebene TT an. Trägt man G„O% = G„O, auf G„A auf, so ist O% der Teilungspunkt von g hinsichtlich der zu TT normalen Ebene durch g; PQ, projiziert sich also aus Oa in der wahren Länge P„Q% (= PQ, = PQ) auf g/. 866. Die hier gegebene Darstellung der Ebene und der Geraden und im Anschluß daran die des Punktes auf der Geraden oder in der Ebene kann dazu benutzt werden, eine Reihe von Aufgaben zu lösen. Aus dem Bilde P. und der orthogonalen Projektion Po" eines Punktes, wobei PP“ durch den Hauptpunkt A gehen muß, ergiebt sich sein Abstand von der Bildebene durch die Relation PP“: OA = PP: PA. Es folgt das unmittelbar aus Fig. 540 und wird noch einfacher durch Umlegen von OP um seine orthogonale Projektion AP erhalten. Aus dem Bildeg, und der Projektion g' einer Geraden ergiebt sich ihr Spurpunkt G =g, × g/ und ihr Fluchtpunkt G„=g, x G„A, wobei G„A | g ist. Ist die Gerade g zur Bildebene parallel, so ist 7, g/; ihr Abstand von der Bildebene ist gleich dem Abstand irgend eines Punktes Po auf ihr, der sich wie vorher bestimmt (PoP durch A). Ein Punkt kann hiernach durch sein Bild und seine orthogonale Projektion, oder durch sein Bild und seinen Abstand von der Bildebene gegeben werden. Ebenso kann eine Parallele zur Bildebene durch ihr Bild und ihren Abstand, oder durch ihr Bild und ihre orthogonale Projektion bestimmt werden.

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Aus Fig. 540 erkennt man weiter, daß sich der Abstand eines Punktes von der Bildebene zur Distanz auch wie die Abstände seines Bildes von Spur- und Fluchtpunkt einer durch ihn gelegten Geraden verhält (PP: OA = GP: PG,), oder wie die Abstände seines Bildes von Spur- und Fluchtlinie einer durch ihn gelegten Ebene. Ganz ebenso verhält sich der Abstand einer zur Bildebene parallelen Geraden zur Distanz, wie die Abstände ihres Bildes von Spur- und Fluchtlinie einer durch sie gelegten Ebene.

867. Die Schnittlinie s zweier Ebenen B und T hat den Spurpunkt S =b×c und den Fluchtpunkt S„=b, × c„. Der Schnittpunkt S einer Geraden g und einer Ebene E wird erhalten, indem man durch g eine beliebige Hilfsebene A legt, also ihre Spurlinie d durch G und ihre Fluchtlinie d. (d) durch G, zieht und die Gerade i=EXA mit g schneidet (J=e ×d, J„=e, × d„, S. =g, Xi). Ist g parallel zur Bildebene, so kann man eine zur Bildebene normale Hilfsebene durch sie legen, ihre Spurlinie ist g” (g) und ihre zu g, parallele Fluchtlinie geht durch A. Die einfachen Figuren zu diesen Aufgaben sind weggelassen, da die gleichen Konstruktionen in den weiteren Aufgaben wiederkehren.

868. Durch einen Punkt P zu der Geraden k eine Parallele l zu ziehen. Pliege auf einer Geraden g, also P. auf GG, dann ist L., = K„, l. = L., P. und LG |L, G„; denn LG und L, G, bilden Spur- und Fluchtlinie der Ebene lg (Fig. 541). Hieraus ergeben sich auch Spur- und Fluchtlinie der Ebene kP, die auch die Parallele l enthält, erstere ist KL, letztere ist hierzu parallel und geht durch K„. Der Distanzkreis ist hier und weiterhin, wo er nicht gebraucht wird, weggelassen.

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Durch einen Punkt P zu der Ebene E eine Parallelebene A zu legen. P mag durch sein Bild P. und seine orthogonale Projektion Po" gegeben sein (PP“ durch A, Fig. 542). Ziehen wir durch Po irgend eine Gerade g parallel zu E (g, durch P.), so liegt ihr Fluchtpunkt G, auf e, und ihr Spurpunkt G auf einer Parallelen zu AG, durch Po. Denn die Parallelen AG, und PG bilden Flucht- und Spurlinie einer Ebene durch die Geraden PP" und g. Die gesuchte Ebene A Fig. 542. enthält die Gerade g, besitzt also die Fluchtlinie d. = e, und eine dazu parallele Spurlinie d durch G. 869. Durch einen Punkt P eine Gerade s zu legen, die zwei Gerade k und l trifft (Fig. 543). Der Punkt sei wieder durch sein Bild P. und seine Orthogonalprojektion P' gegeben (PP" geht durch A). Wir legen durch Po eine Parallele d zu k, dann ist D„= K„ ihr Fluchtpunkt und d= D„P, ihr Bild; ihr Spurpunkt D liegt auf einer Parallelen zu K„A durch Po. Denn PP“ und d liegen in einer Ebene mit D„A als Flucht- und DP“ als Spurlinie. Ebenso ziehen wir durch P eine Parallele e zu l, dann ist L, = Fig. 543. E, ihr Fluchtpunkt, e, = E, P. ihr Bild und E = e > PoE (| L„A) ihr Spurpunkt. Die gesuchte Gerade s erscheint nun als Schnitt der Ebenen kd und le, also ist ihr Spurpunkt S = DK x EL, während ihr Fluchtpunkt S, auf den Geraden K„S, (|KD) und L„S, (| LE) liegt. Soll man eine Gerade s zeichnen, die zwei Gerade k und l trifft und zu einer dritten, etwa g, parallel ist, so fällt S, mit G, zusammen und S ist der Schnittpunkt der Geraden KS (| K„G„) und LS(|L, G„). Von einer Geraden s = QR seien Spur- und Fluchtpunkt zu finden (Fig. 544). Die Punkte QR mögen zwei Geraden k resp. l angehören und seien durch ihre Bilder Q, und R. auf den Bildgeraden k. und l, gegeben. Wir suchen nach 868 die Spur- und Fluchtlinien der Ebenen kR und l9, indem wir durch R eine zu k parallele Gerade im (M,= K„, ML | M, L,) und durch Q eine zu l parallele Gerade in legen (N„=L, NK | N„K„). Die Spurlinien von kR und l(Q sind KM und LN, ihre Fluchtlinien gehen durch K, resp. L „; erstere schnei- A den sich im Spurpunkt S, letztere im Fluchtpunkt S., der gesuchten Geraden s. Da wir s = QR, kennen, genügt es, Spur- und Fluchtlinie von einer der beiden Ebenen kR resp. l Q zu konstruieren. 870. In einer Ebene E durch einen gegebenen Punkt P die beiden Geraden mit dem Neigungswinkel y gegen die Bildebene zu zeichnen (Fig. 545). Die Fluchtpunkte aller Geraden mit der Neigung 7 gegen die Bildebene TT liegen auf einem Kreise c mit dem Mittelpunkte A. Der Radius dieses Kreises ist

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Fig. 545. Fig. 546.

die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes, in dem die Distanz die zweite Kathete und 7 den dieser gegenüberliegenden Winkel bildet. Die Schnittpunkte J, und K„ von c und e, sind die Fluchtpunkte der gesuchten Geraden i und k, ihre Spurpunkte / und K liegen auf e und ihre Bilder JJ, und KK, gehen durch P.

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Den Winkel 3 zweier Geraden k und l zu finden (Fig. 546). Da OK, | k und OL, | l ist, so ist 3 = Z - K„OL-„; die wahre Größe dieses Winkels ergiebt sich aber durch Umlegen des Auges O um die Gerade K„L, in die Bildebene. Zu diesem Zwecke zieht man AF, LK, L, und AO% | K„L, (O% aufd) und trägt dann O„F,= OF. auf AF, als O'F, auf, dann ist 3=A K„O'L,. 871. In einem Punkte Po einer Ebene E eine Normalen von gegebener Länge zu errichten (Fig. 547). Ist e, die Fluchtlinie von E und N., der Fluchtpunkt von n, so folgt aus n LE, daß auch ON, L. Oe, ist. Die Ebene Oe, hat in der Bild- ebene die Spurlinie e, und die orthogonale Projektion der Geraden ON, ist AN, deshalb ist auch AN, Le, (80). Der Fluchtpunkt N., der gesuchten Normalen liegt also auf der Verlängerung des vom HauptFig. 547. punkt A auf die Fluchtlinie der gegebenen Ebene gefällten Lotes AF... Auf dieser Geraden bestimmt sich N. durch die Beziehung ON, LOF.; zur Konstruktion lege man das Auge um AF, in die Bildebene als O% um (AO, LAF, O, auf d), dann ziehe man O„N, normal zu O„F... Hieraus folgt zugleich die Relation AN, AP, = (AO)“. - Das Bild der gesuchten Normalen ist n = N„P, ihr Spurpunkt N ergiebt sich folgendermaßen. Jede durch Po verlaufende Gerade der Ebene E bestimmt mit in eine Ebene, auf deren Spurlinie N liegt. Man wähle etwa die Falllinie durch P, deren Fluchtpunkt F, ist und deren Bild durch P. geht; dann liegt die Normale n in der Ebene mit der Fluchtlinie N., F, und einer dazu parallelen Spurlinie durch F. und ihr Spurpunkt N auf dieser Spurlinie (NFN, F. Le...). Jetzt ist noch auf in ein Punkt 0 zu finden, so daß PQ eine vorgeschriebene Länge besitzt. Man erreicht dieses durch Umlegen der Geraden in um ihre orthogonale Projektion n" = NF" und erhält so n | O„N, durch N und auf in den Punkt P% =n, × O„P. Trägt man auf n, die Strecke P„Q, gleich der gegebenen Strecke PQ auf, so ist Q. =n, x 0,9%. Man kann auch den Teilungspunkt O% auf N„F, benutzen

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