dieser Flächen eine ausgedehntere Behandlung finden, während hier nur einige wenige hervorgehoben werden sollen.

Jeder ebene Schnitt der Rotationsfläche 2. Grades ist ein Kegelschnitt, der mit einem beliebigen Parallelkreise in doppelter Weise auf einem Kegel liegt. Zum Beweise wählen wir die zur Schnittebene senkrechte Meridianebene als Zeichenebene, a sei die Rotationsachse, m die Meridiankurve in ihr und e die Spur der Schnittebene (Fig. 355). Es ist nun zu zeigen, daß die Schnittkurve s, die m in A und B trifft, mit dem Parallelkreise i, der m in C und D schneidet, einmal auf einem Kegel mit dem Scheitel S = ACX BD liegt und zum anderen auf einem Kegel mit dem Scheitel T AD X BC. T: Ein Punkt P von s und ein Punkt von i müssen auf einem Strahle durch S liegen, sobald

=

die Projektion P'Q" durch S geht, d. h. es muß PP" : QQ" =P'S: Q'S sein. Ist nun p der Parallelkreis durch P und trifft er m in E und F, so ist: (P'P)2= P'EP'F; ganz ähnlich gilt für =-KQ die Beziehung:

(Q′′Q)2 = Q′′C • Q'D. Alle Kegelschnitte durch die vier festen Punkte A, B, C, D schneiden aber aus der Geraden p" nach 364 Punktepaare einer Involution aus, so daß E und F,

G = AC × p" und H = BD × p", J = AD × p" und K = BC × p", P" und der unendlich ferne Punkt solche Punktepaare sind. Für den Mittelpunkt P" dieser Involution haben wir: PE · P"F = P'G · P'H = P"J · P'K; demnach ist: (P"P) : (Q′′Q)2 = P′′G · P"H:Q"C· Q"D (P''S)2: (Q'S)2 und somit unsere Behauptung er

wiesen.

Ganz ebenso liegen P von s und R von i auf einem Strahle durch T, wenn P"R" durch 7 geht und PP': RR" P"T: RT ist.

=

Nun ist (R"R)2 = R′′C · R'D, also auch: (PP)2 : (R''R)2 = P′′E · P'F :R"C. R"DP"K. PJ: R"C. R'D (PT)2: (RT)2.

=

Die Konstruktion des Kegelschnittes s ist selbstverständlich; AB ist die eine Achse von ihm, ihre Mitte O sein Mittelpunkt, die andere Achse wird von dem Parallelkreise begrenzt, dessen Ebene durch O geht. Ist m eine Ellipse, so kann man zur Konstruktion den affinen Kreis benutzen, der mit m eine Achse gemein hat, ist m eine Hyperbel, so wird man ihre Asymptoten bei der Konstruktion zu verwenden haben.

m

a

556. Der von einem Punkte an eine Rotationsfläche 2. Grades gelegte Tangentenkegel berührt sie in einem Kegelschnitte. Ist L der Punkt, u der Kegelschnitt und A seine Ebene, so heißt Z der Pol der Ebene A und umgekehrt A die Polarebene des Punktes L. Die Meridianebene durch Z nehmen wir als Zeichenebene, die in ihr liegende Meridiankurve sei m; die Tangenten von I an m mögen in den Punkten A resp. B berühren (Fig. 356). Die Ebene A hat die Gerade AB zur Spur und steht auf der Zeichenebene senkrecht; die Projektion der Kurve u fällt mit AB zusammen. Wir haben nun zu zeigen, daß jeder Punkt der Fläche, dessen Projektion auf AB liegt, seine Tangentialebene durch L schickt. Ist P ein solcher Punkt, so daß P" auf AB liegt, und ist p der zugehörige Parallelkreis, der m in J und K schneiden mag, so enthält die Tangentialebene in P die Tangente an den Parallelkreis p und die Tangente an die Meridiankurve durch P. Der Spurpunkt der ersten Tangente teilt mit P" die Sehne JK harmonisch, denn Q ist offenbar der Pol von PP" in Bezug auf p; Qund P sind demnach auch konjugierte Pole in Bezug auf m (284). Der Spurpunkt R der zweiten Tangente liegt auf der Rotationsachse a, durch ihn gehen auch die Tangenten von m in J und K; R ist der Pol von JK in Bezug auf m, es sind also auch R und P' bezüglich m konjugierte Pole. Die Spur QR der Tangentialebene im Punkte P ist somit die Polare von P" hinsichtlich m; da nun

p"

m

Fig. 356.

P" auf AB liegt, so geht seine Polare QR durch den Pol I von AB, und die Tangentialebene in P enthält den Punkt L, was unseren Satz beweist.

Der Mittelpunkt M von m ist zugleich der Mittelpunkt der Rotationsfläche; die Gerade ML halbiert die Sehne AB - die Polare von Lim Punkte O (nach 294); AB ist eine Achse und O der Mittelpunkt von u. Da die Polaren aller Punkte des Durchmessers ML in Bezug auf m parallel sind, so können wir folgenden. Satz erschließen. Die Tangentenkegel aus den Punkten eines Durchmessers an die Rotationsfläche 2. Grades berühren sie in Kegelschnitten, deren Ebenen parallel sind und auf der Meridianebene durch den Durchmesser senkrecht stehen; diese Kegelschnitte sind ähnlich und ihre Mittelpunkte liegen auf jenem Durchmesser. Die Ähnlichkeit folgt daraus, daß je zwei ebene Schnitte der Fläche auf einem Kegel liegen, was in der nächsten Nummer gezeigt werden soll.

557. Bilden die Punkte P und Q zwei konjugierte (harmonische) Pole in Bezug auf irgend einen Schnitt einer Rotationsfläche 2. Grades, in dessen Ebene sie liegen, so thun sie es auch für jeden Schnitt, dessen Ebene sie enthält. Sind nämlich u und v zwei Schnitte der Rotationsfläche, deren Ebenen durch PQ gehen, so haben wir zwei Fälle zu unterscheiden: Entweder PQ schneidet u und somit auch v in zwei Punkten A und B; P, Q teilen dann als konjugierte Pole von u die Sehne AB harmonisch, sie sind deshalb auch konjugierte Pole von v, da u und v die Sehne AB gemein haben. Oder PQ trifft die Kurven u und v nicht; sind dann P, Q konjugierte Pole für u, so kann man von P (ebenso auch von Q) zwei Tangenten an u legen, da beide Punkte außerhalb u liegen (288); die zugehörige Berührungssehne (Polare von P) geht durch Q. Die Berührungspunkte aller, von P an die Rotationsfläche gelegten Tangenten liegen auf einem Kegelschnitte, dessen Ebene jene Berührungssehne und somit Q enthält. Diese Ebene enthält auch die Berührungssehne der von P an v gelegten Tangenten, so daß diese Sehne ebenfalls durch Q geht; P, Q sind also auch konjugierte Pole für v. Die Punkte P, Q heißen wegen dieser Eigenschaft konjugierte Pole in Bezug auf die Rotationsfläche 2. Grades. Die Punkte jeder Geraden ordnen sich paarweise in konjugierte Pole an, die involutorische Reihen bilden.

Da die Kurven u und v auf der Schnittlinie ihrer Ebenen dieselbe Involution harmonischer (konjugierter) Pole bestimmen, so sind sie nach 356 in zweifacher Weise perspektiv. Zwar ist dieser

Satz in 356 nur für zwei Kegelschnitte in der nämlichen Ebene ausgesprochen, doch bleiben dieselben in perspektiver Lage (nach 173), wenn man einen von ihnen um die Achse der Perspektivität, d. h. um die Gerade der gemeinsamen harmonischen Pole dreht. Je zwei ebene Schnitte der Rotationsfläche 2. Grades liegen demnach gleichzeitig auf zwei Kegelflächen.

558. Durch eine Gerade AB sollen die beiden Tangentialebenen an eine Rotationsfläche 2. Grades gelegt werden. Die Polarebene A von A schneidet die Fläche in einer Kurve, deren Punkte ihre Tangentialebenen durch A schicken; analog gehen die Tangentialebenen in den Punkten der Fläche, die in der Polarebene B von B liegen, durch B. Die Schnittgerade s von A und B trifft also die Fläche in zwei Punkten J und K, deren Tangentialebenen die Gerade AB enthalten. Legt man durch A die Meridianebene und bestimmt seine Polare in Bezug auf die Meridiankurve, so steht A

in dieser auf der Meridianebene senkrecht; in gleicher Weise findet man B und dadurch s, und es sind dann noch die Schnittpunkte von S mit der Rotationsfläche zu bestimmen.

In Fig. 357 mag EF die kleine und GH die große Achse einer Ellipse m sein, die durch Rotation um ihre große Achse ein Ellipsoid erzeugt. Die Rotationsachse sei senkrecht zum Grundrisse, und die genannte Ellipse liege in einer zum Aufrisse parallelen Ebene. Auf der Geraden 7, durch die die beiden Tangentialebenen

3

H"

M" k"

G"

an die Fläche zu legen sind, wählen wir den Punkt 4 in der Ebene П, des größten Parallelkreises k, den Punkt B in der Tangentialebene des Punktes G, in der Figur fällt sie mit П, zusammen. Die Polarebene A von A enthält die Polare von A in

Bezug auf k und ist zu П, senkrecht; die Berührungssehne PQ' der von Aan k' gelegten Tangenten bildet also die erste Spur a1 von A und die erste Projektion a, ihrer dritten Spur. Die Polarebene B von B geht durch G und enthält die beiden Punkte von k, deren Tangentialebenen durch B gehen; diese sind aber senkrecht zu П. Die Projektion b, der dritten Spur von B ist demnach die Berührungssehne der von B an k' gelegten Tangenten, ihre erste Spur b1 geht durch G (b1|| b'1 BG). Hieraus ergeben sich die Spurpunkte S1 und S, von s = A x B (S1 = a1 × b1, Sz' = ag' × bg'). X

Um die Schnittpunkte von s mit der Rotationsfläche zu gewinnen, lege man durch s eine Vertikalebene, die die Fläche in einer Ellipse c schneidet. Diese Ellipse c ist zu dem Kreise k perspektiv, das Perspektivitätscentrum O ergiebt sich dann in folgender Weise. Man drehe c, das zu m ähnlich ist, um die Achse GH, bis seine Ebene zu П2 senkrecht steht; das Centrum 0, der Perspektivität von k und der gedrehten Kurve c。 liegt dann in der Ebene des Hauptmeridians, erscheint also als Schnitt der Geraden EC und FD, wo CD die große Achse von c, ist (CD: P'Q' = G"H":E"F"). Dreht man c。 in seine ursprüngliche Lage c zurück, so geht O, in O über; dabei fällt O' mit A' zusammen, denn O muß in den Ebenen liegen, die die Fläche in P resp. Q berühren (0′ = A', 0,0′′ || x). Die Ebene aus O durch s schneidet П, in der zu s perspektiven Geraden S2T (7" = 0′′S1′′ × E''F'", T′ auf O'S1) und diese schneidet k in den Punkten U und V, die zu den gesuchten Berührungspunkten J und K perspektiv sind (U' = k' × S'T', V' = k' × S ̧'T', J' = O'V' × §§,', K' = O'U' × S1'§', J" und K" auf S1"S").

0

Rotationsflächen, die sich längs einer Kurve berühren.

559. Berühren sich zwei Rotationsflächen A und B, deren Achsen a und b windschief zu einander sind, längs einer Kurve c, so sind in den Punkten dieser Kurve für beide Flächen die Tangentialebenen und damit auch die Normalen gleich. Die Normale einer Rotationsfläche trifft aber ihre Achse, so daß die gemeinsamen Normalen beider Flächen in den Punkten von c sowohl a wie b treffen. Ist somit eine Rotationsfläche A und die Achse b einer zweiten bekannt, die erstere längs einer Kurve berühren soll, so gehören dieser Berührungskurve alle Punkte von A an, deren Normalen die Achse b treffen. Durch Rotation dieser Kurve um b entsteht die Fläche B, und ganz ebenso erzeugt sie bei einer