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die Konstruktion reeller und virtueller Bilder ergiebt sich kein Unterschied. Hinsichtlich der Bezeichnung mag noch vorausgeschickt werden, daß die Bilder eines Raumpunktes Po, einer Raumgeraden g u. s. w. durch Anhängen des Index c an die betreffenden Zeichen, also P., g, u. s. w., gekennzeichnet werden sollen. Die Bildebene soll kurz durch TT bezeichnet werden. 859. Darstellung einer Ebene. Eine Ebene E im Raume legen wir fest, indem wir einerseits ihre Schnitt- oder Spurlinie e mit der Bildebene, andererseits ihre Stellung gegen diese angeben. Das letztere geschieht dadurch, daß wir durch das Auge O eine Parallelebene zu E legen und ihre Spurlinie e, zeichnen (Fig. 535). Da jede Ebene durch O die Bildebene und die Ebene E in Geraden schneidet, von denen die eine das Bild der anderen ist, so ist jede Gerade in TT das Bild einer Geraden in E und das Bild unserer Ebene überdeckt die ganze Bildebene. Speziell ist e, das Bild der unendlich fernen Geraden von E., d. h. der Gesamtheit ihrer unendlich fernen Punkte, da Oe, |E ist; e, heißt die Fluchtlinie von E (vergl. 166–169). Parallele Ebenen besitzen die gleiche Fluchtlinie. Die Spurlinie e und die Fluchtlinie e, liegen in der Bildebene TT und sind parallel; zu ihnen parallel ist auch die Verschwindungslinie e, der Ebene E, deren Bild unendlich fern liegt, so daß OeTT ist. Die Geraden e und e, teilen E in drei Teile; der erste erstreckt sich von e bis ins Unendliche und liegt hinter der Bildebene, sein Bild in TT ist der Parallel- Fig. 535. streifen zwischen e und e,. Den zweiten Teil von E bildet der Streifen zwischen e und e, vor der Bildebene, sein Bild in TT dehnt sich von e bis ins Unendliche aus. Der dritte Teil von E liegt ebenfalls vor der Bildebene und erstreckt sich von e ins Unendliche, sein Bild ist virtuell und dehnt sich von e, bis ins Unendliche aus. In Fig. 535 sind Po", Q, R, die Bilder von Punkten, die im ersten, resp. zweiten, resp. dritten Teile von E liegen. Fällt man vom Hauptpunkt A ein Lot AF" auf e, so ist OF eine Falllinie der Ebene Oe, (OFL e,) und es ist Z. AFO = 8 der Neigungswinkel der Ebene E gegen die Bildebene, da E | Oe, ist. Man zeichnet den Winkel 8 durch Umlegen des Dreieckes AFO um die Kathete AF" in TT als A. AFO, (AO, LAF, O, auf d). Es ist sofort ersichtlich, daß s = 45° ist, je nachdem e, den Distanzkreis d schneidet, berührt oder nicht trifft. Geht die Fluchtlinie einer Ebene durch den Hauptpunkt A, so ist die Ebene zur Bildebene normal. Die zur Bildebene parallelen Ebenen können in der angegebenen Weise nicht bestimmt werden, sie besitzen weder erreichbare Spurnoch Fluchtlinien. Punkte und Linien in solchen Ebenen lassen sich durch Hilfsgeraden oder Hilfsebenen festlegen, wie wir weiterhin sehen werden. Bei Ebenen durch das Auge O fallen Spur- und Fluchtlinie zusammen; die ganze Ebene projiziert sich als gerade Linie. 860. Darstellung einer Geraden. Eine Gerade g legen wir im Raume fest, indem wir einerseits ihren Schnitt- oder Spurpunkt G mit der Bildebene, andererseits ihre Richtung angeben. Das letztere geschieht in der Weise, daß wir durch das Auge O eine Parallele zu g legen und ihren Spurpunkt G, zeichnen (Fig. 536). Jeder Strahl durch O, der g in einem Punkte trifft, schneidet TT in dem zugehörigen Bildpunkte. Speziell ist G, G das Bild des unendlich fernen Punktes von g, da OG, | g ist; Fig. 536. G, heißt der Fluchtpunkt von g. GG, =g, ist das Bild von 7(9, = 09 × TT). Parallele Geraden besitzen den gleichen Fluchtpunkt. Wir betrachten außer dem SpurpunktG und dem FluchtpunktG, der Bildgeraden g, noch den Verschwindungspunkt G, auf g, dessen Bild ins Unendliche fällt (OG: ++ G„G). Das Stück der Geraden hinter der Bildebene (mit dem Endpunkt G) hat die Strecke G„G Zum Bilde. Die Strecke GG, hat ein Bild, das sich von 6 ins Unendliche erstreckt. Der Teil von g, der über G hinaus liegt, hat ein virtuelles Bild, nämlich das Stück von g, das sich von G. ins Unendliche zieht. Der Neigungswinkel vong gegen die Bildebene ist – ZL AG, O; er ergiebt sich aus dem rechtwinkligen Dreiecke AG„O%, dessen Katheten bekannt sind (O„A L AG, O% auf d). Je nachdem G, außerhalb, auf, oder innerhalb d liegt, ist 7 S 45%. Alle Normalen zur Bildebene haben den Häuptpunkt A zum Fluchtpunkt. Die zur Bildebene parallelen Geraden liefern Bilder, die zu ihnen selbst parallel sind, auf diesen Bildgeraden giebt es jedoch weder Spur- noch Fluchtpunkt. Eine solche Gerade kann also nicht in der vorher geschilderten Weise festgelegt werden, vielmehr muß man entweder einen Punkt auf ihr, oder eine Ebene durch sie angeben. Bei Geraden durch das Auge O fallen Spur- und Fluchtpunkt zusammen, sie projizieren sich als Punkte. 861. Liegt eine Gerade g in einer Ebene E, so liegen Spur-, Flucht- und Verschwindungspunkt der Geraden bezüglich auf Spur-, Flucht- und Verschwindungslinie der Ebene (G aufe, G, aufe, G, auf e). Dies folgt unmittelbar aus der Definition der genannten Elemente. Natürlich gehört auch umgekehrt eine Gerade einer Ebene an, wenn ihr Spur- und Fluchtpunkt bezüglich auf der Spur- und Fluchtlinie der Ebene liegen. Ist eine Gerade zu einer Ebene parallel, so liegt ihr Fluchtpunkt auf der Fluchtlinie der Ebene. 862. Eine Ebene E. soll in die Bildebene umgelegt werden (Fig. 537). Ist F eine Figur in E und F ihr Bild, so bleibt nach 173 die perspektive Beziehung zwischen ihnen erhalten, wenn man F mit der Ebene E um die Spur e dreht. ALegt man eine Ebene E um ihre Spur e in die Bild- –– ebene um, wobei die in ihr / \AX liegende Figur F in F" über- Ygehen mag, so sind Foo und F, perspektiv. Legt man gleichzeitig das Auge O um ihre Fluchtlinie e. als O" in Fig. 537. die Bildebene um, dann ist 09 das Centrum der perspektiven Beziehung zwischen F" und F. Der Beweis hierfür findet sich in 174 und 175; dort wird auch gezeigt, daß der Abstand von ei" und e gleich dem Abstand von O" und e, ist. Man kann das vorstehende Resultat auch in die folgende Form kleiden. Jeder Punkt der Ebene E befindet sich nach seiner um die Spur e ausgeführten Umlegung in die Bildebene in gerader Linie mit seinem Bilde und dem um die Fluchtlinie e, umgelegten Auge. Jede Gerade der Ebene E ist nach ihrer Umlegung um die Spur e parallel zu der Geraden, die ihren Fluchtpunkt mit dem um die Fluchtlinie e, umgelegten Auge verbindet. So ist go | G„O", denn die Parallelen g und G„O werden um die Parallelen e resp. e, gedreht. Will man O um e, umlegen, so fälle man von 0 auf e, das Lot OF, (AF, L. e,); das umgelegte Lot O'F, ist zu e, normal, seine wahre Länge ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes mit den Katheten AF, und AO, das in der Figur um die Kathete AF, umgelegt ist (F„O% = F„O"). Die Falllinien der Ebene E haben Bilder mit dem Fluchtpunkte F„; denn sie stehen auf e senkrecht, für ihren Fluchtpunkt F, gilt also die Beziehung OF, L e... Die Hauptlinien von E besitzen Bilder, die zu e parallel sind; denn da sie e nicht schneiden, können es auch ihre Bilder nicht thun. Sind f und h, die Bilder einer Fall- und einer Hauptlinie und ist P =/xh, so liegt Po=f">< h' mit P. und 09 in gerader Linie (f" Le, h9|e, f, durch F., h, |e). 863. Bestimmung der wahren Gestalt eines Dreieckes durch Umlegen um die Spur seiner Ebene (Fig. 538). Sei PQR, das Bild des Dreieckes und seien e und e, Spur- und Fluchtlinie der Ebene PQR, so bestimme man zunächst die Spur- und Fluchtpunkte der Dreiecksseiten. Es sind A, A, resp. B, B, resp. C, C, die Spur- und Fluchtpunkte von QR resp. RP resp. PQ, wenn QR-X e=A, Q„R><e,= A, u. S. w. ist. Legt man jetzt das Auge um e, als O9 in die Bildebene um, dann geht Q"R9 durch A. und ist zu O'A, parallel; ebenso gehen R9P0 und P990 durch B und C und sind zu O’B, und O"C, parallel. Damit ist die wahre Gestalt P'9'R' unseres Dreieckes gefunden; seine Ecken liegen mit den Ecken des Bilddreieckes PQR, auf drei Strahlen durch 09. In der Figur ist auch die Verschwindungslinie e nach e” umgelegt worden mit Hilfe der Beziehung (e" – e) = (09– e...). Dann schneidet P"R" die Gerade e” in B" und es ist das Bild PR, zu der Verbindungslinie O'B' parallel; ähnlich verhält es sich auch mit den beiden anderen Seiten des Dreieckes. 864. Bestimmung der wahren Länge einer Strecke, deren Bild gegeben ist. Es mögen das Bild g, = PQ, der Spurpunkt G und der Fluchtpunkt G, der Geraden g= PQ bekannt sein. Wir legen durch P%) eine beliebige Ebene E, dann geht e durch G und e, (|e) durch G„, und wir erhalten die wahre Länge von PQ, indem wir genau wie vorher die Ebene E um ihre Spur umlegen (Fig. 539). Hierbei bestimmt sich 09 ganz wie Fig. 539. früher und es ist G,09 = G„O und go | G„O'; die Geraden O'P und O'Q, schneiden auf go die wahre Länge P'99 aus. Da die Richtung von e durch G beliebig ist, so kann auch G„Oo (go) jede beliebige Richtung annehmen; wir erhalten deshalb folgende Konstruktion der wahren Länge. Sind G und G„ Spurund Fluchtpunkt einer Geraden g und ist PQ eine auf ihr liegende Strecke, deren Bild PQ, bekannt ist, so ziehe man durch G, in beliebiger Richtung die Strecke G„O9 = G„O, sowie durch G die Parallele g', dann wird die wahre Länge P999 der Strecke PQ durch die Strahlen 09P und O'Q, auf go ausgeschnitten. G„O" findet sich als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreieckes mit den Katheten G„A und AO, sie ist gleich der Entfernung des Fluchtpunktes G, vom Auge O (AO, L. G„A, AO, = A0, G„O, = G„O = G„O). Das hier ausgesprochene allgemeine Resultat findet besonders

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in den folgenden beiden Weisen seine Verwendung. Liegt die ROHN u. PAPPERITz. II. 27

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