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Je nachdem G

Katheten bekannt sind (0.41 AG∞, О auf d). außerhalb, auf, oder innerhalb d liegt, ist y 45°. Alle Normalen zur Bildebene haben den Hauptpunkt A zum Fluchtpunkt. Die zur Bildebene parallelen Geraden liefern Bilder, die zu ihnen selbst parallel sind, auf diesen Bildgeraden giebt es jedoch weder Spur noch Fluchtpunkt. Eine solche Gerade kann also nicht in der vorher geschilderten Weise festgelegt werden, vielmehr muß man entweder einen Punkt auf ihr, oder eine Ebene durch sie angeben. Bei Geraden durch das Auge O fallen Spur- und Fluchtpunkt zusammen, sie projizieren sich als Punkte.

861. Liegt eine Gerade g in einer Ebene E, so liegen Spur-, Flucht- und Verschwindungspunkt der Geraden bezüglich auf Spur-, Flucht- und Verschwindungslinie der Ebene (G auf e, G. auf e, G, auf e). Dies folgt unmittelbar aus der Definition der genannten Elemente. Natürlich gehört auch umgekehrt eine Gerade einer Ebene an, wenn ihr Spur- und Fluchtpunkt bezüglich auf der Spur- und Fluchtlinie der Ebene liegen. Ist eine Gerade zu einer Ebene parallel, so liegt ihr Fluchtpunkt auf der Fluchtlinie der Ebene.

862. Eine Ebene E soll in die Bildebene umgelegt werden (Fig. 537). Ist eine Figur in E und ihr Bild, so bleibt nach 173 die perspektive

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C

Beziehung zwischen ihnen er

halten, wenn man mit der

Ebene E um die Spur e dreht. Legt man eine Ebene E um ihre Spur e in die Bildebene um, wobei die in ihr liegende Figur & in Fo übergehen mag, so sind o und

perspektiv. Legt man gleichzeitig das Auge O um ihre Fluchtlinie e als Oo in die Bildebene um, dann ist

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0° das Centrum der perspektiven Beziehung zwischen F und Der Beweis hierfür findet sich in 174 und 175; dort wird auch gezeigt, daß der Abstand von e° und e gleich dem Abstand von Oo und

c'

В со
ist.

Man kann das vorstehende Resultat auch in die folgende Form. kleiden. Jeder Punkt der Ebene E befindet sich nach seiner um die Spur e ausgeführten Umlegung in die Bildebene in

gerader Linie mit seinem Bilde und dem um die Fluchtlinie e umgelegten Auge. Jede Gerade der Ebene E ist nach ihrer Umlegung um die Spur e parallel zu der Geraden, die ihren Fluchtpunkt mit dem um die Fluchtlinie e umgelegten Auge verbindet. So ist g° || GOo, denn die Paralleleng und GO werden um die Parallelen e resp. e gedreht. Will man um e umlegen, so fälle man von 0 auf das Lot OF (AFe); das umgelegte Lot O°F ist zu e normal, seine wahre Länge ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes mit den Katheten AF und 40, das in der Figur um die Kathete AF umgelegt ist (F‰o。 = F0).

(F∞%

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Die Falllinien der Ebene E haben Bilder mit dem Fluchtpunkte F; denn sie stehen auf e senkrecht, für ihren Fluchtpunkt F gilt also die Beziehung OF 1e. Die Hauptlinien von E besitzen Bilder, die zu e parallel sind; denn da sie e nicht schneiden, können es auch ihre Bilder nicht thun. Sind f und h die Bilder einer Fall- und einer Hauptlinie und ist Pfc × h ̧, so liegt Po fox ho mit P. und 0° in gerader Linie (fe, ho || e, f. durch F, h|| e).

=

с

863. Bestimmung der wahren Gestalt eines Dreieckes

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By

durch Umlegen um die Spur seiner Ebene (Fig. 538). Sei PQR das Bild des Dreieckes und seien e und e Spur- und Fluchtlinie der Ebene PQR, SO bestimme man zunächst die Spur- und Fluchtpunkte der Dreiecksseiten. Es sind A, Ã ̧ resp. B, B resp. C, C die Spur- und Fluchtpunkte von QR resp. RP resp. PQ, wenn QR2xe=A, QR2 × e∞ = Ax u. s. w. ist. Legt man jetzt das Auge um e als Oo in die Bildebene um, dann geht RQ°R° durch A und ist zu 0° parallel; ebenso gehen R°P0 und PoQ0 durch B

с

und C und sind zu OoB und 0°C parallel. Damit ist die wahre Gestalt P Q R° unseres Dreieckes gefunden; seine Ecken liegen mit

с

0

den Ecken des Bilddreieckes PQR auf drei Strahlen durch Oo. In der Figur ist auch die Verschwindungslinie e nach eo umgelegt worden mit Hilfe der Beziehung (e, ̧° − e) = (0°). Dann schneidet PoRo die Gerade e, in Bo und es ist das Bild PR zu der Verbindungslinie OoB ̧° parallel; ähnlich verhält es sich auch mit den beiden anderen Seiten des Dreieckes.

0

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C с

864. Bestimmung der wahren Länge einer Strecke, deren Bild gegeben ist. Es mögen das Bild g = PQ, der Spurpunkt G und

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Goo

=

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GO und go || GO°; die Geraden O°P ̧ und O°Q schneiden auf go die wahre Länge P°Q° aus.

Da die Richtung von e durch G beliebig ist, so kann auch GO° (9) jede beliebige Richtung annehmen; wir erhalten deshalb folgende Konstruktion der wahren Länge. Sind G und G∞ Spurund Fluchtpunkt einer Geraden g und ist PQ eine auf ihr liegende Strecke, deren Bild PQ, bekannt ist, so ziehe man durch G in beliebiger Richtung die Strecke G0° = G∞O, sowie durch G die Parallele g°, dann wird die wahre Länge P°Q° der Strecke PQ durch die Strahlen O°P und 0°Q, auf go ausgeschnitten. G0° findet sich als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreieckes mit den Katheten G 4 und 40, sie ist gleich der Entfernung des Fluchtpunktes G vom Auge O (40, 1 GA, = AO, GO1 = G∞O = G∞ 0o).

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=

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Das hier ausgesprochene allgemeine Resultat findet besonders in den folgenden beiden Weisen seine Verwendung. Liegt die

ROHN u. PAPPERITZ. II.

27

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Go

Gerade g in der Ebene E, so bestimme man auf e einen der Punkte O oder O, für welche GOA G12O1 = G12O = G ̧0o ist; aus jedem dieser beiden Punkte projiziert sich eine jede Bildstrecke PQ. von g. in wahrer Länge auf e (PA Qs = PQ = PoQo). Der Punkt 04, resp. O heißt Teilungspunkt von ge, weil er dazu dienen kann, jede Bildstrecke auf g. so zu teilen, daß die wahren Längen dieser Teile in einem vorgeschriebenen Verhältnisse stehen.

=

P

d

9%

G

0

Δ

=

0

865. Legt man zweitens durch g eine Ebene senkrecht zur Bildebene, so ist GA ihre Fluchtlinie und g'(|| G∞ 4) durch G ihre Spurlinie, dabei ist g' die Orthogonalprojektion von g auf die Bildebene (Fig. 540). Legt man jetzt das Auge um G. A nach 0。 um (O̟。A GÅ, O̟, auf d) und die Gerade g um ihre Orthogonalprojektion g' nach go (9% || OG∞, g。 durch G), so projiziert sich jede Bildstrecke PQ, von g, aus O̟ in wahrer Größe auf go Projiziert man P.Q. aus A auf g', so erhält man die Orthogonalprojektion P'Q' von PQ; denn die von P und Q auf die Bildebene gefällten Lote haben A zum Fluchtpunkte und ihre Spurpunkte P' und liegen auf g'. Die Strecken P'P und Q'Q stehen auf g' senkrecht und geben die Abstände der Punkte P und Q von der Bildebene Пan. Trägt man GOA GO G∞ auf G4 auf, so ist O der Teilungspunkt von g hinsichtlich der zu П normalen Ebene durch g; PQ, projiziert sich also aus O in der wahren Länge PQs (= P ̧Q。 = PQ) auf g'. 866. Die hier gegebene Darstellung der Ebene und der Geraden und im Anschluß daran die des Punktes auf der Geraden oder in der Ebene kann dazu benutzt werden, eine Reihe von Aufgaben zu lösen. Aus dem Bilde P. und der orthogonalen Projektion P' eines Punktes, wobei PP' durch den Hauptpunkt A gehen muß, ergiebt sich sein Abstand von der Bildebene durch die Relation PP' :OA - P'P: PA. Es folgt das unmittelbar aus Fig. 540 und wird noch einfacher durch Umlegen von OP um seine orthogonale Projektion AP' erhalten. Aus dem Bilde g, und der Projektion g' einer Geraden ergiebt 9с sich ihr Spurpunkt G = 9 × g und ihr Fluchtpunkt Gg. x G∞ 4, × wobei G4g' ist. Ist die Gerade g zur Bildebene parallel, so ist Jeg; ihr Abstand von der Bildebene ist gleich dem Abstand

==

Fig. 540.

с

A

с

с

с

с

=

irgend eines Punktes P auf ihr, der sich wie vorher bestimmt (P'P durch 4).

с

Ein Punkt kann hiernach durch sein Bild und seine orthogonale Projektion, oder durch sein Bild und seinen Abstand von der Bildebene gegeben werden. Ebenso kann eine Parallele zur Bildebene durch ihr Bild und ihren Abstand, oder durch ihr Bild und ihre orthogonale Projektion bestimmt werden.

=

Aus Fig. 540 erkennt man weiter, daß sich der Abstand eines Punktes von der Bildebene zur Distanz auch wie die Abstände seines Bildes von Spur- und Fluchtpunkt einer durch ihn gelegten Geraden verhält (PP': OA GP: PG), oder wie die Abstände seines Bildes von Spur- und Fluchtlinie einer durch ihn gelegten Ebene. Ganz ebenso verhält sich der Abstand einer zur Bildebene parallelen Geraden zur Distanz, wie die Abstände ihres Bildes von Spur- und Fluchtlinie einer durch sie gelegten Ebene.

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867. Die Schnittlinie s zweier Ebenen B und hat den Spurpunkt S bx c und den Fluchtpunkt Sb X c. Der Schnittpunkt S einer Geraden g und einer Ebene E wird erhalten, indem man durch g eine beliebige Hilfsebene ▲ legt, also ihre Spurlinie d durch G und ihre Fluchtlinie d (|| d) durch G, zieht und die Gerade i=EX▲ mit g schneidet (J=ex d, J = e, xd, 8 = g1 × į). Sc Ist g parallel zur Bildebene, so kann man eine zur Bildebene normale Hilfsebene durch sie legen, ihre Spurlinie ist g'(9.) und ihre zu g. parallele Fluchtlinie geht durch A. Die einfachen Figuren zu diesen Aufgaben sind weggelassen, da die gleichen Konstruktionen in den weiteren Aufgaben wiederkehren.

868. Durch einen Punkt P zu der Geraden k eine Parallele 7 zu ziehen. Pliege

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geht durch K. Der Distanzkreis ist hier und weiterhin, wo er

nicht gebraucht wird, weggelassen.

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