ist die große Achse der Ellipse parallel zu BC und gleich dem Kreisdurchmesser. Den genannten rechtwinkligen Durchmessern des Kreises. entsprechen konjugierte Durchmesser der Ellipse, nämlich NO auf z und PQ||y. Durch M, führt der Strahl a = MD, das Bild der Cylinderachse, parallel zu x. Die gleichgerichteten Tangenten des Kreises stellen die Umrißmantellinien des Cylinders dar. Der andere Endkreis wird als eine zur vorigen kongruente Ellipse abgebildet; D, senkrecht über F, ist ihr Mittelpunkt; EF NO und GH‡PQ sind wieder konjugierte Durchmesser. Wir denken uns die Richtung der Lichtstrahlen durch die ihrer Bilder, bezw. Grundrißbilder, also durch 7 und l' gegeben und leiten daraus das Bild 7"" des Seitenrisses ab. Geht "" durch M, " durch M, und treffen sich beide auf BC, so ist "" der umgelegte Seitenriß eines Lichtstrahles, der die Cylinderachse schneidet. Die zu 7" parallelen Tangenten des Kreises (NPOQ) bilden die dritten Spuren der beiden Lichtstrahlenebenen, die den Cylindermantel berühren; ihre Berührungslinien bilden die Grenze seines Eigenschattens und ihre ersten Spuren die seines Schlagschattens auf П1. Die Bilder jener Mantellinien sind (||x) durch die Berührungspunkte auf dem Kreise NP。。 zu ziehen; die Bilder ihrer Grundrißschatten treffen sich auf y mit den zu l'"' parallelen Tangenten der Ellipse NPOQ. Ist DD und FD ||', liegt ferner E auf FD so, daß EE ist, und zieht man ||l GDHGDH, so stellt die Ellipse mit dem Mittelpunkte D und den konjugierten Durchmesser EF, GH den Grundrißschatten des Endkreises (EGFH) dar. * * * * * * Es werde zweitens die Ebene П1 um АВ in П umgelegt; 0° sei die Umlegung des Ursprungs (0° auf z, ▲ 40oB = R). Wir nehmen in der Umlegung den ersten Spurpunkt K° der Kegelachse und seinen Grundkreis k° an; ihre Bilder K und k sind dann hierzu affin; AB ist die Affinitätsachse, 0° und O affine Punkte. Die Ellipse k kann mit Hilfe ihrer Achsen gezeichnet werden, die parallel, resp. senkrecht zu AB liegen. Senkrecht über ihrem Centrum K werde das Bild S der Kegelspitze gewählt. Entsprechen sich So und S durch die eben benutzte Affinität, so gilt das Gleiche von den aus. diesen Punkten an k° und k gelegten Tangentenpaaren; letzteres bildet den scheinbaren Umriß des Kegelmantels. Sind SS und KS parallel zu 7 resp. l', so ist S das Bild des Grundrißschattens von S. Die Polare JL von S in Bezug auf k wird leicht mit Hilfe des affinen Kreises k° bestimmt. Die Geraden SJ und SL stellen dann die Grenze des Eigenschattens auf dem Kegel, SJ und SL die Grenze seines Schlagschattens auf TT, dar. * * * * * Der Kegel erzeugt Schlagschatten auf dem Cylinder. Die beiden Lichtebenen (SJS) und (SLS) schneiden nämlich den Cylindermantel in zwei Ellipsen. Der Schlagschatten wird von Stücken derselben begrenzt, die in dem gemeinsamen Punkte (R) auf (SS) beginnen und auf der sichtbaren Eigenschattengrenze des Cylinders endigen. In den Grundrißschatten der Endpunkte treffen sich die Schattengrenzen vom Cylinder und Kegel. Was die Bilder jener Ellipsen betrifft, so gehen zwei ihrer Durchmesser von V und W aus, schneiden sich auf SS in U, bestimmen auf MD die Mittelpunkte und endigen auf NE (T= KS × OF, U = SS × TU, TU || z, V=JS X OF, WLS OF). Die konjugierten Durchmesser sind parallel zu den Tangenten JS, und LS in V und W resp., ihre Endpunkte liegen auf PG und QH. Um R zu finden, ziehe man durch eine Parallele zu x, durch ihren Schnittpunkt mit y eine S Parallele zu "", durch deren Schnittpunkt mit dem Ellipsenbogen NP wieder eine Parallele zu r; letztere trifft SS in R. * * * * * * FÜNFZEHNTES KAPITEL. Freie Perspektive. Perspektive Darstellung von Ebene, Gerade und Punkt. 857. Zur perspektiven Darstellung oder Centralprojektion eines räumlichen Gegenstandes bedarf man eines festen Punktes, des Augpunktes, und einer festen Ebene, der Bildebene, deren Lage zum Gegenstand gegeben ist. Indem man vom Augpunkte nach allen Punkten des Objektes Strahlen zieht, erhält man in ihren Schnittpunkten mit der Bildebene die Bilder dieser Punkte; die Gesamtheit dieser Bildpunkte macht das Bild des Objektes aus. Es ist sofort ersichtlich, daß hierbei jedem Raumpunkt ein bestimmter Bildpunkt zukommt, daß aber jeder Punkt der Bildebene noch unendlich vielen Punkten des Raumes als Bild zugehört, nämlich allen Punkten des Strahles, der den Punkt der Bildebene mit dem Augpunkte verbindet. Ein Raumpunkt ist somit durch sein perspektives Bild noch nicht bestimmt. Wir werden weiterhin sehen, wie seine räumliche Lage fixiert werden kann. Die Lage des Augpunktes oder des Centrums der Perspektive gegen die Bildebene wird in der folgenden Weise bestimmt. Vom Augpunkte, der stets mit O bezeichnet werden soll, fälle man ein Lot auf die Bildebene; sein Fußpunkt A heißt der Hauptpunkt, seine Länge OA die Distanz. Sind Hauptpunkt und Größe und Richtung der Distanz bekannt, so kennt man auch die Lage des Augpunktes auf der einen oder anderen Seite der Bildebene. Um als Mittelpunkt zieht man einen Kreis, den Distanzkreis d, dessen Radius gleich der Distanz ist. Die Lage des Objektes gegen die Bildebene ist für die Gestalt des Bildes von wesentlicher Bedeutung. Wird Auge und Objekt festgehalten und nur die Lage der Bildebene geändert, so sind die betreffenden Bilder perspektive ebene Figuren (176). Verschiebt man die Bildebene parallel zu sich selbst, so erleidet die in ihr liegende Bildfigur eine ähnliche Vergrößerung oder Verkleinerung. 858. Die Bildebene teilt den Raum in zwei Teile, von denen der eine den Augpunkt enthält. Von diesem Teile wollen wir sagen, er liege vor der Bildebene, während wir von dem anderen Teil sagen, daß er hinter der Bildebene liege. Die Lage der Bildebene wird fast immer so gewählt, daß das darzustellende Objekt hinter ihr gelegen ist. Wir haben im ganzen dreierlei Raumpunkte zu unterscheiden. Erstens: Punkte hinter der Bildebene; ihre Bilder liegen zwischen ihnen und dem Auge. Zweitens: Punkte vor der Bildebene, die ihr näher liegen als das Auge; ihre Bilder liegen vom Augpunkt in der gleichen Richtung wie sie selbst, aber in größerer Entfernung wie diese. Drittens: Punkte vor der Bildebene, deren Abstand von ihr größer ist als die Distanz; ihre Bilder liegen vom Augpunkt aus in der entgegengesetzten Richtung wie sie selbst, d. h. der Augpunkt trennt den Raumpunkt und sein Bild. In dem dritten Fall nennt man das Bild virtuell nach einer gebräuchlichen Bezeichnungsweise der Optik, da hier nicht der Sehstrahl aus dem Auge nach dem Raumpunkt, sondern seine Verlängerung rückwärts über das Auge hinaus die Bildebene trifft. In den beiden ersten Fällen heißt das Bild reell. Der Gegenstand, dessen Bild wir entwerfen wollen, muß natürlich eine derartige Lage zur Bildebene und zum Auge einnehmen, daß sein Bild reell wird. Trotzdem sind öfters auch virtuelle Bilder von Punkten, Geraden u. s. w. zu konstruieren, die als Hilfselemente dienen; für die Konstruktion reeller und virtueller Bilder ergiebt sich kein Unterschied. Hinsichtlich der Bezeichnung mag noch vorausgeschickt werden, daß die Bilder eines Raumpunktes P, einer Raumgeraden g u. s. w. durch Anhängen des Index c an die betreffenden Zeichen, also P., g. u. s. w., gekennzeichnet werden sollen. Die Bildebene soll kurz durch П bezeichnet werden. с 859. Darstellung einer Ebene. Eine Ebene E im Raume legen wir fest, indem wir einerseits ihre Schnitt- oder Spurlinie e mit der Bildebene, andererseits ihre Stellung gegen diese angeben. Das letztere geschieht dadurch, daß wir durch das Auge O eine Parallelebene zu E legen und ihre Spurlinie e zeichnen (Fig. 535). Da jede Ebene durch O die Bildebene und die Ebene E in Geraden schneidet, von denen die eine das Bild der anderen ist, so ist jede Gerade in П das Bild einer Geraden in E und das Bild unserer Ebene überdeckt die ganze Bildebene. Speziell ist e das Bild der unendlich fernen Geraden von E, d. h. der Gesamtheit ihrer unendlich fernen Punkte, da Oe E ist; e heißt die Fluchtlinie von E (vergl. 166-169). Parallele Ebenen besitzen die gleiche Fluchtlinie. Die Spurlinie e und die Fluchtlinie e liegen in der Bildebene П und sind parallel; zu ihnen parallel ist auch die Verschwindungslinie e, der Ebene E, deren Bild unendlich fern liegt, so daß Oeπ ist. Die Geraden e teilen E in drei Teile; und e streifen zwischen e und ex. aus. d Pc сво Fig. 535. es Den zweiten Teil von E bildet der Streifen zwischen e und e, vor der Bildebene, sein Bild in П dehnt sich von e bis ins Unendliche Der dritte Teil von E liegt ebenfalls vor der Bildebene und erstreckt sich von e, ins Unendliche, sein Bild ist virtuell und dehnt sich von e bis ins Unendliche aus. In Fig. 535 sind P, Q, R die Bilder von Punkten, die im ersten, resp. zweiten, resp. dritten Teile von E liegen. с Fällt man vom Hauptpunkt A ein Lot AF auf e, so ist OF eine Falllinie der Ebene Oe (OF e) und es ist ▲ AFO = ɛ der Neigungswinkel der Ebene E gegen die Bildebene, da E || Oe ist. Man zeichnet den Winkel & durch Umlegen des Dreieckes AFO um die Kathete AF in П als AFО (401 AF, 0, auf d). Es ist sofort ersichtlich, daß & 45° ist, je nachdem e, den Distanzkreis d schneidet, berührt oder nicht trifft. Geht die Fluchtlinie einer Ebene durch den Hauptpunkt A, so ist die Ebene zur Bildebene normal. Die zur Bildebene parallelen Ebenen können in der angegebenen Weise nicht bestimmt werden, sie besitzen weder erreichbare Spurnoch Fluchtlinien. Punkte und Linien in solchen Ebenen lassen sich durch Hilfsgeraden oder Hilfsebenen festlegen, wie wir weiterhin sehen werden. Bei Ebenen durch das Auge O fallen Spur- und Fluchtlinie zusammen; die ganze Ebene projiziert sich als gerade Linie. 860. Darstellung einer Geraden. Eine Gerade g legen wir im Raume fest, indem wir einerseits ihren Schnitt- oder Spurpunkt G mit der Bildebene, andererseits ihre Richtung angeben. Das letztere geschieht in der Weise, daß wir durch das Auge O eine Parallele zu g legen und ihren Spurpunkt G, zeichnen (Fig. 536). Jeder Strahl durch O, der g in einem Punkte trifft, schneidet П in dem zugehörigen Bildpunkte. Speziell ist Go das Bild des unendlich fernen Punktes von g, da OG ||g ist; G heißt der Fluchtpunkt von g. GG = g. ist das Bild von g(g. Og × П). Parallele Geraden besitzen den gleichen Fluchtpunkt. Ус G∞ = Fig. 536. Wir betrachten außer dem Spurpunkt G und dem Fluchtpunkt G∞ der Bildgeraden g, noch den Verschwindungspunkt G, auf g, dessen Bild ins Unendliche fällt (OG, G, G). Das Stück der Geraden hinter der Bildebene (mit dem Endpunkt G) hat die Strecke G. G zum Bilde. Die Strecke GG, hat ein Bild, das sich von G ins Unendliche erstreckt. Der Teil von g, der über G, hinaus liegt, hat ein virtuelles Bild, nämlich das Stück von g., das sich von G ins Unendliche zieht. 0; Der Neigungswinkel von g gegen die Bildebene ist y=AG, er ergiebt sich aus dem rechtwinkligen Dreiecke AGO, dessen |