der Breite, Höhe und Tiefe) verlaufen. Man findet sie darum in wissenschaftlichen und technischen Werken häufig für die erläuternden Textfiguren angewandt, und so ist sie auch in diesem Lehrbuche bereits an verschiedenen Stellen stillschweigend benützt worden, wo es sich darum handelte, räumliche Gebilde in Ermangelung von Modellen durch eine Zeichnung der Anschauung näher zu bringen. 816. Die axonometrische Projektion wird nach Annahme eines festen Koordinatensystems durch die Stellung der Bildebene zu diesem und die Richtung der projizierenden Strahlen bestimmt. Das allgemeinste Verfahren ergiebt sich, wenn man die projizierenden Strahlen gegen die Bildebene und beide gegen die Koordinatenachsen geneigt annimmt. In dieser Form wird aber die axonometrische Projektion nur selten angewandt. Der ihrer Einführung zu Grunde liegende Zweck, den ebenen Bildern der Objekte eine größere Anschaulichkeit zu geben, als es das Grund- und Aufrißverfahren vermag, wird schon durch speziellere Annahmen erreicht und unter ihnen zieht man natürlich diejenigen vor, welche möglichste Einfachheit der Konstruktion gewähren. Bei ihrer Auswahl hat man darauf zu achten, daß keine der wichtigeren Kanten und Seitenflächen des darzustellenden Gegenstandes durch einen bloßen Punkt, resp. durch eine Gerade dargestellt werde. Demgemäß darf man die projizierenden Strahlen weder zu einer Koordinatenachse, noch zu einer Koordinatenebene parallel annehmen. Es sind vornehmlich zwei Verfahren, die den gestellten Anforderungen entsprechen und ausgedehntere Anwendung finden. α) Man wählt die Bildebene parallel zu einer Koordinatenebene oder läßt sie mit ihr zusammenfallen und führt eine schiefe Projektion aus. Dies bietet den Vorteil, daß zwei Koordinaten eines jeden Punktes sich in ihrer wahren Länge und Richtung abbilden. Die dritte Koordinate wird in einer schrägen Richtung und meist in einem bestimmten Verhältnis verkürzt dargestellt. - Das nach diesem Verfahren entworfene Bild eines Objektes wirkt nur dann anschaulich, wenn man es aus großer Entfernung und annähernd in der Richtung der projizierenden Strahlen betrachtet. Seltener als diese Art der schiefen Projektion wird eine solche angewandt, bei welcher die Bildebene durch die vertikale Achse z (aber gegen x und y geneigt) und dann am einfachsten rechtwinklig zur Sehstrahlenebene durch z gelegt ist. Dieses Verfahren, auf das wir nicht näher eingehen, gewährt weniger einfache Konstruk tionen. Die nach ihm entworfenen Bilder geben aber bei gerader Gegenüberstellung des Beschauers anschauliche Wirkung (mit Obersicht), ähnlich wie bei dem folgenden Verfahren. P) Man wählt die Bildebene gegen alle drei Koordinatenachsen geneigt und führt eine senkrechte Projektion aus. Diese unter a) und 3) angeführten beiden Methoden bezeichnet man zumeist schlechthin als schiefe Projektion, bezw. als axonometrische Projektion; wir werden in der Folge beide Namen ebenfalls in dieser engeren Bedeutung gebrauchen. Ehe wir aber die beiden Methoden im einzelnen besprechen, wenden wir uns zum Beweise eines Satzes, der für die allgemeine axonometrische Projektion von grundlegender Bedeutung ist. 817. Trägt man vom Ursprung 0 aus auf jede der drei Koordinatenachsen x, y, z in positiver Richtung eine und dieselbe Strecke k, resp. bis zu den Punkten A, B, C ab, so entsteht eine Figur OABC, die wir als ein rechtwinklig-gleichschenkliges Achsenkreuz bezeichnen wollen. Von der Abbildung eines solchen Achsenkreuzes durch schiefe Projektion gilt der folgende Satz (Pohlke, 1860): 8 Irgend drei in einer Ebene П aus einem Punkte 0, (in beliebiger Richtung und Länge) gezogene Strecken 04, OB, OC bilden die schiefe Parallelprojektion eines rechtwinklig-gleichschenkligen Achsenkreuzes OABC. 8 Ꭶ Man kann den Satz noch allgemeiner aussprechen, indem man die Annahme, daß die Strecken OA, OB, OC gleich lang und zu einander rechtwinklig sein sollen, fallen läßt: Die schiefe Parallelprojektion eines gegebenen Tetraeders OABC auf eine Ebene П kann stets so bestimmt werden, daß das Bild 0,4BC, einem gegebenen Viereck 04BC ähnlich wird. 0 Man definiere zuerst durch wechselseitige Zuordnung der Dreiecke ABC und ABC zwischen den Figuren ihrer Ebenen eine Affinität im weiteren Sinne (vergl. 16). Durch diese entspricht dem gegebenen Punkte O, der zweiten Ebene ein bestimmter Punkt O der ersten, den man nach 18 konstruiert (D。 = Ã。。 × B。Сo, 40, x BC, BD: DC = BD: DoCo, 401:0,D= 40% 0%Do). Der Strahl 00, giebt in Bezug auf das Tetraeder OABC die gesuchte Richtung der projizierenden Strahlen an. Man lege nämlich eine Hilfsebene ПT' normal zu 00, und bezeichne die senkrechte D = 0 : Projektion von OABC auf ПT' durch O'A'B'C'. Nach 120 ist es möglich, ein zu ABC, ähnliches Dreieck zu finden, dessen senkrechte Projektion auf ПT' mit A'B'C' 0 Hierdurch ist der Beweis er weiteren Sinne affin zu ОBoCo bracht. Von den Punkten 0, 4, Bo, C, dürfen offenbar höchstens drei in gerader Linie und höchstens zwei vereinigt liegen. Um also eine axonometrische Parallelprojektion zu definieren, darf man in einer Ebene П die Bilder der Schenkel eines beliebig gegebenen Achsenkreuzes nach ihren Richtungen und Längenverhältnissen willkürlich annehmen. Hierdurch ist (in Bezug auf das Achsenkreuz) die Richtung der projizierenden Strahlen eindeutig, die Stellung der Bildebene П aber doppeldeutig bestimmt. Das Verfahren der schiefen Projektion. 818. Um eine räumliche Figur in schiefer Projektion darzustellen und zwar so, daß durch das Bild umgekehrt die Originalfigur bestimmt wird, denken wir uns das Original mit der Grundrißebene П verbunden und auf diese durch senk rechte Projektion bezogen. Das Ganze, die Raumfigur mit ihrem Grundriß, wird der schiefen Projektion unterworfen. Die Bildebene lassen wir mit der Aufrißebene П, zusammenfallen. Den Grundriß denken wir uns durch seine Umlegung in die Bildebene П, gegeben. Die Geraden, welche auf den Ebenen П1, M2 und П resp. senkrecht stehen, bezeichnen wir, wie früher, als erste, zweite und dritte projizierende Strahlen; zum Unterschiede von ihnen nennen wir die schiefprojizierenden Strahlen kurz Sehstrahlen. 3 2 Wählen wir in der vertikalen Bildebene П2 den Ursprung 0, ziehen die positive -Achse horizontal nach rechts und denken uns die positive y- und z-Achse nach vorn, bezw. nach oben gerichtet, so ist die Lage des Koordinatensystems gegen die Bildebene bestimmt. Die Richtung der Sehstrahlen legen wir fest, indem 1 wir von einem gegebenen 2' = 02 und 0, die Umlegung = ist o' = 0,0% der Grundriß des Seh00, sein Aufriß, o 0,0, das Bild 0,0° die Umlegung um o" und folglich 4010020 die Neigung der Sehstrahlen gegen die Bildebene. Die Größe 002 cotg = 001 giebt für jede Normale zur Bildebene (y-Koordinate) das Verhältnis ihres Bildes zu ihrer wahren Länge an. Meist wird ∞ > 45° angenommen; dann ist cotg <1 und heißt das Verkürzungsverhältnis. Das Dreieck 00,0, oder irgend ein zu ihm ähnliches 2 und ähnlich gelegenes heißt (nach v. Peschka) ein Projektionsdreieck. Die schiefe Projektion ist bestimmt durch Angabe der Projektionsachse a und irgend eines Projektionsdreieckes (z. B. 00102). Das Verkürzungsverhältnis cotg o wählt man gern gleich einer rationalen Zahl, etwa 1/2, 13, 2/3, u. s. f., um aus der Zeichnung eines Objektes leicht die Maße seiner in der y-Richtung verlaufenden Kanten entnehmen zu können. Außerdem sucht man die Konstruktion durch passende Wahl des Projektionsdreieckes zu vereinfachen, dessen eine Seite (00,) stets rechtwinklig zur x-Achse liegt. Sehr bequeme Konstruktionen ergeben sich, wenn man in dem Dreieck 0012 die bei 0, 0, 0, liegenden Winkel, resp. gleich 60°o, 30°, 90° macht; dabei ist cotg = Die unter den Namen 12/08 „Kavalierperspektive" und,,Vogel- oder Militärperspektive" bekannten Arten der schiefen Projektion benutzen meist die ebenfalls bequeme Annahme: 45°, cotg = 1, 0,00 = 45o. Bei ersterer denkt man sich die Bildebene vertikal, bei letzterer horizontal; man trägt also an die Aufrisse, resp. Grundrisse der darzustellenden Punkte ihre bezüglichen Tafelabstände selbst in vorgeschriebener Richtung an. 2 Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen in schiefer Projektion (vergl. 35-55). 8 2 8 819. Ein Punkt P wird durch sein Bild P. und das Bild P, seines Grundrisses P' bestimmt; die Punkte P ̧ und P liegen in einer zur x-Achse senkrechten Geraden. In der That: die Strecke PP, das Bild des ersten Tafelabstandes P'P, ist diesem gleich und parallel, folglich senkrecht zu x; die aus P und Р' auf П gefällten Lote PP" und P'P haben gleiche und zu y, (oder 002) parallele Bilder PP" und PP. Demnach findet man aus P, und P zuerst P auf der x-Achse, dann P" als vierte Ecke des Parallelogramms PPPP" und schließlich P' auf der Vertikalen P"P, indem man P'P' parallel zu der Seite 0,01 des Projektionsdreieckes zieht. Sind umgekehrt P', P" und damit P gegeben, so ergiebt sich zuerst P als Schnittpunkt der Parallelen zu 012 und 002 durch P' resp. P und hierauf P, als vierte Ecke des Parallelogramms PPPP (Fig. 497). 8 x 8 820. Eine Gerade g wird durch ihr Bild g, und das Bild g ihres Grundrisses g' bestimmt; die Geraden g, und g, können willkürlich angenommen werden (bis auf eine Ausnahme, siehe unten). Die Ebene der Sehstrahlen durch g, schneidet П, in g'; die Ebenen, welche durch g' senkrecht zu П1 und durch g, parallel zum Sehstrahl gelegt sind, schneiden sich in der Geraden g. ROHN u. PAPPERITZ. II. 24 |